基于直线插补思想实现经济型CNC系统C刀补的算法研究

1 基于直线插补思想实现经济型 CNC 系统 C 刀补的算法研究（三） （先进数控技术江苏高校重点建设实验室（南京工程学院），江苏 南京 210013） 摘要 ： 为在经济型 CNC 系统中全面实现 C 功能刀补，提出一种简单有效的刀补建立和撤消方法，并对现行 C 刀补建立和撤消过程中的刀具中心轨迹加以修正，以解决刀具与工件轮廓之间的干涉问题。 关键词 ： C 刀补 建立与撤消 直线插补 类型判别 转接点计算 Arithmetic Study About Realizing C-cutter Radius Compensation in Economical CNC System Basing on Linear Interpolation Hua Mao-fa cao jin-jiang (Jiangsu province college key laboratory of Advanced Numerical control Technology (Nanjing Institute of Technology), Nanjing, 210013) Abstract: In order to realize comprehensively C-function cutter radius compensation in economical CNC system, the author puts forward a kind of simple and effective method of establishing and cancelling cutter radius compensation, and modifies the present cutter center path of establishing and canceling C function cutter radius compensation so as to solve the problem of the interference between the cutter and work-piece . Keywords: C-cutter radius compensation； Establishment and cancellation；Linear interpolation； Type differentiation； Connecting point calculation 0.前言 刀具半径补偿分为刀补建立、进行和撤消三步。在文献 1和 2中已经讨论了 C 功能刀补在经济型 CNC 系统中的进行问题。本文将继续引用直线插补思想，将刀补计算中的三角函数及开平方等运算转化为简单的加、减运算，为不具备复杂函数运算功能的用单片机开发的经济型 CNC系统提供一种建立和撤消 C刀补的简单算法。同时，就目前 C 刀补建立与撤消方法中存在的刀具与工件轮廓有时会发生干涉（图 1 中 AA ， CC 小于刀具半径 r ）的问题，对刀补建立过程中的第一转接点和撤消过程中的最后一转接点进行修正。 为方便起见，本文以 G42 为例，首先介绍刀具半径矢量的刀偏分量算法，然后再分别讨论刀补的建立和撤消过程中刀具中心轨迹上转接点的算法。 2 1.刀具半径矢量的刀偏分量算法 刀具半径矢量与编程线段的关系有两种：与直线段垂直；与圆弧段各点法线方向一致。据此关系，利用直线插补思想，沿直线或与圆弧段始、终点的法线方向进行插补计算，求 刀具半径矢量 rv 的刀偏分量（rX，rY）。 直线段刀具半径矢量的刀偏分量的算法如图 2a 所示，在直线 OE 上取|O D O D r (r 为刀具半径 )，设直线 OE 的方程为 0uy vx，直线插补的偏差判别函数ij i iF uy vx，则插补 r 段直线的递推关系为 11001,10 , 00 1 ,0 1 ,0 , 0 , 0iijji j x x i j i ji j y y i j i jxyF r r F F vF r r F F ur r F 时 ，时 ， （ 1） 当 2 2 2ijxyr r r时 ， 到 达 插 补 终 点 。 因 此 ， 设 置 终 点 判 别 函 数2 2 2()ijij x yG r r r 。同样可得终点判别函数 G 的递推关系为 1 1 ,1 , 120 , 01 , 2 11 , 2 1i x xiij j jx i j i jy y i j i j yr r G G rr r G G rGr （ 2） 当 0ijG 时，插补结束，刀具半径矢量 rv 的刀偏分量为 ryxrrxyr式中xr，yr的符号分别与 u、 v 相同。 图 1 刀补建立与撤消过程中刀具 图 2 刀具半径矢量与编程线段的关系 与工件轮 廓的干涉 O1r 2rArACCB4r3r2r3rryrrYDrXrxr D E ( u , v )Ya)X0ArXBrXBrYArYAr AAr BBBYb)X0 3 圆弧段刀具半径矢量的算法如图 2b 所示，插补计算方法与直线段完全相同，分别沿 AO 、 BO 插补计算，起点 A 处刀偏分量rAx、rAy和终点 B 处刀偏分量rBx、rBy的符号分别与圆心 O 相对 A 点和 B 点的坐标符号一致 。 2.刀补的建立 刀补的建立有直线与直线相接和直线与圆弧相接两种。 （ 1）直线接直线 直线接直线的转接类型如图 3 中虚线（刀具中心轨迹）所示有三种，即缩短型（图 3a）、伸长型（图 3b、 c、 d）和插入型（图 3e）。主要依据转接角 来判断其转接类型。 图 3 直线接直线的刀补建立转接类型 1）确定转接角 转接角 定义为刀补建立线段 O!A与编程线段 AB 之间的逆时针夹角（图 4）。设 A 点相对 O1点的坐标为11( , )uv， B 点相对 A 点的坐标为（22,uv），将 xoy 坐标系平移至 A 点，并旋转一 角，使 x 轴与线段1OA重合，则 B 点在 xAy坐标系中的坐标为 1 2 1 21|Bu u v vx OA 1 2 1 21|Bu v v uy OA （ 3） A 1 1AA ( X , Y )1AAA(X ,Y )A ( X , Y )2 A 22AA 3 3AA ( X , Y )3A 2 2A2A ( X , Y )1A ( X , Y )A 11AA(X ,Y )AAA AA(X ,Y )1A ( X , Y )A 11A1A ( X , Y )A 11AAAA(X ,Y )AA1A1Arrrd1O1O1A (X,Y)BBBBA(X ,Y )dYa)X0Yb)X0BB1OrrYc) X0YP ( X , Y )r2r+2rr 1r1X BB10Yd) X01r12rrrrBBYe) X00 4 由于式中 |1OA|0，所以由式（ 3）可得转接角 范围如下： 当1 2 1 2u v vu0 时 , 270 2） 计算转接点的坐标 当 180时，有两种转接情形： a.当刀补建立线段起点1O到直线 AB 的距离 dr （ r 为刀具半径，为避免开方运算，可用 22dr 代替 dr ）时，为缩短型（图3a）； b.当 dr 时，为缩短型（图 3b）。为缩短型时，转接点1A的坐标为 图 4 直线接直线的转接角 1A A rx x x1A A ry y y为伸长型时，转接点1A的坐标为 11A A r rA A r rx x x yy y y x （ 4） 式中rx、ry为垂直于线段 AB 的刀具半径矢量的分量。 当 1 8 0 2 7 0 时，为伸长型。图 3c 为 180时的伸长情形，利用式（ 4）即可求得其转接点1A的坐标。图 3d 为 1 8 0 2 7 0 时的伸长情形，转接点1A的坐标为 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 式中1rx、1ry为垂直于刀补建立段1OA的刀具半径矢量 1rv 的分量。转接点2A显然在矢量 12rrv uv方向上，因此， 可沿 12rrv uv（2 1 21 ,r r r rx x y y）方向逐点插补求2A点。设2AA上任意一点 P 在 xAy坐标系中的坐标为（ x ， y ），则当 P 点到直线1OA的距离112211|v x u ydruv时， P 点就是转接点2A。据此关系，设置终点判别函数1OY XBOYX 5 2 2 2 21 1 1 1( ) ( )G r u v v x u y ，其递推关系为 221 1 , 1 1 1 11 , 1 1 1 1 12 2 20 , 0 1 11 , 2 21 , 2 2()i i i j i j i jj j i j i j j ix x G G v x v u y vy y G G u y v u x uG r u v （ 5） 当 0ijG 时，停止插补。所求转接点2A在 xoy 坐标系中的坐标为 2AAx x x2AAy y y当 270时，为插入型（图 4e）。三个转接点的坐标为 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 2 1 1A A r rx x x y 2 1 1A A r ry y y x 3 2 2A A r rx x x y 3 2 2A A r ry y y x 式中2rx、2ry为垂直于线段 AB 的刀具半径矢量的分量。 （ 2）直线接圆弧 以直线接顺圆 G02 为例，其转接类型如图 5 中虚线（刀具中心轨迹）所示也有三种，即缩短型（图 5a）、伸长型 (图 5b、 c、 d)和插入型 (图 5e)。其转接类型的判别同样主要依据转接角 。 图 5 直线接顺圆的刀补建立转接类型 1）确定转接角 BBAA ( X, Y)AA 3 3A3A ( X , Y )1A ( X , Y )A 11AA 2 2A2A ( X , Y )A ( X , Y )3 A 33AA ( X , Y )2 A 22AA 1 1AA ( X , Y )1A 4 4A4A ( X , Y )AA ( X , Y )AAAA (X , Y)A ( X , Y )2 A 22A1A ( X , Y )A 11AAAA 2 2AA 1 1AA AAA1O 2rr1rr 2r1OBBe) XOY2rr 2+1rrrP ( X ,Y )XY2Od)YO 1XO21r2A ( X , Y )Xr21YO Xc)rOOBBYOb)A ( X , Y )1A (X , Y)rd OOBBEA (X , Y)11112A ( X , Y )rOd EBBOXa)OY 6 如图 6 所示，按逆时针 方向定义刀补建立直线段1OA与圆弧段 AB 起点处的半径2AO的夹角 为转接角。设刀补建立段终点 A 相对于起点1O的坐标为（1u，1v），编程轮廓圆弧段 AB 的圆心2O相对 于起点 A 的坐标为（2OI，2OJ），则参照（ 3）式得2O在 xAy坐标系中的坐标为： 222222111111|OOOOOOu I v JxOAu J v IyOA （ 6） 其中1| | 0OA。所以由（ 6）式得转接角 范围如下： 当2 2 2 21 1 1 10 , 0O O O Ou I v J u J v I 时， 90 当2 2 2 21 1 1 10 , 0O O O Ou I v J u J v I 时， 9 0 1 8 0 当2211 0OOu J v I时， 180 当2211 0OOu I v J，22110OOu J v I时， 90 2）计算转接点坐标 当 90时，有两种转接情形： a.当刀补建立段起点1O到圆弧段起点 A 的切矢 Euv的距离 dr （刀具半径）时，为缩短型（图5a）； b.当 dr 时，为伸长型 (图 5b)。切矢 Euv和距离 d 由已知条件很容易求得。为缩短型时，转接点1A的坐标为 1A A rx x x1A A ry y y为伸长型时，转接点1A、2A的坐标为 1122A A r rA A r rA A rA A rx x x yy y y xx x xy y y （ 7） ABO 2O 1XYO XY图 6 直线接顺圆的转接角 7 式中rx、ry为圆弧起点处的刀偏分量。 当 9 0 1 8 0 时，为伸长型。图 5c 为 90时的伸长情形，转接点1A、2A坐标的计算式与（ 7）式相同。图 5d 为 9 0 1 8 0 时的伸长 情形，转接点1A、3A坐标的计算式为 1 1 1A A r rx x x y 1 1 1A A r ry y y x 22A A rx x x22A A ry y y式中1rx、1ry是刀补建立段1OA的刀偏分量，2rx、2ry是圆弧段起点的刀偏分量。转接点2A显然在矢量 12rrv uv方向上，同样可沿 12rrv uv（21rrxx，12rryy）方向逐点 插补求2A点。设2AA上任一点 P 在 xAy坐标系中的坐标为（ x ， y ），则当2 2 2P A r A P 时， P 点就是2A点。因此，设置终点判别函数112 2 2 2 2( ) ( ) ( )rrG r x x y y x y ，其递推关系为 111 1 ,1 , 120 , 01 , 21 , 22i i i j i j rj j i j i j rx x G G xy y G G yGr （ 8） 当 0ijG 时，结束插补，所求转接点2A在 xoy 坐标系中的坐标为 2AAx x x2AAy y y当 180时，为插入型（图 5e）。