2013北京西城高考一模数学理(解析).pdf

1 18 北京市西城区北京市西城区 2013 年高三一模试卷年高三一模试卷 高三数学高三数学 理科理科 2013 4 第第 卷卷 选择题选择题 共共 40 分分 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 40 分分 在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的选出符合题目要求的 一项一项 1 已知全集U R 集合 02 Axx 2 10 Bx x 那么 U AB A 0 1 xx B 01 xx C 12 xx D 12 xx 2 若复数 i 2i a 的实部与虚部相等 则实数a A 1 B 1 C 2 D 2 3 执行如图所示的程序框图 若输出3y 则输入角 A 6 B 6 C 3 D 3 4 从甲 乙等5名志愿者中选出4名 分别从事A B C D四项不同的工作 每人承担 一项 若甲 乙二人均不能从事A工作 则不同的工作分配方案共有 A 60 种 B 72 种 C 84 种 D 96 种 5 某正三棱柱的三视图如图所示 其中正 主 视图是边长为2的正方形 该正三棱柱的表面 积是 A 63 B 123 C 122 3 D 242 3 2 18 6 等比数列 n a中 1 0a 则 13 aa 是 36 aa 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 7 已知函数 22 log2log f xxxc 其中0c 若对于任意的 0 x 都有 1f x 则c的取值范围是 A 1 0 4 B 1 4 C 1 0 8 D 1 8 8 如图 正方体 1111 ABCDABC D 中 P为底面ABCD上的动点 1 PEAC 于E 且PA PE 则点P的轨迹是 A 线段 B 圆弧 C 椭圆的一部分 D 抛物线的一部分 第第 卷卷 非选择题非选择题 共共 110 分分 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 30 分分 9 已知曲线C的参数方程为 2cos 1 2sin x y 为参数 则曲线C的直角坐标方程为 10 设等差数列 n a的公差不为0 其前n项和是 n S 若 23 SS 0 k S 则k 11 如图 正六边形ABCDEF的边长为1 则AC DB 12 如图 已知AB是圆O的直径 P在AB的延长线上 PC切圆O于点C CDOP 于D 若6CD 10CP 则圆O的半径长为 BP 13 在直角坐标系xOy中 点B与点 1 0 A 关于原点O对称 点 00 P xy在 抛物线 2 4yx 上 且直线AP与BP的斜率之积等于2 则 0 x 14 记实数 12 n x xx中的最大数为 12 max n x xx 最小数为 12 min n x xx 设 ABC 的三边边长分别为 a b c 且abc 定义 ABC的倾斜度为max min a b ca t b c ab b c c a 若 ABC为等腰三角形 则t 设1a 则t的取值范围是 3 18 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 80 分分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题满分 13 分 已知函数 sincosf xxax 的一个零点是 4 求实数a的值 设 2 3sin cosg xf xfxxx 求 g x的单调递增区间 4 18 16 本小题满分 13 分 某班有甲 乙两个学习小组 两组的人数如下 现采用分层抽样的方法 层内采用简单随机抽样 从甲 乙两组中共抽取3名同学进行学业检测 求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率 记X为抽取的3名同学中男同学的人数 求随机变量X的分布列和数学期望 5 18 17 本小题满分 14 分 在如图所示的几何体中 面CDEF为正方形 面ABCD为等腰梯形 AB CD BCAB2 60ABC ACFB 求证 AC平面FBC 求BC与平面EAC所成角的正弦值 线段ED上是否存在点Q 使平面EAC 平面QBC 证明你的结论 6 18 18 本小题满分 13 分 已知函数 lnf xaxx e3 ax g xx 其中a R 求 xf的极值 若存在区间M 使 xf和 g x在区间M上具有相同的单调性 求a的取值范围 7 18 19 本小题满分 14 分 如图 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点为F 过点F的直线交椭圆于A B两点 当直线AB经 过椭圆的一个顶点时 其倾斜角恰为60 求该椭圆的离心率 设线段AB的中点为G AB的中垂线与x轴和y轴分别交于 D E两点 记 GFD的面积为 1 S OED O为原点 的面积为 2 S 求 1 2 S S 的取值范围 8 18 20 本小题满分 13 分 已知集合 12 1 2 2 nni SX Xx xxxinn N 对于 12 n Aa aa 12 nn Bb bbS 定义 1122 nn ABba baba 1212 nn a aaaaa R A与B之间的距离为 1 n ii i d A Bab 当5n 时 设 5 1 2 1 2 Aa 2 4 2 1 3 B 若 7d A B 求 5 a 证明 若 n A B CS 且0 使AB BC 则 d A Bd B Cd A C 设 n A B CS 且 d A Bd B Cd A C 是否一定0 使AB BC 说明理由 记 1 1 1 n IS 若A n BS 且 d I Ad I Bp 求 d A B的最大值 9 18 北京市西城区北京市西城区 2013 年高三一模试卷年高三一模试卷 高三数学高三数学 理科理科 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2013 4 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 8 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 40 分分 1 B 2 A 3 D 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 小题小题 每小题每小题 5 分分 共共 30 分分 9 22 230 xyy 10 5 11 3 2 12 15 2 5 13 1 2 14 1 15 1 2 注注 12 14 题第一问题第一问 2 分分 第二问第二问 3 分分 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 小题小题 共共 80 分分 若考生的解法与本解答不同若考生的解法与本解答不同 正确者可参照评分标准给分正确者可参照评分标准给分 15 本小题满分 13 分 解 依题意 得 0 4 f 1 分 即 22 sincos0 4422 a a 3 分 解得 1a 5 分 解 由 得 sincosf xxx 6 分 2 3sin cosg xf xfxxx sincos sincos 3sin2xxxxx 7 分 22 cossin 3sin2xxx 8 分 cos23sin2xx 9 分 2sin 2 6 x 10 分 由 2 22 262 kxk 得 36 kxk k Z 12 分 所以 g x的单调递增区间为 36 kk k Z 13 分 16 本小题满分 13 分 解 依题意 甲 乙两组的学生人数之比为 35 22 2 1 1 分 所以 从甲组抽取的学生人数为 2 32 3 从乙组抽取的学生人数为 1 31 3 2 分 设 从甲组抽取的同学中恰有1名女同学 为事件A 3 分 则 11 35 2 8 CC15 C28 P A 故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为 15 28 5 分 解 随机变量X的所有取值为0 1 2 3 6 分 10 18 21 52 21 84 CC5 0 CC28 P X 11121 35252 2121 8484 CCCCC25 1 CCCC56 P X 21111 32352 2121 8484 CCCCC9 2 CCCC28 P X 21 32 21 84 CC3 3 CC56 P X 10 分 所以 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 5 28 25 56 9 28 3 56 11 分 525935 0123 285628564 EX 13 分 17 本小题满分 14 分 证明 因为BCAB2 60ABC 在 ABC中 由余弦定理可得 BCAC3 所以 BCAC 2 分 又因为 ACFB 所以 AC平面FBC 4 分 解 因为 AC平面FBC 所以FCAC 因为FCCD 所以 FC平面ABCD 5 分 所以 CA CF CB两两互相垂直 如图建立的空间直角坐标系 xyzC 6 分 在等腰梯形ABCD中 可得 CBCD 设1BC 所以 3131 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 1 2222 CABDE 所以 1 2 1 2 3 CE 0 0 3 CA 0 1 0 CB 设平面EAC的法向量为 x y zn 则有 0 0 CE CA n n 所以 31 0 22 30 xyz x 取1z 得 n 0 2 1 8 分 设BC与平面EAC所成的角为 则 2 5 sin cos 5 CB CB CB n n n 所以 BC与平面EAC所成角的正弦值为 5 52 9 分 解 线段ED上不存在点Q 使平面EAC 平面QBC 证明如下 10 分 11 18 假设线段ED上存在点Q 设 2 1 2 3 tQ 10 t 所以 2 1 2 3 tCQ 设平面QBC的法向量为 m cba 则有 0 0 CB CQ m m 所以 0 31 0 22 b abtc 取 1 c 得 m 1 0 3 2 t 12 分 要使平面EAC 平面QBC 只需0 nm 13 分 即 2 00 2 1 10 3 t 此方程无解 所以线段ED上不存在点Q 使平面EAC 平面QBC 14 分 18 本小题满分 13 分 解 f x的定义域为 0 1 分 且 11 ax fxa xx 2 分 当0a 时 0fx 故 f x在 0 上单调递减 从而 xf没有极大值 也没有极小值 3 分 当0a 时 令 0fx 得 1 x a f x和 fx 的情况如下 x 1 0 a 1 a 1 a fx 0 f x 故 f x的单调减区间为 1 0 a 单调增区间为 1 a 从而 xf的极小值为 1 1 lnfa a 没有极大值 5 分 解 g x的定义域为R 且 e3 ax g xa 6 分 当0a 时 显然 0g x 从而 g x在R上单调递增 由 得 此时 f x在 1 a 上单调递增 符合题意 8 分 当0a 时 g x在R上单调递增 f x在 0 上单调递减 不合题意 9 分 当0a 时 令 0g x 得 0 13 ln x aa g x和 g x 的情况如下表 x 0 x 0 x 0 x 12 18 g x 0 g x 当30a 时 0 0 x 此时 g x在 0 x 上单调递增 由于 f x在 0 上单调递减 不合题意 11 分 当3a 时 0 0 x 此时 g x在 0 x 上单调递减 由于 f x在 0 上单调递减 符合 题意 综上 a的取值范围是 3 0 13 分 19 本小题满分 14 分 解 依题意 当直线AB经过椭圆的顶点 0 b时 其倾斜角为60 1 分 设 0 Fc 则 tan60 3 b c 2 分 将 3bc 代入 222 abc 解得 2ac 3 分 所以椭圆的离心率为 1 2 c e a 4 分 解 由 椭圆的方程可设为 22 22 1 43 xy cc 5 分 设 11 A x y 22 B xy 依题意 直线AB不能与 x y轴垂直 故设直线AB的方程为 yk xc 将其代入 222 3412xyc 整理得 222222 43 84120kxck xk cc 7 分 则 2 12 2 8 43 ck xx k 1212 2 6 2 43 ck yyk xxc k 2 22 43 43 43 ckck G kk 8 分 因为 GD AB 所以 2 2 2 3 43 1 4 43 D ck k k ck x k 2 2 43 D ck x k 9 分 因为 GFD OED 所以 22 22 2 222 1 22 2 2 2 43 434343 43 ckckck SGD kkk ckSOD k 11 分 2222422 22242 3 3 999 99 ckckc kc k ckc kk 13 分 所以 1 2 S S 的取值范围是 9 14 分 20 本小题满分 13 分 解 当5n 时 由 5 1 7 ii i d A Bab 13 18 得 5 1 2 24 1 2 2 1 3 7a 即 5 3 2a 由 5 a N 得 5 1a 或 5 5a 3 分 证明 设 12 n Aa aa 12 n Bb bb 12 n Cc cc 因为 0 使 AB BC 所以 0 使得 11221122 nnnn ba babacb cbcb 即 0 使得 iiii bacb 其中1 2 in 所以 ii ba 与 1 2 ii cb in 同为非负数或同为负数 5 分 所以 11 nn iiii ii d A Bd B Cabbc 1 n iiii i bacb 1 n ii i cad A C 6 分 解 设 n A B CS 且 d A Bd B Cd A C 此时不一定0 使得 ABBC 7 分 反例如下 取 1 1 1 1 A 1 2 1 1 1 B 2 2 2 1 1 1 C 则 1d A B 2d B C 3d A C 显然 d A Bd B Cd A C 因为 0 1 0 0 0 AB 1 0 1 0 0 0 BC 所以不存在 使得AB BC 8 分 解法一 因为 1 n ii i d A Bba 设 1 2 ii ba in 中有 m mn 项为非负数 nm 项为负数 不妨设1 2 im 时 0 ii ba 1 2 immn 时 0 ii ba 所以 1 n ii i d A Bba 12121212 mmmmnmmn bbbaaaaaabbb 因为 d I Ad I Bp 所以 11 1 1 nn ii ii ab 整理得 11 nn ii ii ab 所以 1212 1 2 n iimm i d A Bbabbbaaa 10 分 因为 121212 mnmmn bbbbbbbbb 1pnnmpm 又 12 1 m aaamm 所以 1212 2 mm d A Bbbbaaa 2 2pmmp 即 2d A Bp 12 分 对于 1 1 1 1 Ap 1 1 1 1 Bp 有 A n BS 且 d I Ad I Bp 2d A Bp 14 18 综上 d A B的最大值为2p 13 分 解法解法二 首先证明如下引理 设 x y R 则有 xyxy 证明 因为 xxx yyy 所以 xyxyxy 即 xyxy 所以 11 1 1 nn iiii ii d A Bbaba 1 1 1 n ii i ba 11 1 1 2 nn ii ii abp 11 分 上式等号成立的条件为1 i a 或1 i b 所以 2d A Bp 12 分 对于 1 1 1 1 Ap 1 1 1 1 Bp 有 A n BS 且 d I Ad I Bp 2d A Bp 综上 d A B的最大值为2p 13 分 15 18 北京市西城区北京市西城区 2013 年高三一模试卷年高三一模试卷 高三数学高三数学 理科理科 部分解析部分解析 一 一 选择题选择题 1 答案 B 解析 由不等式的解法 容易解得 1 1 Bx xx 则 11 uB xx 又 02 Axx 于是 01 u ABxx 故选 B 2 答案 A 解析 解 复数 2 ii i 1 i 2i222i aaa 的实部与虚部相等 1 22 a 解得1a 故选 A 3 答案 D 解析 解 根据程序框图中的算法 得输出的结果可能是sin 或tan 当输出的 3 是sin 时 即sin3 22 此时 不存在 当输出的 3 是tan 时 即tan3 22 此时 3 34 符合题意 综上所述可得输入的 3 故选 D 4 答案 B 解析 解 根据题意 分两种情况讨论 甲 乙中只有1人被选中 需要从甲 乙中选出1人 担任后三项工作中 的1种 由其他三人担任剩余的三项工作 有 113 233 36CCA 种选派方案 甲 乙两人都被选中 则在后三项工作中选出2项 由甲 乙担任 从其 他三人中选出2人 担任剩余的两项工作 有 2222 3232 36CACA 种选派方案 综上可得 共有363672 种不同的选派方案 故选 B 5 答案 C 解析 解 因为正三棱柱的三视图 其中正 主 视图是边长为2的正方形 棱柱的侧棱长为2 底面三角形的边长为2 所以表面积为 3 242 3 2122 3 4 故选 C 6 答案 B 解析 解 如果 13 aa 则 2 11 aa q 2 1q 16 18 若 1q 则 2 31 0aa q 5 61 0aa q 36 aa 13 aa 不是 36 aa 的充分条件 如果 36 aa 成立 则 25 11 a qa q 又 1 0a 3 1q 1q 2 113 aa qa 故可判断 13 aa 是 36 aa 的必要条件 综上 13 aa 是 36 aa 必要而不充分条件 故选 B 7 答案 D 解析 解 由 1f x 得 22 log2log 1xxc 整理得 22 log log 2 x xc 所以 2 x xc 即 2 0 2 cxx x 令 0 xt t 则 2 2 2 ctt 令 2 2 2 g ttt 其对称轴为 2 4 t 所以 max 21 48 g tg 则 1 8 c 所以 对于任意的 0 x 都有 1f x 的c的取值范围是 1 8 故选 D 8 答案 A 解析 由于 11 A APAEP 所以 1AE 因此E为 1 AC上 的定点 又PAPE 所以点P一定在线段AE的垂直平分面与底面 ABCD的交线上 因此点P的轨迹是线段 二 填空题 9 答案 22 230 xyy 解析 解 由 2cos 12sin x y 即 2cos 12sin x y 得 22 1 4xy 曲线C的普通方程为得曲线C的直角坐标方程为 22 1 4xy 即 22 230 xyy 故答案为 22 230 xyy 10 答案 5 解析 解 23 SS 323 0SSa 17 18 1 20ad 1 20ad 又0 k S 则 1 1 0 2 k k kad 1 2 1 0akd 把 1 20ad 代入上式得4 1 0dkd 化为410k 解得5k 故答案为5 11 答案 3 2 解析 解 连接DF BF 则BDF 是等边三角形 FD与DB的夹角为120 AC FD 即AC与DB的夹角为120 1AB 222 112 1 1 cos1203AC 3AC 即3ACDB 3 33