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第七章 数学物理定解问题 7 1 数学物理方程的导出 物理问题中出现的微分方程是物理规律的 数学描述 质点质点 常微分常微分 方程方程 质点组质点组 常微分常微分 方程组方程组 连续体连续体 偏微 积偏微 积 分方程分方程 场 电 磁 场 电 磁 声 温度 声 温度 偏微 积分方偏微 积分方 程程 tu tui tru tru 通常表示位移 u 定解条件定解条件 个性 边界条件边界条件 初始条件初始条件 边界条件 边界条件 物理系统与外部的相互作用 初始条件 初始条件 物理系统过去的历史 数学物理问题的解决思路 根据物理规律建立方程根据物理规律建立方程 泛定方程 共性 泛定方程 共性 定解问题定解问题 泛定方程 定解条件泛定方程 定解条件 求一个微分方程的解使之满足一定的初始条件求一个微分方程的解使之满足一定的初始条件 和边界条件的问题称为定解问题和边界条件的问题称为定解问题 解定解问题解定解问题 检验解 满足自洽条件 符合实验事实 检验解 满足自洽条件 符合实验事实 一 均匀弦的微小横振动 一 均匀弦的微小横振动 物理规律 牛顿运动定律 弹性定律物理规律 牛顿运动定律 弹性定律 假定 1 张力 T 重力 mg 2 静止时弦位于 x 轴 横向振动时各点的位移为 u x t 3 弦的线密度为 4 振动是微小的 5 弦是理想柔软的 考察 小段 B 力的平衡方程为 x方向 y 方向 tan u x u x sin f u 因弦作无限小振动 有近似 xxx 0coscos 1122 TT tt usTT sinsin 1122 x x u x u x u x u x u 3 22 0 1 tg1 tg sin 101 1 1 tg1 1 cos 2 22 x u x u x x u xuxs 2 22 1 5 2 2 0 3 0 2 0 2 2 0 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 d d d d 2 1 d d 1 1 1 w w ww wf w w wf w w wf w wf w w w w tt xxxxxxx u x uuT 2 0a T x 0 2 2 2 2 2 x txu a t txu 0 2 xxtt uau 0 12 TT ttxxxxxxx uxuTuT 12 运动方程成为 x 方向 y 方向 tt x u x x x u T 如果弦线受到线密度为 F x t 的横向力作用 则弦的受迫振动方程为 2 2 2 2 txF x txuT t txu tt x tt x ttxxxxxxx u txF x uT uxxtxFx x u T uxxtxFuTuT 12 2 21 0 a T xTTT 8 二 均匀杆的纵振动 物理规律 牛顿运动定律 弹性定律 假定 1 静止时杆位于x 轴 纵向振动时各 点的位移为 u x t 2 杆的密度为 Young 模 量为 Y 3 振动是无限小的 B x x x A C u u u o x x x dx u u du A A B B C C O u dx 微元原长 du 微元绝对伸长 du dx 微元相对伸长 一般固体情形应该du dx 而教材示意图 du dx 1 1 应力 应变关系 应力 应变关系 张应变张应变 张应力张应力 张应变张应变 2 2 牛顿运动定律 牛顿运动定律 x u x txutxxu x lim 0 x u YtxP StxPtxxPuxS tt x P x txPtxxP utt 1 1 0 x当 虎克定律 l l YSf S f ll Sf Y x u Y xx P utt 11 2 2 x uY utt 均匀材料 Y a 2 如果 杆横向截面单位面积上受到线密度为F x t 的纵向 力作用 则杆的受迫振动方程为 0 2 xxtt uau d d d d d d d dd 2 2 2 2 d txF x txuY t txu txFYuu xStxFxYSuxStxFx x u YS xStxFuuYSuxS xux x u u xxtt xx x xxxxxtt x F x t N L3 可见 两个方程具有相同的形式 可以写成 统一的形式 式中 以后将看到 a 是波在弦上 横波 或杆中 纵波 传播的速度 Y a T a 或者 0 2 2 2 2 2 x txu a t txu 四 均匀薄膜的微小横振动 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 22 Laplace 0 zyx yx T Tauuau yyxxtt 算符 牵引力膜上单位长直线两方的张力值 五 流体力学与声学方程 六 电磁波方程 三 电报方程 读Laplacian 七 扩散方程 七 扩散方程 物理过程 扩散 由于浓度不均匀 物质从 浓度高的地方向浓度低的地方转移 表征物理量 浓度的空间和时间分布 物理规律 扩散定律 质量守恒 扩散流强度 单位时间通过单位面积 的原子或分子数或质量 其中 D 是扩散系数 不同的物质 D 不同 truDtrq trq 本构方程 constitutive equation tru S y v2 SvynSvyn q t N n 6 1 6 1 S 00 粒子流密度 n y0 n y0 n y0 6 1 S 1 6 1 S 1 0 0 Svyyn Svyyn 面向上的分子数目秒内通过 面向下的分子数目秒内通过 y n D t n St N q S y n DS y n v t N S y n v Sv y yn Svynyn n 3 1 3 1 2 6 1 6 1 00 一维 1D 气体扩散方程的推导 n 分 粒 子数密度 VqSqV t u uq S d d d 粒子浓度粒子流密度 S n q 三维 3D 扩散方程的推导 V 是 S 包围的体积 净流入量 k cosj cosi cosdd k j i d d coscoscos d SS RQPzyxq S SRQP V z R y Q x P S V 外向法线的方向角是 高斯定理三维空间的格林公式 F 是扩散源强度 单位时间内单位体积中产生 的粒子数或质量 u 对应粒子数浓度或密度 0 uD t u 0 22 ua t u Fua t u 22 0 q t u 均匀介质 D a2 有源情形 如果扩散是一维的 八 热传导方程 八 热传导方程 物理过程 由于温度不均匀 热量从温度高的 地方向温度低的地方传导 称为热传导 表征物理量 温度的空间和时间分布 物理规律 热传导定律 能量守恒定律 热流强度 单位时间通过单位面积的热 量 2 2 2 txF x txu a t txu trq tru 热传导系数 c比热 密度 trutrq VuSuSqV t u c SS d d dd u t u c 0 1 u ct u 0 22 2 ua t u a c 均匀介质 Fua t u 22 本构方程 Fourier Law constitutive equation 有源情形 总内能变化率 1秒内流出闭合面的热量 上式即为热传导方程 对于各向异性的材料 一般 D 和 是张量 Dij 和 ij i j 1 2 3 因 此扩散定律和热传导定律变成 对扩散过程 对热传导过程 这时热传导方程 扩散方程也作类似的变化 应该为 3 1 j j iji x tru Dq 3 1 j j iji x tru q 3 1 2 trF xx u t u c ji ji ij 九 稳定浓度分布 0 2 无源 u 2 有源fu 十 稳定温度分布 0 2 无源 u 2 有源fu 十一 静电场 电荷密度分布函数为 r 电电场分布满足方程 VVEVqSE S d 1 d d 1 d 1 d 000 0 2 0 0 uuuEzyxu E zyx zyxE 存在标量势 电场强度无旋 Poisson 方程 当 r 0 Laplace方程 0 2 u 0 2 u 0 d d d d d 3 zyxzyx rrq 22 00000 00 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 zzyyxxqrr rrqzyxu zyx zyx zyxu zyx 点电荷 连续分布电荷 十五 量子力学的 十五 量子力学的 Schrodinger Schrodinger 方程方程 质量为 m的微观粒子 如电子 在势场 V 中的 运动 满足Schr dinger 方程 i 2 2 i 2 i 2 2 22 2 2 tfE t tf rErV m EV r r mtf tf tfrVtfr m tfr tfrtr tV 令无关与若 2 i 2 2 V mt 此式中不含时间参量 称定态Schr dinger 方程 r 几率密度函数 0 2 u 0 22 ua t u 0 22 uautt 波动方程 双曲型方程 描述现象 声波 电磁波 等波动过程 输运方程 抛物型方程 描述现象 热扩散 物质扩散 等扩散过程 稳定场方程 椭圆型方程 描述现象 电势 稳定温度场 分布等与时间无关 的稳定场 7 2 定解条件定解条件 边界条件 系统与外部的相互作用 初始条件 系统过去的历史 一 初始条件 扩散方程 热传导方程 时间的一阶方程 初始分布 波动方程 时间的二阶方程 必须知道初始位 移分布及速度分布 注意 是整个系统在 t 0 时的分布 不仅仅在某一 点或某几点的值 rtru t 0 0 0 r t tru rtru t t 2 2 2 0 2 0 lxlxllh lxxlh txu t 0 0 tt txu l h l h l h 2 tan 2 2 tan 2h 2 2 2 2 tan xl l h hx l h hxu 二 边界条件 I 弦振动 两端固定 II 杆振动 a 两端固定 同弦 b 已知杆端位移 c 已知杆端受力 F t 作用 0 0 lxx txutxu ttxu lx 第一类边界条件 齐次 非齐次 x u StlPtFuS tt 0 tFtlP x u YtxP 1 tF Yx u lx 0 lx x u 0 tF 第二类边界条件 齐次 非齐次 0tlPtF 0 0 0 0 弹簧压缩杆伸长 弹簧伸长杆压缩 u u tlkuStF 0 lx x u k YS u 弹性力 代入前页式 移项得 d 杆右端以弹簧连接 F t 第三类边界条件 齐次 lx lx u YS k tF Yx u 1 III 热传导 物理规律 热传导定律 能量守恒定律 表面与周围环境热交换定律 散热 辐射等 热传导定律 热流 牛顿冷却定律 nuuq 0 trutrq u物体表面的温度 u0周围介质 的温度 热交换系数 物体 表面外法线单位矢量 n 热传导边界条件 考虑一维传热杆 截面积为S 0 0 trq tru u r o x x 0 0 0 0 0 0 0 0 00 lx lxlx lxxlx xlxxxx lx u x u u uu x txu x uux uuS x txu S t u xSc x txu SSee x u Se x u Sq xlx uuSSnuuSqxlx 再如 如 杆周长单元侧面流出的热量此式右端还应加上边界 间减少的能量等于边界单元内单位时单位时间流出的热量 左端流出热量处的 右端流出热量处的 u0 u l x 温度介质的方向温度介质指向 0 uun 32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 000 00 000 h hu x u u x u u uu x txu x uuS x txu S t u xSc x txu SSee x u Se x u Sq Snxx uuSSnuuSqxx h hu x u x xx xx xxx xxxxx x lx 或着 再如 如 间减少的能量等于边界单元内单位时单位时间流出的热量 向外侧右端流出热量处的 左端流出热量处的 或着 第三类边界条件 齐次 第三类边界条件 非齐次 0 0 0 00 00 000 H u x txu Hu x tu uu u uu x txu x xx 如 u x txu Hu lx 0 或者 边界条件的归纳 第一类 第二类 第三类 000 000 txyxftxyxu xyx 边界 000 000 txyxf n u xyx 边界 000 000 txyxf n u Hu xyx 边界 方程右方为零为 齐次条件 非零 为非齐次条件 IV 稳定场边值与上相同 V 无初值 无边值问题 无初值 稳定场问题 强迫振动 输运问题 无边值 无限区域 边界影响尚未到达 三 衔接条件三 衔接条件 如研究的物体是由两种以上性质不同的材料 媒质 组 成 在每一种材料内 所研究的物理问题可以建立一个 数理方程 但都不能构成一个独立的定解问题 衔接 条件是通过交界面将这些解联系在一起的数学形式 分类 物理量 系数Y 流矢量 稳恒电流场 电势u 导电系数 电流密度 热传导 温度u 导热系数 热流 扩散 浓度u 扩散系数D 物质流 静电学 电场电势u 介电常数 0 r 电位移矢量 静磁学 磁场磁势u 导磁系数 0 r 磁感应矢量 连接条件 uj uq uDq uD r 0 uB r 0 n u Y n u Yuu 2 2 1 121 上在交界曲面 0 0 0 0 0 II 0 III 0 I II 0 III 0 I 0 II II 0 I I 0 II 0 I II 0 I II2IIIII2II xuxu xuxu x u Y x u Y uu uu uauuau tttt tt lxlx lxlx Lxx xxttxxtt II uY IIII uY x 0 x l x L 系数Y 流矢量在 界面的法向分量 保持连续 标量物理量在 界面保持连续 7 3 数学物理方程分类 略 7 4 达朗贝尔公式 定解问题 一 达朗贝尔公式 tax u x a tx a t uDaDu x a t u x a t xt 1 0 0 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 令 通解 的解研究横振动问题 x a tx x t t x a tx x t t 0 2 u 38 0 0 4 2 1 2 1 2 1 2 1 0 22 2 uua x a tax x t t x a tax x t t atx atx a t x u x a tx a t 则令 39 是任意函数 右行波左行波 求解 212211 21 212 2 d d d 0 0 ffXfXf atxfatxf ffffu f u f uuu u o x O2 y X2 Y2 x at X2 x at X2 在以速度 a 右移 的O2 X2Y2坐标系 中观察到的 f2 x at 图像恒 定不变 粉红色虚线 波 包中心 坐标 oxy系 x a t O2X2Y2系 X2 x O2 at 40 时的图像在右行波0 2 tatxf x y x y f2 x c1 c2 f2 cmax at at f2 cmax c1 at c2 at 时的图像 在右行波0 2 tatxf f2 cmax cmax cmax at f2 x at 同理容易理解 f1 x at 是左行波 o o 41 2 1 d 2 1 2 1 2 1 d 2 1 2 1 d 1 2 02012 02011 020121 21 21 21 21 0 21 0 0 21 0 0 0 xfxf a xxf xfxf a xxf xfxf a xfxf xxfxf xxafxaf xxfxf xatxafatxaf xatxfatxf xxuxu ff x x x x x x t ttt 设初始条件是边界条件不存在振动杆无限长时 的确定与函数 21 atxfatxfu 42 2 1 d 2 1 2 1 2 1 d 2 1 2 1 02012 02011 0 0 xfxf a f xfxf a f x x 21 atxfatxftxu d 2 1 2 1 2 1 d 2 1 2 1 2 1 d 2 1 2 1 0201 0201 0 0 atx atx atx x atx x a atxatxtxu xfxf a atx xfxf a atxtxu 达朗贝尔公式 atx atx x atx atx x atx x atx x 0 000 43 Jean le Rond d Alembert Nov 16 1717 Oct 29 1783 was a French mathematician mechanician physicist and philosopher He was also co editor with Denis Diderot of the Encyclop die D Alembert s method for the wave equation is named after him 44 二 端点的反射 略 三 定解问题是一个整体 给定边界条件和初始条件 求方程的解 一般 泛定方程的通解是无法求得的 也无此必要 1 初值问题 对无穷区域上的波动方程或输运 方程 一般给定 t 0 时刻的分布 求 t 0 时间 的分布 对波动方程 还必须再给出一阶导数 这样的问题称为初值问题 0 rtru t 0 rtru tt 2 边值问题 对 Laplace 方程 描写的是稳态问 题 无时间变量 一般给出的是边界条件 这样的问题称为边值问题 3 混合问题 对有限区域上的波动方程或输运 方程 不仅要给出 t 0 时刻的分布 而且要给出 边界条件 这样的问题称为混合问题 000 000 xyxf n u u xyx 边界 四 定解问题的适定性 定解问题的解 1 存在性 2 唯一性 3 稳定性 满足上述条件的定解问题 称为是适定的 适定的 下一章介绍不求通解 而由泛定 方程和定解条件直接求解 本章基本要求 本章基本要求 1 掌握数学物理方程导出的步骤 会 把一些物理问题翻译成数学问题 2 掌握有关的力学 热学及电学问题 的初始条件及边界条件 作业 7 1 1 3 5 7 7 2 1 4 8 48 例 p152 7 1 2 用均质材料制做细圆 锥杆 试推导它的纵 振动方程 d d Bd B d d BA BC B d x x Su YuxS x S x x Su YxYSuxxuYS YSuuYS x tt x xx xxxxx 段的运动方程是段的质量是考虑把 合力是段的拉力是段对是 段的拉力段对小段设想在圆锥杆上截取一解 如果ux x dx 0 B段右侧 受力为负向 ux x 0左侧受力为正向 49 tan tan tan d d 2 2 2 2 22 22 222 2 22 x u x xx a u x ux aux x ux aux Ya x r S SxS x x Su YuxS tt x tt x tt x tt 得令 代入上式不能约化掉 用 不对等 中 左右的函数 右侧在微分式是 50 例 p152 7 1 4 试推导一维和三维的热 传导方程 7 1 31 7 1 32 解 一维情形 x u xt u c tSx x u x tS x u x u uxScQ uc BxQ tS x u x u Q x u q x u q tSqqQ xxx xxx xxoutxin outin d dd d d d d d d d d d d d d d 温度升高比热密度物质区域区域使 微元的净流入热量 A C B qin qout x x dx x 51 三维情形 z u zy u yx u xt u c tV z u zy u yx u x uVc QuVc uc VQ tzyx z u z Qzzz tzyx y u y Qyyy tzyx x u x tzy x u x u Q yzxxxzyxV xxx d d d d dd d d d d d d dd d d d d dd d d d d dd d d d d d d d dd 1 2 3i i 1 2 3i i 3 2 d1 即 温度升高比热密度区域物质使 两面流入的热量通过 两面流入的热量同样通过 流入的热量平面两面通过取任一小体积元 x x dx z y x 52 t t tQ Q QQ t Q t Q Qt Q Q t Q Q t Q Q Q t Q Qt Qt Q t Q Q 0 0 0 0 0 e d d e ln d d d d d d 0 d d 0 时刻的放热速率为 为时刻储存的水化热密度在 储存的水化热密度为在初始时刻浇灌后的混凝土中解 内的热传导方程试推导浇灌后的混凝土即热密度 储存着的水化放热速率正比于当时尚水化热混凝土浇灌后放出 例 p152 7 1 5 dV dx dy dz 53 t t t Qu t u c Qu zyxt u c Q z u zy u yx u xt u c t Q z u zy u yx u xt u c tV t Q tV z u zy u yx u x uVc QQuVc 0 2 0 2 2 2 2 2 2 0 1 2 3i i e e e d d d d d d d d d d d dd d 是常数当 即 体元吸收内部放热体元外部传入热 54 例 p152 7 1 6 均质导线电阻率为r 通过均匀分布的直流电 电流密度 为j 试推导导线中的热传导方程 j x x dx x 先考虑一维情形面的热量 截为单位时间内通过单位 设热量沿电流方向传播解 q 热量热源在体元内产生产生流入体元净热量体元升温需要热量 上产生的焦尔热为的导体在体元电阻率为电流密度为 的净热量是时间内