新形势下_数学分析_课程教考点分析.pdf

保 山 师 专 学 报2002 21 2 13 17CN53 1128 G4ISSN1008 6587 J ournal of Baoshan Teachers College 新形势下 数学分析 课程教考点分析 李 祥 杨春华 邢 妍 普映娟 保山师范高等专科学校数学系 云南保山 678000 摘要 根据师专数学教育专业专业课时压缩的实际情况 就 数学分析 课如何开展教学 和考查 对相关知识点进行分析并提出不同的教学目标层次 以实现在不降低教学质量 的同时 缓解并进一步解决内容多与课时少的矛盾 关键词 数学分析 教考点 目标层次 中图分类号 O17 4文献标识码 A文章编号 1008 6587 2002 02 0013 05 数学分析 是师专数学专业的一门重要基础课 近年来 曾对该课程作了调整 其趋势是降低 难度 适当压缩课时 但与之适应的教材并未跟上 形成教材不变 内容不变 课时减少的矛盾 于 是教师只得以课时定内容 自行删减 合并 带来教学上的随意性 使得教与学的难度都增加了 也 不便于教考分离的顺利实施 为加强对教师教学的宏观管理及公正地评价学生的学习效果 结合 师专三年制专科教育的实践 按照 了解 理解 掌握 灵活运用 四个目标教学层次 我们在教学内 容和方法的改革上 把握少教多学的原则 为提高学生学习兴趣使学生有机会独立参加学习活动的 原则 发挥教师导学作用的原则 制定了该课程教考点概要 本概要以现行教材 数学分析 刘玉琏 傅沛仁编 编排顺序拟订 1函数 函数是数学分析中最基本的研究对象 本章是在中学数学的基础上 对函数的概念作更深一个 层次的加深和拓广 这将有助于进一步学习打下重要基础 1 1主要内容 1 函数概念及表示法 函数的四则运算与复合运算 函数定义域 反函数的定义域及图象 2 几 种特殊类型的函数 有界函数 单调函数 奇偶函数 周期函数 的概念 六类基本初等函数的定义与 性质 3 几个常用的非初等函数 整数部分函数 符号函数 迪利克莱函数 1 2考查点及目标层次 1 理解函数 反函数 复合函数 单调函数和有界函数概念 2 理解函数的定义域 值域 掌握 函数的复合与分解 3 了解函数的表示法 掌握分段函数的表示法及意义 4 理解邻域的概念 为学 习极限定义作好准备 2极限 极限是研究函数的工具之一 分析课程中几乎所有的概念都是用极限定义的 因此 极限理论 是数学分析的基础 极限论抽象程度高 理论性强 对刚开始学习数学分析的学生来讲 难度很大 是数学分析的重点又是数学分析的难点 2 1主要内容 1 数列极限的概念与性质 数列 数列极限的定义 几何意义 唯一性 有界性 保号性 有关不 等式的性质 2 单调有界数列 3 子数列 子数列概念 数列 an 的极限与子数列 ank 极限之间的关 系 4 函数极限概念 x x0时f x 的极限定义 左右极限与函数在该点的极限之间的关系 5 函数 极限性质 具有类似于数列极限的性质 复合函数的极限 6 函数极限与数列极限之间的关系 海涅 定理 7 两个重要极限 lim x 0 sinx x 1 lim x 1 1 x x e lim n 1 1 n n e 8 无穷小量与无穷大量的 定义 无穷小的比较 2 2考查点及目标层次 1 掌握数列极限与函数极限的概念 掌握它们的有关性质及其证法 2 灵活运用 N A 等数学语言处理极限的有关问题 3 灵活运用极限的四则运算法则 两边夹定理 单调有界 数列极限存在定理 熟练地求极限 4 理解重要极限lim x 0 sinx x 1 lim x 1 1 x x e lim x 0 1 x 1 x e 并能灵活运用 5 理解海涅定理 并掌握其应用 了解并熟记哥西收敛准则极其否定叙述 会用 哥西收敛准则判断函数极限的存在性 6 理解无穷小量的概念与性质 理解无穷大量概念 掌握无 穷小量阶的比较 7 灵活运用极限理论进行极限运算 3连续函数 连续函数是极限理论的进一步延伸 连续函数的概念 闭区间上连续函数的基本性质 一致连 续的概念 是数学分析基本理论的一个组成部分 应用广泛 3 1主要内容 1 连续概念 函数在一点连续 单侧连续与区间上连续的定义 间断点及其分类 2 函数在一 点连续的性质 保号性 有界性 四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性 3 闭区间上连 续函数的性质 介值性 有界性 最值定理 3 2考查点及目标层次 1 掌握函数连续概念 2 了解不连续点及其分类 3 解初等函数在其定义域上的连续性 4实数的连续性 由于实数具有连续性 使得实数运算在实数集合上是封闭的 只有让学生理解实数的连续性 才能深刻理解极限理论 学习和掌握好数学分析的基本理论 4 1主要内容 1 确界概念 确界存在定理 单调有界数列存在定理 区间套定理 聚点定理 收敛准则 有限覆 盖定理 2 一致连续的概念 4 2考查点及目标层次 1 了解一致连续概念 并掌握判断函数一致连续的方法 2 掌握闭区间上连续函数的性质及应 用 了解它们的证明 5导数与微分 导数和微分的概念是微分学最基本的概念之一 导数和微分的运算是数学分析最基本的运 算 并且导数是研究函数的有利工具 因此导数和微分是数学分析的核心内容之一 对其把握程度 直接影响积分学理论的学习 5 1主要内容 1 导数概念 概念的引入 导数定义 包括单侧导数与函数在该点的导数之间的关系 导数的 几何意义 可导与连续之间的关系 2 求导法则 四则运算 复合函数的导数 反函数的导数 基本求 导公式 隐函数求导法 参数方程求导法 极坐标方程求导法 3 微分 微分的定义 微分的几何意 义 微分与导数之间的关系 微分法则 一阶微分形式不变性 微分在近似计算中的应用 4 高阶导 14保山师专学报第21卷 数与高阶微分 高阶导数 莱布尼兹公式 不证 求参数方程的高阶导数 高阶微分 5 2考查点及目标层次 1 掌握导数与微分的定义及其几何意义 了解导数与微分的异同及应用 2 掌握利用导数定义 计算函数的导数 含分段函数 牢记导数公式表中的公式 灵活运用函数的求导法则 四则运算 反 函数 复合函数 隐函数及用参数方程表示的函数的求导法则 熟练地计算初等函数的导数 3 理 解函数的高阶导数定义 6微分学基本定理及其应用 函数的导数是研究函数的重要工具 但是函数的导数只能描述函数在一点处的局部性质 为能 用导数研究函数的整体性质 必须建立起局部和整体之间的关系 中值定理就具体的建立了这种联 系 起到了利用导数研究函数形态的桥梁作用 它也是微分学的重要理论基础 在此基础上研究函 数的性态 正是我们学习数学分析的重要任务之一 6 1主要内容 1 中值定理 费尔马定理 洛尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 泰勒公式 泰勒公 式 泰勒公式的余项 拉格朗日型 3 洛毕达法则 4 导数在研究函数性态中的应用 单调性 极值 性 凹凸性 渐近线 函数作图 6 2考查点及目标层次 1 掌握拉格朗日中值定理的条件 结论和证明方法 并能灵活运用中值定理证明等式和不等 式 2 了解泰勒展开式的展开原理 记住五个重要函数 e x sin x cos x ln 1 x 1 x x的马克劳林展开 式 3 理解洛毕达法则并能灵活运用该法则求待定型的极限 4 掌握导数在研究函数性态方面的应 用 了解描绘函数图象的方法和步骤 7不定积分 不定积分是求导运算的逆运算 不定积分是微积分学的一个重要组成部分 也是进一步学习定 积分 复变函数 微分方程等后续课程的重要基础 7 1主要内容 1 不定积分的概念 原函数与不定积分的概念 基本积分表及运算法则 2 积分法 换元积分 法 分部积分法 有理函数的积分 三角有理式的积分 7 2考查点及目标层次 1 掌握原函数与不定积分的概念 知道二者之间的区别 2 掌握不定积分表中的公式并能灵活 运用 3 灵活运用换元积分法和分部积分法进行不定积分运算 了解有理函数积分法 8定积分 定积分概念是微积分的基本概念之一 它是一种具有特定结构的和式的极限 而且比以前学过 的极限复杂得多 定积分不仅是后续课程的重要的理论基础而且有广泛的应用 8 1主要内容 1 定积分概念 概念引入 定积分定义 几何意义 2 定积分存在的条件 可积的必要条件 大和 小和及其性质 可积准则 3 可积函数类 连续函数 单调函数 只有有限个间断点的有界函数 4 定 积分的性质 线性性 有限可加性 单调性 绝对可积性 积分第一中值定理 5 微积分基本定理 可 变上限的定积分及其性质定理 牛顿 莱布尼兹公式 6 定积分的计算 换元积分法 分部积分 法 7 定积分的几何应用 平面图形的面积 已知截面面积函数的立体体积 旋转体的侧面积 曲线 的弧长与曲率 变力作功 第2期李祥 杨春华 邢妍 普映娟 新形势下 数学分析 课程教考点分析15 8 2考查点及目标层次 1 理解定积分概念 掌握构造积分和与积分和极限的意义 2 了解可积准则 理解可积函数 类 3 掌握定积分的性质与微积分基本定理 能灵活运用牛顿 莱布尼兹公式 4 掌握并灵活运 用定积分的积分法 5 理解微元法的意义 掌握定积分在几何上的应用 9级数 级数是数学分析的一个重要内容 是研究函数的一个重要工具 在抽象理论与应用科学中 级 数都处于重要的地位 一方面能够借助级数表示很多有用的非初等函数 另一方面又可将函数表 示为级数 从而能够借助于级数研究这些函数 9 1主要内容 1 数项级数的收敛性 正项级数敛散性判别法 任意项级数敛散性判别法 2 绝对收敛与条件 收敛的定义及性质 3 函数项级数的一致收敛性 判别法和分析性质 4 幂级数的收敛区间 收敛半 径以及性质和展开 5 傅立叶级数的概念 9 2考查点及目标层次 1 掌握数值级数收敛 级数的和 与发散的概念 能熟练应用几种常用的判别法判别数值级数 的敛散性 2 理解收敛级数的基本性质 掌握几何级数 n 0q n 和广义调和级数 n 0 1 np 的敛散性 3 掌握绝 对收敛与条件收敛的概念 并了解这两类收敛级数代数运算 交换率 分配率 的差别 4 理解一致 收敛的概念并会书写一致收敛定义及其否定叙述 掌握优级数判别法 5 掌握函数级数和幂级数的 和函数分析性质 6 掌握幂级数的收敛半径 收敛半径的存在性的证明只要求看懂 收敛域的求 法 并能将几个常用函数 e x ln 1 x sinx cosx arcsinx 1 x a 展成马克劳林级数 7 理解幂级 数的和函数的分析性质 并能运用逐项微积分和逐项积分在收敛区间内求幂级数的和函数 10多元函数微分学 多元函数是一元函数的推广和继续 一元微分学的多数概念与定理都可以相应地推广到多元 函数微分学中 这是它们的共性 但由于它们定义域结构上有本质的不同 必然导致二者存在一些 差异 这是它们的个性 必须密切注意它们的区别和联系 另外由于二元函数与更多元的函数在本 质上无什么区别 所以将以二元函数作为主要研究对象 10 1主要内容 1 平面点集中的几个特殊点的概念 有限覆盖定理的证明不作要求 2 多元函数定义及其极 限求法 二重极限与累次极限的关系 多元函数连续性概念其性质 性质的证明可不作要求 3 偏 导数及全微分 定义及其表示法 方向导数 4 复合函数的偏导数与一阶微分形式的不变性 5 多元 函数的极值与最值 概念 必要条件 充分条件 10 2考查点及目标层次 1 掌握平面点集的一些概念 邻域 内点 界点 聚点 开区域 闭区域 有界区域 无界区域 2 理解二元函数及其极限定义 弄清二重极限与累次极限的的区别与联系 理解二元函数的连续定义 及其性质 3 熟练掌握偏导数的计算 了解偏导数的几何意义 理解全微分的意义及其几何意义 了 解全微分 偏导数 连续三者之间的关系 11隐函数 在理论和实际问题中 常常会遇到其对应法则 由方程 组 所确定的函数组 组 即隐函数 组 它不仅包含了所有的显函数 还包含着非初等函数 从而给出了表示函数的新方法 扩大了研 16保山师专学报第21卷 第2期李祥 杨春华 邢妍 普映娟 新形势下 数学分析 课程教考点分析17 究函数的范围 隐函数 组 是多元函数微积分理论中不可缺少的一个基本内容 11 1主要内容 1 隐函数存在定理 隐函数定义 存在定理 求导法 隐函数组概念及存在定理 证明不作要 求 雅可比行列式 2 条件极值 概念 拉格朗日乘数法 3 隐函数存在定理的几何应用 11 2考查点及目标层次 1 掌握隐函数的导数计算 2 掌握多元函数极值和条件极值的求法 3 隐函数存在定理的应用 空间曲线的切线与法平面 空间曲面的切平面与法线 12广义积分和含参变量的积分 许多理论和实际问题要求我们将函数在有限区间上的定积分从不同的方面予以推广 积分区 间从有限推广到无限 被积函数从有界推广到无界 被积函数从一元到多元 产生了广义性积分与 含参变量的积分 开拓了定积分理论和应用的新领域 是积分学中不可缺少的组成部分 12 1主要内容 1 无界区间上的广义积分和无界函数的广义积分 2 含参变量的定积分 概念 性质 连续性 可微性 积分顺序可交换性 含参变量的广义积分 3 函数与 函数 定义 性质及二者之间的 关系 12 2考查点及目标层次 1 掌握无穷积分和瑕积分的收敛与发散概念 了解绝对收敛和条件收敛的概念 2 掌握无穷积 分和瑕积分敛散性判别法 3 了解含参变量广义积分及一致收敛性概念 掌握其判别法 4 了解 与 函数的性质 掌握 函数在求积分上的应用 13重积分 许多理论和实际问题必然要求把定积分的被积函数从一元推广到多元 积分范围由区间推广到 区域 这就产生了重积分 它是多元函数微分的重要组成部分 在理论和实际上都有广泛的应用 13 1主要内容 1 二重积分的概念 概念的引入 定义 存在性 不证 及性质 2 二重积分的计算 二重积分化 为累次积分及换元法 3 三重积分的概念及计算 4 重积分的简单应用 求体积 面积 曲面面积 求质量 重心 13 2考查点及目标层次 1 掌握二重积分的概念 了解二重积分的可积函数类与性质 2 掌握二重积分的计算 并能根 据积分区域和被积函数的特征进行极坐标替换 会应用二重积分计算光滑曲面块的面积 3 了解三 重积分概念 掌握三重积分的计算 14曲线积分与曲面积分 在理论和实际问题中 常常需要讨论沿曲线和曲面 即以曲线或曲面为积分区域 的积分 这就 产生了曲线积分与曲面积分 它是多元函数微积分的又一重要组成部分 并有广泛的应用 14 1主要内容 1 第一型曲线积分与第二型曲线积分 定义 性质 计算方法以及二者之间的关系 2 格林公 式 3 曲线积分与路径无关的条件 4 第一型曲面积分与第二型曲面积分 定义 性质 计算方法以 及二者之间的关系 5 奥高公式 斯托克斯公式 14 2考查点及目标层次 1 掌握两类曲线积分的概念以及这两类曲线积分的计算 2 理解格林公式 下转第20页 tana tan 3 3 即x 3 3 3 tanA tanB tanC tanAtanBtanC A B C k k N 型 含有类似x y z xy z x y z R的形式题目属于此类型 例5已知x y z xyz x y x z R 求证 2x 1 x2 2y 1 y 2 2z 1 z2 8xyz 1 x2 1 y2 1 z 2 证明 x y z xyz x y z R可设x tanA y tanB Z tanC 其中A B C k k N 则tanA tanB tanC tanAtanBtanC 而2A 2B 2C 2k k N 于是tan2A tan2B tan2C tan2Atan2Btan2C 1 而tan2A 2tanA 1 tan2A 2x 1 x2 tan2b 2tanB 1 tan2B 2y 1 y 2 tan2C 2tanC 1 tan2C 2z 1 z2 2 将 2 代入 1 即证得 2x 1 x2 2y 1 y 2 2z 1 z2 8xyz 1 x2 1 y2 1 z 2 20保山师专学报第21卷 上接第17页 并掌握它的应用 曲线积分与路径无关的条件 3 掌握两类曲面积分的概念及计算方法 了解奥高公 式 斯托克斯公式 近几年来 保山师专分析教研组的所有教师在新形式下面对 数学分析 课的教学与考查进行 了种种尝试 基本上都能按教 考点所列目标层次要求进行教学和教考分离考试 面对 数学分析 课内容多 课时少 而又要在规定时间去完成大纲规定任务的实际情况 我们除了按以上教 考点组 织教学和考试外 将在教学方法和手段的改进上不断进行有益的尝试 强化教学的系统性 整体性 和层次性 为全面提高教与学的效果而