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高考数学归纳法的常考题型文/谭著名一、题意直接指明利用数学归纳法证题的探索题型例1 已知数列满足：.(1)猜想数列的单调性,并证明你的结论.(2)证明：.(1)解：由和，得.由，猜想：数列是递减数列.下面用数学归纳法证明.当n=1时，命题成立.假设当n=k时命题成立，即，易知，那么=，即，也就是说，当n=k+1时命题也成立.结合，可知命题成立.(2)证明：当n=1时，结论成立.假设当时命题成立，则有.当时，易知.当时，.也就是说，当时命题成立.结合，可知命题成立.小结 本题中明确说明“先猜想再证明”的数学归纳法的证题思路.观察、归纳、猜想、证明是解决这类探索型问题的思维方式，其关键在于进行正确、合理的归纳猜想，否则接下来的证明只能是背道而驰了.二、与正整数有关的不等式证明通常采用数学归纳法的证明题型例2 等比数列的前n项和为，已知对于任意的，点均在函数且均为常数)的图像上.(1)求r的值.(2)当时，记，证明：对于任意的，不等式成立.(1)解：因为对于任意的，点均在函数且均为常数)的图像上，所以有.当时，.当时，.又数列是等比数列，所以，公比为，.(2)证明：当时， ，则，所以.下面用数学归纳法证明不等式成立.当时，左边=，右边=.由于，所以不等式成立.假设当时不等式成立，即成立，则当时，左边=.所以当时，不等式也成立.综合，可知不等式恒成立.小结 数学归纳法是证明不等式的一种重要方法.与正整数有关的不等式，如果用其他方法证明比较困难时，我们通常会考虑用数学归纳法.用数学归纳法证明不等式时，我们应分析与相关的两个不等式，找出证明的目标式子和关键点，适当地利用不等式的性质、比较法、分析法、放缩法等方法证得结论.三、利用数学归纳法比较两个与正整数有关的代数式大小的题型例3 已知数列的前n项和(n为正整数).(1)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式.(2)令，试比较与的大小，并予以证明.(1)证明：在中，令n=1，可得，即.当时，.又数列是首项和公差均为1的等差数列.于是有.(2)解：由(1)可得，所以， . -，得.于是确定的大小关系等价于比较的大小.由可猜想当证明如下：(i)当n=3时，由上验算可知不等式显然成立.(ii)假设当时，成立.则当时，.所以当时猜想也成立.综合(i)(ii)，可知对于一切的正整数，都有所以当时，；当时，.小结 两个式子的大小关系随取值的不同而不同.像这种情况学生要注意不要由时的大小关系，得出，应向后多试验几个值后，再确定所下结论的准确性，以免走弯路.四、用数学归纳法求范围的题型例4 首项为正数的数列满足(1)证明：若为奇数，则对于一切都是奇数.(2)若对于一切，都有，求的取值范围.(1)证明：已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，则由递推关系可得是奇数.根据数学归纳法，可知，都是奇数.(2)解：由得于是或.由于所以所有的均大于0.所以与同号.根据数学归纳法，可知，与同号.因此，对于一切，都有的充要条件是或.小结 解答本题
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