2013年第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛A试卷及答案.doc

2013年第四届启智杯数学思维及应用能力竞赛试卷（小学组）参考答案及评分标准 说明：本卷共12题，每题10分，满分120分。答题时间120分钟。1.在下面的算式中，不同的汉字代表19中不同的数字，那么，“为了一切学生”的各字分别代表什么数字？写出一种答案，说明你的分析过程。 【参考答案】“为了一切学生”的各字分别代表“372415” 【分析】由个位数知道，“切”必为偶数，最小为2. 若“切”= 2，则“生”= 1 或 6。 （1）若“切”= 2，“生”= 1，则结合百位，则“了”=3，此时个位、百位、万位均不进位。再分析十位、千位、十万位，可得“为”=“一”=3，“学”=1，数字重复，不符合题意，舍去。 （2）若“切”= 2，“生”= 6，则结合百位，则“了”= 8，此时个位、百位、万位均进位1。再分析十位、千位、十万位，可得“为”=3，“一”=2，“学”=1，数字重复，不符合题意，舍去。 其次若“切”= 4，则“生”= 5，结合百位，则“了”=7，此时个位、百位、万位均进位1。再分析十位、千位、十万位，可得“为”= 3，“一”=2，“学”=1。符合要求。 所以“为了一切学生”的各字分别代表“372415”，原式： 【评分标准】答案及分析正确给满分；只写出正确答案而未加说明，给5分；基本思路正确，而答案错误，给5分；其他情况酌情给分。2. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字中选出8个不同的数字分别填入下面两个算式的方框内（每个数字只许用一次），使它们都成立，简述理由。 o+o - o = o； ooo = o 【参考答案】答案不唯一，比如: （1）4+5 - 1 = 8 ， 36 2 = 9 ； （2） 5+7 - 9 =3， 18 4 = 2.等等 【分析】由乘除数式知道，所选的4个数字必须满足两个之积等于另两个之积；而在加减算式中，所选的4个数字必须满足两个之和等于另两个之和。对于乘除算式，在9个数字中，有多种可能性，比如36=29；46=38；18=24；16=23；26=34。典型结论：若取4、6；3、8，在余下的5个数字1、2、5、7、9中，任何4个数字都不可以取作加减运算。若取3、6；2、9，在余下的5个数字1、4、5、7、8中，1、8；4、5以及4，8；7,5都可以取作加减运算。表现形式有：（1）4+5 - 1 = 8 ， 36 2 = 9 ； （2） 8+1 - 4 = 5， 36 9 = 2. （3）5+7 - 8 = 4 ， 29 3 = 6 ； （4） 4+8 - 5 =7， 92 6 = 3。 等等。【评分标准】答案及分析正确给满分；写出一种正确答案得5分；分析合理得5分；其它情况酌情给分。3. 在如图所示的33的方格中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等。则每一行各数之和是多少？ 【参考答案】2013 【解析】根据题意：每行，每列和两条对角线上的各数的和相等。1216 + 竞+ 赛= 888 +竞+ 999，得到赛= 888 +999 1216 = 671；同理：888 + 赛+ 智= 维+ 1216 + 智，得到维= 888 + 赛1216 = 888 + 671 1216 = 343；于是维+ 赛+ 999 = 343 + 671 +999 = 2013；这说明，每行每列之和都是2013.【注】其它各字所代表的数可以依次算出：思= 782；竞= 126；启= 560；智= 454.【评分标准】得到赛= 671 给4分；进一步得到“维”或“智”给4分；最后得到“和数”再给2分。4. 如下图，根据前面2个图形中四个数的排列规律，在后面图形的空缺处填入适当的数并说明你发现的规律。【参考答案及评分标准】规律：横着看，第一行第一列的数是第一行第二列数的3倍加5；（2分）竖着看，第二行第二列的数是第一行第二列数的平方。（4分）第二行第一列的数是左上右下对角线上两数之和和。（6分）结果：设右上角为x，则，。（9分）35 174x x += 2 4 16=17 16 33+= 在方格中正确填出答数 注：左表是一般关系（不要求列出）5.请将400分别表示成8个、10个、20个连续的奇数之和的形式；400可以写成最多多少个连续奇数之和？为什么？【参考答案】400 = 43+45+47+49+51+53+55+57.（8个连续的奇数之和）400 = 31+33+35+37+39+41+43+45+47+49.（10个连续的奇数之和）400 = 1+3+5+7+33+35+37+39. （20个连续的奇数之和）400可以写成最多20个连续奇数之和.因为如果连续奇数多于20个，则这些奇数的中间数（平均数）小于400 21，即小于19，但是小于19的奇数只有9个，总数不会多于20个。本问题的解答思路可以有多种：比如：将400分别表示成8个、10个、20个连续的奇数之和，可以从10个连续奇数的平均值出发向两边延伸：由于400 10 = 40，所以这10个连续奇数的中间两个应该是39与41，以此两边各延伸4个，于是得到从31到49的10个连续奇数。验算知31+33+35+37+39+41+43+45+47+49= 400.【评分标准】三种表示各占2分，共6分(若只正确写出表达用的几个连续奇数，而没有用加号连接，说明没有理解题目要求，总体扣2分)；第2问占4分。6. 下图由6个大小相同的正方体组成的几何体掉在空中，从上下左右前后各个角度观察，会看到不同个数的正方形。请将你的观察结果填入如下括弧内，不必说明理由。 从侧面（前后左右）看，共有（ ）个正方形； 从上面往下看有（ ）个正方形； 从下面往上看有（ ）个正方形。【参考答案】分别有16、5、5个正方形。【评分标准】三个空分别占6、2、2分。7. 请对下列空间几何体进行分类，并指出两种分类标准（即分类依据）和分类结果，填入如下的横线上。分类依据一是_ _ 分类结果一是：共分_类； 每一类分别是（把同一类标号填在一起）_ _分类依据二是_ 分类结果二是：共分_类； 每一类分别是（把同一类标号填在一起）_【参考答案】：（以下三种答案写出两种即可。其它答案如果合理，比照该评分标准给分） 分类依据一:一类是围成的几何体每一个面均为多边形(多面体) ； 另一类围成的面有圆弧面（旋转体） 分类结果一：共分_2_类；一类是_1,3,4,5,7,9,10 ；另一类是_2,6,8,11_。 分类依据二: 一类是有两个面为平行平面（柱体与台体）；另一类是有一个尖端（椎体）；第三类表面没有平面图形（球） 分类结果二：共分_3_类；一类是_1,2,4,5,6,7,10_；另一类是_3,8,9_;第三类_11_ 分类依据三：按是否为柱体、椎体、台体 、球分类。 分类结果三：共分_4_类；第一类是1,5,6,7； 第二类是3,8,9； 第三类是2,4,10 ；第四类11 【评分标准】正确写出一种分类依据及结果得5分，其中依据占2分，结果占3分。写出两种给满分。8给定一条长度为2013米的硬塑料管，请你按下列要求把它裁断（三个要求同时满足）： （1）每段长都是整数米； （2）任意三段为边长都不能 构成三角形； （3）最长的一段尽可能的长。 请问：最多可以裁成多少段？说出你的裁截思路与结果。【参考答案】应该裁成长度分别为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、1027的15段，其中前14段构成“斐波那契数列”。 思路是：由于任何三段为边长都不能构成三角形，即任何三段中，必有两段之和小于或等于第三段，要使最长一段尽可能长，又要求分出尽可能多的段数，所以最小长度应该尽可能的小，最小为1，第二段仍然为1，第三段不能继续为1，否则前三段可以构成一个三角形，而且第三段也不超过前两段之和，故取等于前两段之和为最好，即为2；同样的理由，以后每一段都取前两段之和。如此取得1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377；此时已经截取的总长度为986，若下一段继续取前两段之和610，则最后剩下2013-610 - 986 = 417，这一段与233、377便构成一个三角形。为使得任何三段都不构成三角形，截取总长度为986之和后剩余的部分不能再分割。故最后一段取2013-986 =1027. 【评分标准】完全正确得10分；写出1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377得8分；思路正确、计算错误酌情给6-8分。9. 如图，在斜边长为20cm的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB，留下两个阴影部分直角三角形AED和DFC。若AD = 8cm，CD = 12cm，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据。 【参考答案】面积为48 cm2.将三角形ADE拼补到正方形DEBF内，使DE与DF重合（或将三角形ADE 绕顶点D逆时针旋转90度，E点和F点重合），阴影部分合并为一个直角三角形CDG，其底为DG = DA，高为CD，面积为ADCD 2 = 812 2 = 48. 【评分标准】给出正确答案得5 分；说明理由得5 分10. 某小学六年级一、二班老师A、B、C、D、E、F、G、H共8人依次围着一张圆桌吃饭，其中有数学、语文、英语老师各2人，自然、社会老师各1人；有班主任2人，分别是语文和数学老师。为了便于交流，他们同一个学科的两人坐邻座，两位班主人也坐邻座，但自然老师与社会老师不邻座。已知C的左侧的老师与C在同一学科；C的对面老师教语文。请问哪两位是班主任？【参考答案】H和G是班主任。【分析】由于C的左侧老师与C在同一学科，而C的对面老师教语文，根据座位安排规则及教师在各学科的分布情况，说明C只能是英语老师。其次，C的对面是G，G是语文老师，那么F或H是语文老师；若G、H是语文老师，则A、B是数学老师或E、F是数学老师，相应的A、B或E、F分别是自然、社会老师，但由于自然、社会老师不邻座，这种情况不可能。因此，G、F是语文老师，而且必然有H、A是数学老师，G和H是班主任。【评分标准】说明C只能是英语老师得4分；说明F是语文老师得4分；说明G和H是班主任得2分。仅给出正确答案得5分11.请设计一个游戏：地面上摆放着若干颗石子，甲乙两人轮流从中提取石子，每人每轮最少提取2颗，最多提取5颗，取到最后一颗石子者为胜。请设定这堆石子的颗数（至少50颗），使先手有必胜的策略，并说明你的策略。【参考答案】答案不唯一。设定的石子数为7的倍数+ 2或3或4或5颗，比如75颗，先手取5颗，留下7的倍数颗，然后，后手取2或3或4或5颗，先手就取5或4或3或2颗，保证每轮下来双方合计取7颗，先手取后始终留下7的倍数颗，最后一颗必被先手取到，先手必胜。【评分标准】选对数目给3分；写出策略给7分12. 某商场购进1000套夏季套装，分三个阶段销售。（1）第一阶段：新货上架，以每套1000元价格出售；（2）第二阶段：旺季热卖促销，买2套打8折（即每件800元），买3套打6.5折；（3）第三阶段：过季大甩卖，全场3折。各阶段销售情况如下表。已知在第二阶段商场促销