《利用向量法求空间角》教案.doc

3 2 3 3 2 3 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法 利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角 教学目标教学目标 1 使学生学会求异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的向量方法 2 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题 3 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程教学过程 一 复习引入 1 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 化为向量问题化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等 问题 进行向量运算 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 回到图形 2 向量的有关知识 1 两向量数量积的定义 bababa cos 2 两向量夹角公式 cos ba ba ba 3 平面的法向量 与平面垂直的向量 二 知识讲解与典例分析 知识点知识点1 1 面直线所成的角 面直线所成的角 范围 2 0 1 定义 过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a 与 b 那么直线 a 与 b 所成的锐角或直角 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 2 用向量法求异面直线所成角 设两异面直线 a b 的方向向量分别为和 ab 问题问题 1 1 当与的夹角不大于 90 时 异面直线 a b 所成ab 的角与 和 的夹角的关系 ab 问题问题 2 2 与的夹角大于 90 时 异面直线 a b 所成的角ab 与 和的夹角的关系 ab a b O O b a O b a ba ba 结论 异面直线 a b 所成的角的余弦值为 cos cos nm nm nm 思考 思考 在正方体中 若与分别为 1111 DCBAABCD 1 E 1 F 11B A 的四等分点 求异面直线与的夹角余弦值 11D C 1 DF 1 BE 1 方法总结 几何法 向量法 2 与相等吗 11 cosBEDF BEDF 11 cos 3 空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别 例例 1 1 如图 正三棱柱的底面边长为 侧棱长为 求和所成的 111 CBAABC aa2 1 AC 1 CB 角 解法步骤 解法步骤 1 写出异面直线的方向向量的坐标 2 利用空间两个向量的夹角公式求出夹角 解 如图建立空间直角坐标系 则xyzA 2 0 0 2 1 2 3 2 2 1 2 3 0 0 0 11 aaBaaCaaaCA 2 2 1 2 3 1 aaaAC 2 2 1 2 3 1 aaaCB 即 2 1 3 2 3 cos 2 2 11 11 11 a a CBAC CBAC CBAC 和所成的角为 1 AC 1 CB 3 练习 1 在 Rt AOB 中 AOB 90 现将 AOB 沿着平面 AOB 的法向量方向平移到 A1O1B1的位置 已知 OA OB OO1 取 A1B1 A1O1的中点 D1 F1 求异面直线 BD1与 AF1所成的角的余弦值 解 以点 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 并设 OA 1 则 A 1 0 0 B 0 1 0 F1 0 1 D1 1 2 1 2 1 2 1 1 0 2 1 1 AF 1 2 1 2 1 1 BD 10 30 2 3 4 5 10 4 1 cos 11 11 11 BDAF BDAF BDAF 所以 异面直线 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值为 A x D C B 1 A z y 1 D 1 C 1 B 1 E 1 F A y x C B 1 A D 1 B 1 C A y x C B 1 A D 1 B 1 C 知识点知识点 2 2 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 范围 2 0 思考 设平面的法向量为 则与的关系 n BAn 据图分析可得 结论 例例 2 2 如图 正三棱柱的底面边长为 侧棱长为 求和 111 CBAABC aa2 1 AC 所成角的正弦值 BBAA 11 面 分析 分析 直线与平面所成的角步骤 1 求出平面的法向量 2 求出直线的方向向量 3 求以上两个向量的夹角 锐角锐角 其余角为所求角 解 如图建立空间直角坐标系 则xyzA 0 0 2 0 0 1 aABaAA 2 2 1 2 3 1 aaaAC 设平面的法向量为BBAA 11 zyxn 由 0 0 0 02 0 0 1 z y ay az ABn AAn 取 1 x 0 0 1 n 2 1 3 2 3 cos 2 2 1 1 1 a a NAC nAC nAC 和所成角的正弦值 1 ACBBAA 11 面 2 1 练习 练习 正方体的棱长为 1 点 分别为 的中点 求直 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 线与平面所成的角的正弦值 11C BCAB1 A B O BAn 2 A B O n 2 BAn A B O n 图 1 图 2 cos sin ABn 1 31 2 22 ACaaa 知识点知识点 3 3 二面角 二面角 范围 0 方向向量法 方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二 面角的棱 的夹角 如图 设二面角的大小为 其中 l CDlCDABlAB 结论 例例 3 3 如图 甲站在水库底面上的点 A 处 乙站在水坝斜面上的点 B 处 从 A B 到直线 库底与水坝的交线 的距离 AC 和 BD 分别为 a 和 b CD 的长为 c AB 的长为 d 求 库底与水坝所成二面角的余弦值 解 如图 dABcCDbBDaAC 根据向量的加法法则 DBCDACAB 2 2 2 DBCDACABd 2 222 DBCDDBACCDACBDCDAC DBACbca 2 222 DBCAbca 2 222 于是 得 2222 2dcbaDBCA 设向量与 的夹角为 就是库与水坝所成的二面角 CADB 因此 cos2 2222 dcbaab 所以 2 cos 2222 ab dcba 库底与水坝所成二面角的余弦值是 2 2222 ab dcba 3 3 31 010 DC B A l coscos CDAB CDAB CDAB B x A D C 1 B z y 1 A 1 D 1 C A B 法向量法法向量法 结论 或 归纳 归纳 法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量 夹角的补角 例例 4 4 如图 是一直角梯形 面 ABCD 90ABC SAABCD 求面与面所成二面角的余弦值 1 BCABSA 2 1 ADSCDSBA 解 如图建立空间直角坐标系 则xyzA 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 0 SDCA 易知面的法向量为SBA 0 2 1 0 1 ADn 1 2 1 0 0 2 1 1 SDCD 设面的法向量为 则有SCD 2 zyxn 取 得 0 2 0 2 z y y x 1 z2 1 yx 1 2 1 1 2 n 3 6 cos 21 21 21 nn nn nn 又方向朝面内 方向朝面外 属于 一进一出 的情况 二面角等于法向量夹角 1 n 2 n 即所求二面角的余弦值为 3 6 练习 练习 正方体的棱长为 1 点 分别为 的中点 求二 1111 DCBAABCD EFCD 1 DD 面角的余弦值 DAEF 1 n l 2 n 21 n n 21 coscosnn 21 coscosnn 1 n l 2 n 21 n n 21 n n 21 n n A BC D x z y S 解 由题意知 则 0 1 2 1 2 1 1 0 EF 2 1 1 0 AF 0 1 2 1 AE 设平面的法向量为 则AEF zyxn 取 得 0 2 1 0 2 1 0 0 yx zy AEn AFn 1 y2 zx 2 1 2 n 又平面的法向量为AED 1 0 0 1 AA 3 2 13 2 cos 1 1 1