综合题中的求线段长度问题.doc

2017年08月11日风的初中数学组卷一解答题（共21小题）1如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）2如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由3如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当FAB=EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长4如图，在平面直角坐标系中，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（4，0），抛物线的顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由5如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由6如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由7如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由8如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3（a0）过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tanCAO=3（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2（m+3）y+（5m22m+13）=0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且MP平分QMH，求出t值及点M的坐标9在平面直角坐标系中，抛物线y=ax25ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C（1）如图1，连接AC、BC，若ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若BCP=2ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PHx轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，KAH=FKH，PF=4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长10如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tanABO=，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，求ABD的面积；（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？11如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式；（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得DBE=45？若不存在请说明理由；若存在请求E点的坐标12已知抛物线l：y=（xh）24（h为常数）（1）如图1，当抛物线l恰好经过点P（1，4）时，l与x轴从左到右的交点为A、B，与y轴交于点C求l的解析式，并写出l的对称轴及顶点坐标在l上是否存在点D，使SABD=SABC，若存在，请求出D点坐标，若不存在，请说明理由点M是l上任意一点，过点M做ME垂直y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点M的坐标（2）设l与双曲线y=有个交点横坐标为x0，且满足3x05，通过l位置随h变化的过程，直接写出h的取值范围13二次函数y=（x1）2+k分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，点A在点B的左侧，直线y=x+2经过点B，且与y轴交于点D（1）如图1，求k的值；（2）如图2，在第一象限的抛物线上有一动点P，连接AP，过P作PEx轴于点E，过E作EFAP于点F，过点D作平行于x轴的直线分别与直线FE、PE交于点G、H，设点P的横坐标为t，线段GH的长为d，求d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点G作平行于y轴的直线分别交AP、x轴和抛物线于点M、T和N，tanMEA=，点K为第四象限抛物线上一点，且在对称轴左侧，连接KA，在射线KA上取一点R，连接RM，过点K作KQAK交PE的延长线于Q，连接AQ、HK，若RAERMA=45，AKQ与HKQ的面积相等，求点R的坐标14如图所示，二次函数y=ax2x+c的图象经过点A（0，1），B（3，），A点在y轴上，过点B作BCx轴，垂足为点C（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由15如图1，直线l：y=x+与x轴负半轴、y轴正半轴分别相交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过点B（1，0）和点C（1）求抛物线的解析式；（2）已知点Q是抛物线y=x2+bx+c在第二象限内的一个动点如图1，连接AQ、CQ，设点Q的横坐标为t，AQC的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；连接BQ交AC于点D，连接BC，以BD为直径作I，分别交BC、AB于点E、F，连接EF，求线段EF的最小值，并直接写出此时点Q的坐标16如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，2），抛物线的对称轴交x轴于点D（1）求抛物线的解析式；（2）求sinABC的值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标17如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A左B右），交y轴于点C，直线y=x分别交抛物线于D、E，连接BD，且OD=4，OB=4（1）求抛物线的解析式；（2）点P为线段BD上方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交直线DE于N设P点的横坐标为m，线段PN的长为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点B作BGDE，垂足为G，过点P作PHBD，垂足为H，若GH=GP求点点P的坐标18如图，抛物线y=ax2+3x+c经过A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限的抛物线上，且点P的横坐标为t，过点P向x轴作垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式，并求出m的最大值；（3）当PQ的长度取最大值时，PQ与x轴交点记为D，在x轴上是否存在点E，使以点B，C，E为顶点的三角形与BQD相似？如果存在，直接写出E点坐标；如果不存在，请说明理由19如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于点A（2，0）和B（B在A右），交y轴于点C，直线y=2kx12k经过点B，交y轴于点D，CD=OD（1）求抛物线的解析式；（2）若P是第一象限抛物线上的一点，过P点作PHBD于H，设P点的横坐标是t，求当PH的长最大时P点坐标；（3）在（2）的条件下，将射线PH绕着点P顺时针方向旋转45交抛物线于点Q，求Q点关于直线PH的对称点E的坐标20如图，直线y=x+1与y轴交于A点，过点A的抛物线y=x2+bx+c与直线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）直接写出抛物线的解析式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由21如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，3），动点P在抛物线上（1）b= ，c= ，点B的坐标为 ；（直接填写结果）（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标2017年08月11日风的初中数学组卷参考答案与试题解析一解答题（共21小题）1（2017宁波）如图，抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连结AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D（1）求c的值及直线AC的函数表达式；（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连结PQ与直线AC交于点M，连结MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点求证：APMAON；设点M的横坐标为m，求AN的长（用含m的代数式表示）【分析】（1）把C点坐标代入抛物线解析式可求得c的值，令y=0可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的函数表达式；（2）在RtAOB和RtAOD中可求得OAB=OAD，在RtOPQ中可求得MP=MO，可求得MPO=MOP=AON，则可证得APMAON；过M作MEx轴于点E，用m可表示出AE和AP，进一步可表示出AM，利用APMAON可表示出AN【解答】解：（1）把C点坐标代入抛物线解析式可得=9+c，解得c=3，抛物线解析式为y=x2+x3，令y=0可得x2+x3=0，解得x=4或x=3，A（4，0），设直线AC的函数表达式为y=kx+b（k0），把A、C坐标代入可得，解得，直线AC的函数表达式为y=x+3；（2）在RtAOB中，tanOAB=，在RtAOD中，tanOAD=，OAB=OAD，在RtPOQ中，M为PQ的中点，OM=MP，MOP=MPO，且MOP=AON，APM=AON，APMAON；如图，过点M作MEx轴于点E，则OE=EP，点M的横坐标为m，AE=m+4，AP=2m+4，tanOAD=，cosEAM=cosOAD=，=，AM=AE=，APMAON，=，即=，AN=【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及方程思想等知识在（1）中注意函数图象上的点的坐标满足函数解析式，以及待定系数法的应用，在（2）中确定出两对对应角相等是解题的关键，在（2）中用m表示出AP的长是解题的关键，注意利用相似三角形的性质本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大2（2017烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PHEO，垂足为H设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知PGH=45，用m可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得MFNAOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标【解答】解：（1）矩形OBDC的边CD=1，OB=1，AB=4，OA=3，A（3，0），B（1，0），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x2x+2；（2）在y=x2x+2中，令y=2可得2=x2x+2，解得x=0或x=2，E（2，2），直线OE解析式为y=x，由题意可得P（m，m2m+2），PGy轴，G（m，m），P在直线OE的上方，PG=m2m+2（m）=m2m+2=（m+）2+，直线OE解析式为y=x，PGH=COE=45，l=PG=（m+）2+=（m+）2+，当m=时，l有最大值，最大值为；（3）当AC为平行四边形的边时，则有MNAC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，则ALF=ACO=FNM，在MFN和AOC中MFNAOC（AAS），MF=AO=3，点M到对称轴的距离为3，又y=x2x+2，抛物线对称轴为x=1，设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=4，当x=2时，y=，当x=4时，y=，M点坐标为（2，）或（4，）；当AC为对角线时，设AC的中点为K，A（3，0），C（0，2），K（，1），点N在对称轴上，点N的横坐标为1，设M点横坐标为x，x+（1）=2（）=3，解得x=2，此时y=2，M（2，2）；综上可知点M的坐标为（2，）或（4，）或（2，2）【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得A、B的坐标是解题的关键，在（2）中确定出PG与l的关系是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中3（2017咸宁）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当FAB=EDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长【分析】（1）由条件可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，进一步可求得D点坐标；（2）过F作FGx轴于点G，可设出F点坐标，利用FAGBDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；（3）可求得P点坐标，设T为菱形对角线的交点，设出PT的长为n，从而可表示出M点的坐标，代入抛物线解析式可得到n的方程，可求得n的值，从而可求得MN的长【解答】解：（1）OB=OC=6，B（6，0），C（0，6），解得，抛物线解析式为y=x22x6，y=x22x6=（x2）28，点D的坐标为（2，8）；（2）如图1，过F作FGx轴于点G，设F（x，x22x6），则FG=|x22x6|，在y=x22x6中，令y=0可得x22x6=0，解得x=2或x=6，A（2，0），OA=2，则AG=x+2，B（6，0），D（2，8），BE=62=4，DE=8，当FAB=EDB时，且FGA=BED，FAGBDE，=，即=，当点F在x轴上方时，则有=，解得x=2（舍去）或x=7，此进F点坐标为（7，）；当点F在x轴上方时，则有=，解得x=2（舍去）或x=5，此进F点坐标为（5，）；综上可知F点的坐标为（7，）或（5，）；（3）点P在x轴上，由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点，PQ=MN，MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，M（2+2n，n），M在抛物线上，n=（2+2n）22（2+2n）6，解得n=或n=，MN=2MT=4n=+1；当MN在x轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，n），n=（2+2n）22（2+2n）6，解得n=或n=（舍去），MN=2MT=4n=1；综上可知菱形对角线MN的长为+1或1【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中证得FAGBDE，得到关于F点坐标的方程是解题的关键，注意分F点在x轴上方和下方两种情况，在（3）中用PT的长表示出M点的坐标是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中4（2017贺州）如图，在平面直角坐标系中，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（4，0），抛物线的顶点为点D（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）首先依据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入可求得直线AB的解析式，设点E的坐标为（t，t1），则点F的坐标为（t，t22t+3），然后列出EF关于t的函数关系式，最后利用配方法求得EF的最大值即可；（3）过点F作直线aEF，交抛物线与点P，过点E作直线bEF，交抛物线P、P，先求得点E和点F的纵坐标，然后将点E和点F的纵坐标代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而可求得点P、P、P的坐标【解答】解：（1）A，C的坐标分别为（1，0），（4，0），AC=5ABC为等腰直角三角形，C=90，BC=AC=5B（4，5）将点A和点B的坐标代入得：，解得：，抛物线的解析式为y=x22x+3（2）如图1所示：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A和点B的坐标代入得：，解得：k=1，b=1所以直线AB的解析式为y=x1设点E的坐标为（t，t1），则点F的坐标为（t，t22t+3）EF=t22t+3（t1）=t23t+4=（t+）2+当t=时，FE取最大值，此时，点E的坐标为（，）（3）存在点P，能使PEF是以EF为直角边的直角三角形理由：如图所示：过点F作直线aEF，交抛物线与点P，过点E作直线bEF，交抛物线P、P由（2）可知点E的坐标为（t，t1），则点F的坐标为（t，t22t+3），t=，点E（，）、F（，）当t22t+3=时，解得：x=或x=（舍去）点P的坐标为（，）当t22t+3=时，解得：x=1+或x=1点P（1，），P（1+，）综上所述，点P的坐标为（，）或（1，）或P（1+，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数的性质，列出EF的长关于t的函数关系式是解题的关键5（2017宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由【分析】（1）先根据直线的解析式求出A、C两点的坐标，然后将A、C的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式进而可根据抛物线的解析式求出B点的坐标（2）ME的长实际是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于ME的长和F点横坐标的函数关系式，可根据函数的性质来求出ME的最大值（3）根据（2）的结果可确定出F，M的坐标，要使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形，必须满足的条件是MP=BF，那么只需将M点的坐标向左或向右平移BF长个单位即可得出P点的坐标，然后将得出的P点坐标代入抛物线的解析式中，即可判断出是否存在符合条件的P点【解答】解：（1）当y=0时，3x3=0，x=1A（1，0）当x=0时，y=3，C（0，3），抛物线的解析式是：y=x22x3当y=0时，x22x3=0，解得：x1=1，x2=3B（3，0）（2）由（1）知B（3，0），C（0，3）直线BC的解析式是：y=x3，设M（x，x3）（0x3），则E（x，x22x3）ME=（x3）（x22x3）=x2+3x=（x）2+；当x=时，ME的最大值为（3）答：不存在由（2）知ME取最大值时ME=，E（，），M（，）MF=，BF=OBOF=设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，则BPMF，BFPMP1（0，）或P2（3，）当P1（0，）时，由（1）知y=x22x3=3P1不在抛物线上当P2（3，）时，由（1）知y=x22x3=0P2不在抛物线上综上所述：在x轴下方抛物线上不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的判定和性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法（2）中弄清线段ME长度的函数意义是解题的关键6（2017陕西模拟）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【分析】（1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n28n+6），表示出PC的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值【解答】解：（1）B（4，m）在直线y=x+2上，m=6，即B（4，6），A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，解得：，抛物线的解析式y=2x28x+6；（2）存在设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n28n+6），PC=（n+2）（2n28n+6）=2n2+9n4=2（n）2+，20，开口向下，有最大值，当n=时，线段PC有最大值【点评】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式7（2017邵阳县模拟）如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）先设二次函数的解析式为y=ax2，把A点（8，8）代入y=ax2即可求出这个二次函数的解析式，根据直线与y轴的交点横坐标为0即可求出B点坐标为；（2）设P点在上且横坐标为t，得出P点的坐标为（t，t+4），根据PDx轴于E，用t表示出D和E的坐标，再根据PD=h，求出h=t2+t+4，最后根据P与AB不重合且在AB上，得出t的取值范围；（3）先过点B作BFPD于F，得出PF=t+44=t，BF=t，再根据勾股定理得出PB和BC的值，再假设PBOBOC，得出=，即可求出t1和t2的值，从而求出P点的坐标；【解答】解：（1）设此二次函数的解析式为y=ax2，A点（8，8）在二次函数y=ax2上，8=a82，a=，y=x2，直线与y轴的交点为B，B点坐标为：（0，4）（2）P点在上且横坐标为t，P（t，t+4），PDx轴于E，D（t，t2），E（t，0），PD=h，t+4x2=h，h=x2+t+4，P与AB不重合且在AB上，0t8（3）存在，（1）当BDPE时，PBDBCO，=，=，h=t，t2+t+4=t，x=4或x=4（舍去）P点的纵坐标是：4+4=2+4，此时P点的坐标是；（4，2+4）（2）当DBPC时，PBDBCO，过点B作BFPD，则F（t，4），PF=t+44=t，BF=t，根据勾股定理得：PB=t，BC=4假设PBDBOC，则有=，=，解得：t1=8+4，t2=84（不合题意舍去），t+4=（8+4）+4=2，P（8+4，2）【点评】此题考查了二次函数的综合；在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键8（2017湘潭模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3（a0）过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tanCAO=3（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2（m+3）y+（5m22m+13）=0（m为常数）的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且MP平分QMH，求出t值及点M的坐标【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA的值，得出A的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P在线段CB上时，和如图3点P在射线BN上时，就有P点的坐标为（t，t+3），Q点的坐标为（t，t2+2t+3），就可以得出d与t之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m的值，就可以求出方程的解而求得PQ和PH的值，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，就可以得出四边形LQMH是平行四边形，进而得出四边形LQMH是菱形，由菱形的性质就可以求出结论【解答】解：（1）当x=0，则y=x+n=0+n=n，y=ax2+bx+3=3，OC=3=n当y=0，x+3=0，x=3=OB，B（3，0）在AOC中，OA=1，A（1，0）将A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3，得，解得：抛物线的解析式：y=x2+2x+3；（2）如图1，当点P在线段CB上时P点的横坐标为t且PQ垂直于x轴，P点的坐标为（t，t+3），Q点的坐标为（t，t2+2t+3）PQ=t2+2t+3（t+3）=t2+3t如图3，当点P在射线BN上时P点的横坐标为t且PQ垂直于x轴，P点的坐标为（t，t+3），Q点的坐标为（t，t2+2t+3）PQ=t+3（t2+2t+3）=t23tBO=3，d=t2+3t （0t3）， d=t23t （t3），答：当0t3时，d与t之间的函数关系式为：d=t2+3t， 当 t3时，d与t之间的函数关系式为：d=t23t；（3）d，e是y2（m+3）y+（5m22m+13）=0（m为常数）的两个实数根，0，即=（m+3）24（5m22m+13）0整理得：=4（m1）204（m1）20，=0，4（m1）2=0m=1，y24y+4=0PQ与PH是y24y+4=0的两个实数根，解得：y1=y2=2PQ=PH=2，t+3=2，t=1，y=x2+2x+3，y=（x1）2+4，抛物线的顶点坐标是（1，4）此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，LP=MP，PQ=PH，四边形LQMH是平行四边形，LHQM，1=31=2，2=3，LH=MH，平行四边形LQMH是菱形，PMQH，点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，在y=x2+2x+3中，当y=2时，x22x1=0，x1=1+，x2=1综上所述：t值为1，M点坐标为（1+，2）或（1，2）【点评】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，根的判别式的运用，一元二次方程的解法的运用，平行四边形的判定及性质的运用，菱形的判定及性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键9（2017天门二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax25ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C（1）如图1，连接AC、BC，若ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若BCP=2ABC时，求点P的横坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PHx轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，KAH=FKH，PF=4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长【分析】（1）通过解方程ax25ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y=ax25ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式；（2）过点P作PHx轴于H，作CDPH于点H，如图2，设P（x，ax25ax+4a），则PD=ax2+5ax，通过证明RtPCDRtCBO，利用相似比可得到（ax2+5ax）：（4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标；（3）过点F作FGPK于点G，如图3，先证明HAP=KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到10a=61，解得a=，再判断RtPFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=PF=2，接着证明AKHKFG，得到KH=FG=2，则K（6，2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x4，再通过解方程组得到Q（1，5），利用P、Q点的坐标可判断PQx 轴，于是可得到QP=7【解答】解：（1）当y=0时，ax25ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），AB=3，ABC的面积为3，4OC=3，解得OC=2，则C（0，2），把C（0，2）代入y=ax25ax+4a得4a=2，解得a=，抛物线的解析式为y=x2+x2；（2）过点P作PHx轴于H，作CDPH于点H，如图2，设P（x，ax25ax+4a），则PD=4a（ax25ax+4a）=ax2+5ax，ABCD，ABC=BCD，BCP=2ABC，PCD=ABC，RtPCDRtCBO，PD：OC=CD：OB，即（ax2+5ax）：（4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，点P的横坐标为6；（3）过点F作FGPK于点G，如图3，AK=FK，KAF=KFA，而KAF=KAH+PAH，KFA=PKF+KPF，KAH=FKP，HAP=KPA，HA=HP，AHP为等腰直角三角形，P（6，10a），10a=61，解得a=，在RtPFG中，PF=4a=2，FPG=45，FG=PG=PF=2，在AKH和KFG中，AKHKFG，KH=FG=2，K（6，2），设直线KB的解析式为y=mx+n，把K（6，2），B（4，0）代入得，解得，直线KB的解析式为y=x4，当a=时，抛物线的解析式为y=x2+x2，解方程组，解得或，Q（1，5），而P（6，5），PQx 轴，QP=7【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用全等三角形的知识证明线段相等和相似比计算线段的长10（2017南通一模）如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tanABO=，抛物线y=x2+bx+c过A、B两点（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，求ABD的面积；（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？【分析】（1）求出OB，把A、B的坐标代入y=x2+bx+c和y=kx+e求出即可；（2）求出D的坐标，再根据面积公式求出即可；（3）求出M、N的坐标，求出MN的值，再化成顶点式，即可求出答案【解答】解：（1）在RtAOB中，tanABO=，OA=2，即=，0B=4，A（0，2），B（4，0），把A、B的坐标代入y=x2+bx+c得：，解得：b=，抛物线的解析式为y=x2+x+2，设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得：，解得：k=，e=2，所以直线AB的解析式是y=x+2；（2）过点D作DEy轴于点E，由（1）抛物线解析式为y=x2+x+2=（x）2+，即D的坐标为（，），则ED=，EO=，AE=EOOA=，SABD=S梯形DEOBSDEASAOB=（+4）42=；（3）由题可知，M、N横坐标均为tM在直线AB：y=x+2上M（t，t+2）N在抛物线y=x2+x+2上M（t，t2+t+2），作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，MN=t2+t+2（+2）=t2+4t=（t2）2+4，其中0t4，当t=2时，MN最大=4，所以当t=2时，MN的长度l有最大值，最大值是4【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的最值，特殊角的三角函数的应用，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大11（2017淅川县二模）如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，（1）求抛物线的解析式；（2）求P在第一象限的抛物线上，P点的横坐标为t，过点P向x轴做垂线交直线BC于点Q，设线段PQ的长为m，求m与t之间的函数关系式并求出m的最大值；（3）在（2）的条件下，抛物线上一点D的纵坐标为m的最大值，连接BD，在抛物线是否存在点E（不与点A，B，C重合）使得DBE=45？若不存在请说明理由；若存在请求E点的坐标【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解关于b、c的方程组求出b、c的值即可得到抛物线解析式，令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；（2）根据抛物线的解析式y=x2+3x+4，令y=0求得点B的坐标为（4.0），设直线BC的解析式为y=kx+a把点B、C的坐标代入直线BC的解析式为y=kx+a，解关于k、a的方程组求出k、a的值，所以直线BC的解析式为y=x+4，设P点的坐标为（t，t2+3t+4），