北京大学2005数学分析试题及解答.pdf

北京大学 2005 数学专业研究生 数学分析 1 设x xx xx xfsin sin 1sin 2 2 试求 suplimxf x 和 inflimxf x 解 2 2 sin1 sinsin 0 1 sin xx f xxx xx 首先我们注意到 在的时候是单调增的 222 222 sin1sin sinsin limsup 1 sin11 xxxxx xxxxf x xxxx 并且在 充分大的时候显然有所以易知在 当然此上极限可以 令2 2 xkk 这么一个子列得到 22 22 sinsin lim0 liminf0 liminf 0 sinsin xxx xxx f xf x xxxx 对于的下极限我们注意到而所以有 此下极限当然可以 令 21 xkk 这么个子列得到 2 1 设 xf在开区间 ba可微 且 xf 在 ba有界 证明 xf在 ba一致连续 证明 fxxa bMf xa b 设在时上界为因为在开区间上可微 12 x xa b 对于由 Lagrange中值定理存在 12121212 x xf xf xfxxM xx 使得 这显然就是 12 Lipschitzx xf xa b条件 所以由任意性易证明在上一致收敛 2 设 xf在开区间 ba 显然这个函数在 0 xy 的时候 有偏导 数存在 22 222 22 222 y x x xy fx y xy y yx fx y xy 而对于0 xy 的时候 有 0 0 y x fx y fx y 此式在原 点也成立 对于任意方向极限 有 2 2 00 cossin lim cos sin limcossinf g 显然沿任意方向趋于原点 此函数的方向极限都存在 最后 因为沿不同方向 趋向原点 不妨设 0 显然 4 有不同的极限 cossincossin 与 且其都不为 0 所以该函数在原点不连续 5 计算 L dsx2 其中L是球面1 222 zyx与平面0 zyx的交线 解 首先 曲线L是球面1 222 zyx与平面0 zyx的交线 因为平面 0 zyx过原点 球面1 222 zyx中心为原点 所 以 它 们 的 交 线 是 该 球 面 上 的 极 大 圆 再 由 坐 标 的 对 称 性 易 知 有 222 LLL x dsy dsz ds 因此有 2 L x ds 222 1 3 L xyzds 1 3 L ds 2 3 6 设函数列 xfn满足下列条件 1 n xfn在 ba连续且有 1 xfxf nn bax 2 xfn点点收敛于 ba上的连续函数 xs 证明 xfn在 ba上一致收敛于 xs 证法 1 首先 因为对任意 000 n xa bfxS x 有 且有 010 nn fxfx 所以 k n 对于任意 k nn 有 00 0 3 n S xfx 当 0 0 x xxxa b 且 时 有 0 3 kk nn fxfx 以及 0 3 S xS x 0 0 x xxxa b 且 时 有 0000 kkkk nnnnn S xfxS xfxS xS xS xfxfxfx 如此 令 00 0 xx xxx 时 有 n S xfx 时 且 xa b 有 n S xfx 对于任意n 有一 n x 使得 0 nnn fxS x 又 n x 有界 由Bolzano Weierstrass定理 所以其必存在 收 敛 子 列 k n x收 敛 于 a b中 某 值 0 x 因 为 对 任 意 000 n xa bfxS x 有 且有 010 nn fxfx 所以 p k n 当 p kk nn 时 有 0 0000 3 kkp nn S xfxS xfx 由 S x与 1 kp n fx连 续 性 存 在 一 0 当 00 xxxa b 且时 有 11 00 00 33 kk pp nn S xS xfxfx 当 kK nn 时 00 k n xx 时 有 1111 0000 kk