山东大学研究生考试高等量子力学1996真题.doc

山东大学硕士研究生1996年高等量子力学试题 共6页 第6页山东大学1996级硕士研究生高等量子力学试题说明:(1)全试题共五大题,每题20分,满分100分; (2)考试时间3小时,试题与答卷一起上交。 n 一、量子系统.在一定时刻的态矢量是对该时刻状态的完整描述，也决定了演化到其它时刻的状态。系统状态随时间的演化由线性算符联系。在坐标表象表成： 称为系统的格林函数，说明格林函数的物理意义；给出格林函数满足的方程；以一维线性谐振子为例，用其波函数表示出格林函数。l 二、量子散射是在一定边界条件下求解含时薛定额方程，其边界条件是 式中是散射解，为自由平面波解。但也可以在相互作用绘景中求解散射问题。设相互作用哈米顿是,在相互作用绘景中求解薛定额方程，并证明在时就是定态散射的李普曼许文格方程，计算时为防止发散，引入绝热近似，即设相互作用哈米顿为。l 三、量子力学中的二次量子化方法，引入粒子的产生与消灭算符以及相对应的场算符表示态与力学量。（1） 取单粒子完备系为动量与自旋的本征态，用表示全同粒子系统的态矢量，表示产生一个动量为，能量为，自旋分量为的粒子的产生算符，计算，说明计算结果的物理意义。（2） 用相应的场算符表示系统的动量。l 四、设算符是二维各向同性谐振子消灭与产生算符,满足对易关系: 令一矢量算符的三个分量分别是 (1)求证矢量算符的三个分量满足通常角动量算符的对易关系;(2)把矢量算符看成角动量算符,用表示与的 本征值(这里取),直接由上面定义出发求证.(3)求证的共同本征态可表示成 这里是基态,即满足条件。只要证明满足关系: l 五、一维运动的自由粒子的哈密顿量为，（1） 计算坐标、动量算符在海森堡绘景中的表示；（2） 设时在坐标表象中的波函数为，这里是归一化的实函数，求证时刻坐标算符的均方差为 。附：公式备查;一维谐振子算符关系，;1996级高等量子力学试题解答l 一、解：（1）格林函数的物理意义是时刻位于处的态演化到时刻位于处的几率振幅。（2）计算格林函数满足的方程，由演化方程两边对时间计算微商，给出利用薛定谔方程给出演化算符满足的方程是在坐标表象写出，给出传播函数满足的方程是，其中传播函数 。对于一维谐振子，哈密顿算符不显含时间为保守系，所以有 .式中是一维谐振子在坐标表象中的波函数。 l 二、解:在相互作用绘景中薛定额方程为 对上式积分,利用初条件,给出两边乘以,给出这恰好是薛定额方程的解,然后代入 上式中令,给出另外,也可以反复叠代积分给出上面结果.l 三、解：（1）按照算符的表示，取单粒子能量本征态构成单粒子表象，系统的哈密顿是，利用消灭、产生算符的对易关系，我们有关系因而，可见仍然是的本征态，但本征能量分别是。（2）。l 四、解:(1)以为例证明对易关系.反复利用产生消灭算符的对易关系,可得到(2)反复利用产生消灭算符的对易关系,得出,因为的本征值是的正整数,这能够使角动量平方的本征值为整数或半整数.(3)利用利用产生消灭算符的对易关系,得到而但，同理可计算出满足角动量本征态的关系，证毕。l 五、解：（1）利用基本关系在动量表象计算，所以，在坐标表象是。而。至于计算动量算符也可以这样计算，给出结果是。也可以用海森堡绘景中的运动方程求解。（2）计算坐标算符的均方差事实上计算平均值，在薛定谔绘景或海森堡绘景计算的结果是一样的，这里已经求出了海森堡绘景中的算符，当然在海森堡绘景中计算。利用题目给出的波函数，我们有，这里，由于题设是归一化