全国部分地区非物理类专业大学生物理竞赛题解——第十七届非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答.pdf

物理与 工程Vo 1 1 1 No 3 2 0 0 5 9 全 国部 分 地 区非 物 理 类 专 业 大 学 生 物 理 竞 赛 题 解 第 十七 届非 物 理类 专 业大 学 生物 理 竞 赛 试 题 及 解 答 一 填 空墨 共 l O小题 每 小题 5分 1 在 O x y坐 标 平 面 上 有 一 个 正 三 角 形 和 一 十 正 方 形 正 三角 形 的每 条 边 长和 正 方形 的 每条 边 长 相 同 它们 的 方 位 如 图 所 示 现 在 建 立 一 个 活 动 的 一 ry 坐 标 平 面 它 的 坐 标 原 点 开 始 时位 于 正 三 角 形 的上 顶点 而 后 点 船 着 正 三 角 形 的 三 条 边 绕 行 一 周 绕行 时 轴始 终 与 轴平 行 Y 轴 始 终 与 Y 轴 平 行 试 在 圈 中 清 楚 准 确 地 画 出 正 方 形 相 对 0 L 坐 标 平面 运动 而 形成 的 区域 的 边界 线 y1 O 口 解 当 坐标 平 面 0 L 沿 正 三角 形 的 三 边 运 动 时 正 方 形便 船 相 反 的 方 向 相 对 于 坐 标 平 面 运 动 故 正 方 形相 对 于 0 L y 坐标 平 面运 动 而 形 戚 的 区域 的边 界 线 应 如下 圈 所示 y 2 在光 滑 水平 面 上有 一 内壁 光滑 的 固定 泗环 三 个质 量 分别 为 蛐 蛳 的小 球 船 着 环 的 内壁 作 圆 周运 动 韧 始 时 寰 I 各 球 的 位 置 和 运 动 方 向 如 图 所 示 各 自速 度太 小 分 别 为 o 而后 小 球 间 发 生 的碰撞 为 非 弹性 碰撞 那 么三 十 小球 最终 都会停 止 运 动 的 条件 是 从 韧 始 状 态 剜 最 终全 都 停止 运 动 的 过 程 中 系 统 的 动 能 动 量 和 相 对 圆环 中 心 的角 动 量 中不 守恒 的 量 为 由三个 小 球 最终 都会 停 止 运动 知 三个 小 球这 个 系 统对 泗环 中心 的角 动 量 必 恒 为 零 因 研 的 角 动 量垂 直 纸 面 朝 外 其 太 小 为 Rm I 帆的 角 动 量 也 垂直 纸 面朝 外 其 太 小 为 Rm I 确的角 动 量 垂 直 纸面 朝里 其 太小 为 R m I 故 有 0 一 R m l 0 卅 z 口一 卅 研 o 研 0 一 3 此 即三 个小 球 最终 都会 停 止 运动 的条 件 3 用 两 根相 同 的 匀质 细 杆 对 称 地 连 接成 图 示 的 T 字 形尺 过 T 字 形 尺 上 的某 一 点 P取 垂 直 于 T 字形 尺 所在 平 面 的转 轴 将 T 字 形 尺 相 对 该 轴 的 转 动惯 量记 为 j P 已知每 一 根 细杆 的 长 度 为 L 试 在 图 中准确 标 出 P点 的位 置 P 使 得 I P 为 所 有 j P 中 的最 小 者 再 在 圈 中 准 确 标 出 P点 的 位 置 使 得 I P 为所 有 P 中 的最 大 者 维普资讯 6 0 物 理 与 工程Vo 1 1 NO 3 2 0 0 P1 一 2 A L x h 叫 一 2 M 一 2 L 2 2 2 2 L 4 x L 令 上 式 为零得 L 一 百 此 为 P 的 极 小值 的位 置 即 P 点 的位 置 P 无 极大 值 但 由平 行轴 定理 知 点 必在 竖 杆 的下 端 4 一 个 弹 簧振 子 的 质 量 为 1 O 1 g 自由振 动 的 本征 频 率为 2 Hz 当存 在某 个 大 小 与振子 速 率成 正 比 的 阻尼 力对 恰好 处 于 临 界 阻 尼振 动状 态 则 弹 簧 的 劲度 系 数 K一 的 比例 系数 y N m 阻 尼 力 大 小 与 速 率 k g s 解 已知 m一 1 0 k g 一2 Hz 临 界 阻尼 振 动 的 条件 为 一墨 I K 一 m 2 r b 一 1 0 2 x 2 一 1 6 一 1 5 8 N m 一 砉 一 z z 罢 2 一2 爵 一 赶 l M s s 均 匀 物 质静 止 时 的体积 为 密 度 为 当 它 以匀 速 度 v运 动 对 体 积 为 一 密 度 为 p 一 由运 动杆 长收缩 的公 式 知 l 一 惫 惫 一 等 一 等 t 一 可 y t一 一 6 处 于平 衡 态 的气 体 系统 中 分子 运 动 的速 率 分布 律可 图 示 为 速 度 分 布 律 可 图 示 为 已知 0 温度 下 氯气 分 子 的 方均 根 速率 大约 为 4 9 3 m s 则 该 温 度 下 氧 气 分子 的方 均 根 速 率 为 2 5 下 氧 气分 子 的方 均 根 速率 为 一 摩 尔 氧 气 的定体 热 容 量 为 解 而 一 一 再 网 丽 丽 t 而 一 誊 4 9 3 4 6 l m s 一 一 一 维普资讯 物理与 工程Vo 1 1 1 No 3 2 0 0 1 6 l 一 俪 2 vf f 27 3 25 X 46 1 4 8 2 m s 将 氧气 分子 视 为 刚性 的双 原 子 分子 则其 定 容 摩 尔 热 容量 为 C o R 8 3 1 2 0 7 8 J K mo 1 7 如 图所 示 半 径 为 R 的半 球 面 A 的 球 心 位 于 O z轴上 距 0 点 R 处 半球 面 横 截 面与 O x y 面 平行 坐标 原 点 0处有 一 电 量 为 q 的点 电荷 则 半 球 面 A 的电 通量 球 帽对 点 电荷 q张 的立体 角 为 一 丢 一 已 知点 电荷 q在 4 立 体 角 内的 电通 量 为 故 在 球 帽 上 的电通 量 为 球 帽 2一 8 如 图 电路 每两 点 间 实线所 示 短 导线 的电 阻 为 1 n 剜 A B两 端点 同 的电 阻为 解 已 知短 导线 的电 阻 为 r l n 可将 本 题 的电 路等 效 为 图 示 的 实 线 电 路 和 虚 线 电 路 的并 联 二支 路 各 自的电 阻相 同 为 t 一 r 1 T r 3 r 十 c B A B两 端点 之 间的总 电 阻 为 R e T 1 T 詈一 号 r 一 号 n 百 i 9 一 无 限长 密 绕螺 线管 的 半径 为 R 单 位 长 度 内 的匝 数 为 通 以 随时 问变 化 的 电 流 t f 且 面 d i c 常量 则 管 内的感 生 电 场 强度 日 一 管 外 的 感生 电 场强 度 E 解 已 知 B d B n 鲁 n c 对 管 内 的闭台 电力 线 这 个环 路 有 f 一 警 维普资讯 6 2 物理与工程Vo 1 1 1 No 3 2 0 0 1 2 Ej 一 d B 一 矸 一 r 对管 外 的闭 旨 电力 线 这 个环 路有 f 一 警 d 8 2 一 根 面d B 一 一 m丁n C Rz 1 O 假定 人服 睛 的分 辨 奉领 主要 受 瞳孔 衍 射效 应 的限制 设 瞳 孔直 径 为2 0 r n m 光 的 波 长为 5 5 0 n m 剐 2 0 m 远处 人服 能 分辨 的最小 线 距离 为 解 已知 D一2 0 ram 一5 5 0 ri m 5 5 0 1 0 一mr i L 一 20 m 2 1 0 mr n J 最 小 分 辨 角 为 一 1 2 2 告一 1 2 2 盟 3 3 5 5 1 0 弧 度 最 小 分辨 距 离 为 札 一 3 3 5 5 1 0 2 1 0 一 6 7 1 ram 二 计 算殛 证 明题 共 5题 5 5分 I I 1 0分 设 有一 刚性 容 器 内装 有 沮 度 为 L 的 1摩 尔氮气 在 此 气 体 和 沮度 也 为 的 热 禄 之 间 工作 一 个 制抟 机 它从 热 源暧 收热 量 向容 器 中 的 气 体 放 出 热 量 Q1 经 一 殷 时 间 后 容 器 中 氨 气 的 沮 度 升至 丁 1 试 证 明该 过 程 中制 挣 机 必 须 消耗 的 功 w 号 T o F T 一 t 解 依题 意 所 讨论 系统 中制 冷机 的工 作 原 理可 示意 为 下 图形 式 则 该过 程 中制 冷 机必 须 消耗 的 功 为 W 1 因为氨 气 所处 容器 是 刚性 的 则 其 由 T v T 的过 程 为 等体 过程 于是 有 Ql C T1 一 To 其 中 C 为 氮气 的定 体 摩 尔热 容 量 由能 均 分 定理 知 一 R 则 嚣 R 丁1 一 2 又 由题 意 知 该 过程 中热 源 氮 气 和 制 挣 机 的工 作 物 质 的嫡 变分 别 为 A S 一 一 譬 3 嗡 一 一 一 1 l n TI 号 R In 4 s 0 5 因为 热 源 氨 气 和制 挣 机组 成 的整 体 为一 封 用孤 立 系 统 则 由 熵增 加厚 理 知 S S ASu a 一 鱼 T o 号 胁 T I 6 所 以 号 肌l疃 那 么 W QI一 号 R T o 5 R T T z 整理 化 筒 即得 w 号 n 鲁 一 t cs 故 该 过 程 中 制 挣 机 必 须 消 耗 的 功 为w 噜 一 原 命题 得证 评 分标 准 列 出 1 式 得 1分 给 出 2 式 再 得 1分 列 出 3 4 5 式 再 得 3分 列 出 6 式 再 得 2分 I 得 到 7 式 再 得 1分 f 解 得 8 式 再 得 2分 1 2 1 0分 半 径 为 R无 限长 半 圆 柱 导体 上 均 匀 地 藏 过 电流 I 求 半 圆 柱轴 线 厚 圈 柱 体 的 中心 轴 线 处 的磁 感应 强 度 且 解 依题 意 可 知 该 半 圆柱 导体 中 的 电覆 密 度为 j一 维普资讯 物理 与工 程Vo 1 1 1 No 3 2 0 0 1 6 3 去一 在 半 埘 取 厚 dr 脯 如 图示 在 其 中圆心 角 为 的窄条 中流过 的 电流 为 d f 枷 d r 一 茅 枷 1 在垂 直 于原 圆 柱体 的中心 轴 的平 面 即半 圆 柱体 的 横 截 面 内 建立 坐标 系 如图 示 剐 由毕奥 一 萨伐 尔定 律 知 关 于 轴 对 称 的小 窄条 电流 d d J 激 发 的磁 场 在半 圆柱体 中心轴 上 的磁感 应 强 度 分 别 为 佃 佃 由对 称 性 知 相 同 大 小 的 d d 分别 激 发 的 佃 佃 z的矢量 和沿 0 方 向 并且 佃 佃 的大小 为 d 告 d 2 所 以所求 的磁 感应 强度 B为 B 一 2肼 黯c o s 砌 3 z 筹 a r 一 4 一 评分 标准 得 到 1 式 得 2分 给 出 2 式 再 得 2分 1 式和 2 式之 闻关 于 d B方 向 的分 析得 2分 得 到 3 式得 3分 得 到 4 式 的结 果 再得 1 分 未 完待续 上 接第 5 8页 一 i x 2p x d v Z 仇 两边 开 方 得 印 c 舢c 将 上式 同 1 2 两 式 比较 得 知式子 左 边为 z c 右 边 小 于 等 于 f R 故 c f R 5 根 据柯 西不等式 并考 虑 到实 际物 理模 型 5 式 中等号成立 的条件 为 户 上 一 P 一v 8 o 即 三 1或 户 一 一 0 显 然 1是投 有意 义 的 因此将 其舍 去 而 P 一 m8 X o 即意味着 刚体的质量 全部 集 中在距转 轴 的距 离 为 处 且 平 行 于转 轴 的一个平面 上 取 此条 件 和 2 式 中等式 成 立 条件 的公共 部分 可知 5 式 中等号 成立 的条 件为 刚体 的质量 全 部集 中在平 行 于转 轴 的 一 条直线 上 最后来 比较 和 l o 的大小 由 3 式 得 如 一 袅一 1