全国大学生数学建模竞赛2011年A题论文.doc

城市表层土壤重金属污染分析摘要本文主要研究8种重金属对城市表层土壤污染的问题。为了给出重金属元素在该城区的空间分布，我们用插值的方法分别对各种金属元素的浓度进行插值，通过软件编程得出了8种重金属元素浓度的空间分布。在分析该城区内不同区域重金属的污染程度时，我们先用“地质累积指数”的方法计算出各采样点的地质累积指数，然后用“内梅罗指数法”计算了各功能区的重金属污染程度并得出相应的污染等级。在假设各金属元素的污染性相同的情况下，计算各功能区的总污染指数，得到各功能区的污染程度从大到小为交通区工业区生活区公园绿地区山区。对于题目中的问题（2），我们先将重金属元素对各功能区的污染程度进行了分类，可知重金属元素的污染程度与其所处的功能区有密切的联系。另外，我们到一些重金属元素可能存在一定的联系，因此我们对8种金属元素的浓度进行了聚类分析，得到、这三种元素一起出现或其中两种出现在同一污染程度的情形较多，、和这三种元素也是如此，聚类分析的结果对问题（3）中污染源位置的确定也有帮助。我们综合上面的分析对重金属污染的主要原因进行了说明。对于问题（3），我们先对重金属污染物的传播特征进行了分析。由于条件限制，我们仅考虑地势、雨水等对重金属污染物的传播的影响，加上我们主要考虑表层土壤，所以只以地表径流冲刷为重金属污染物的传播途径，用偏微分方程建立了相关的对流模型来确定污染源的位置。（相关结果略去）对于问题（4），由于本题只给出了一个时间点上的采样数据，且除海拔、金属浓度等外没有其他信息，若能有多个时间点的采样数据以及该城市的地质条件、气候条件、工业发展情况、人口密度、河流流向等信息，可以更好地研究城市地质环境的演变模式。另外，我们还对计算重金属污染指数的方法进行了改进，充分考虑了题目所给的8种元素背景值的标准偏差和其范围。最后，我们对本文所建立的模型的优缺点进行了总结。关键词：重金属污染 插值 地质累积指数 内梅罗指数法 聚类分析1问题重述随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。题中附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现需要通过数学建模完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析建立的模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2问题分析本文是对城市表层土壤重金属污染的研究分析。问题（1）：对于8种主要重金属元素在城区的空间分布，我们考虑用图像来直观地给出。题中附件1给出了319个采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息。利用这些信息，我们首先给出各采样点的分布情况，发现各采样点是散乱分布，因此我们考虑插值拟合的方法，用matlab软件画出8种主要重金属元素在城区的空间分布。对于重金属的污染程度，我们考虑用地质累积指数、内梅罗指数法法来分析。问题（2）：我们根据问题（1）中各重金属元素的污染程度可以对种重金属元素进行分类。结合实际容易想到一些重金属元素可能存在一定的联系，因此我们对各重金属元素进行了聚类分析。另外，我们考虑到重金属元素的污染程度应该与其所处的功能区有密切的联系，比如生活区的污染主要是生活废水、生活垃圾、废旧电子产品等，工业区的主要污染是废水、废气、废渣等。综合上述几个方面，我们对重金属污染的主要原因进行了说明。问题（3）：此问需要分析重金属污染物的传播特征，并由此建立模型，确定污染源的位置。通过查阅资料，我们可以得到重金属污染物的传播特征主要是对流、扩散等，由于我们主要考虑表层土壤，地表径流冲刷为主要传播途径，因而对流是最主要的传播特征，扩散所起的左右相对较小。所以，我们只考虑以雨水冲刷为重金属污染物的传播途径，用偏微分方程建立了相关的对流模型来确定污染源的位置。问题（4）：要求我们分析建立的模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，提出了模型改进的意见。3模型假设1）每个网格内的采样点具有随机代表性；2）测量仪器精确度高，题中所给的数据都是准确的；3）不考虑突发事件或意外情况，测量的数据在一定的时间范围内有效；4）表层土壤中重金属元素的背景值是在那些远离人群及工业活动的自然区取样，可认为背景值是无污染状态下的重金属元素的浓度值；4符号说明：砷元素的化学符号；：镉元素的化学符号；：铬元素的化学符号；：铜元素的化学符号；：汞元素的化学符号；：镍元素的化学符号；：铅元素的化学符号；：锌元素的化学符号；：第个采样点的坐标（）；：实际测量的第个采样点的第种元素的浓度，单位；（）：插值点与点的距离，单位：；：第种元素的背景值，单位：；：第种元素的背景值的标准偏差；：第个采样点的第种元素的地质累积指数；5模型的建立与求解5.1 问题（1）模型的建立与求解5.1.1 各重金属元素的空间分布为了给出8种主要重金属元素在城区的空间分布，我们首先给出各采样点的分布情况，如图1所示，其中“”为生活区、“”为工业区、“”为山区、“”为交通区、“”公园绿地区。图1 采样点分布图由图1可以发现各采样点是散乱分布，因此我们考虑用插值，其基本思想是：某一点的函数值受周围各点的影响，较近的点影响较大，较远的点影响较小，点的影响权数与距离平方成反比，因而也称距离平方反比定律。我们用插值方法对各采样点的金属元素浓度进行插值拟合，具体方法如下：记采样点为，设任一点的重金属元素的浓度函数为，则其中用软件编程得到各金属元素的空间分布分别如图2图9所示。图2 浓度的空间分布图图3 浓度的空间分布图图4 浓度的空间分布图图5 浓度的空间分布图图6 浓度的空间分布图图7 浓度的空间分布图图8 浓度的空间分布图图9 浓度的空间分布图5.1.2 重金属的污染程度对土壤重金属元素污染程度的评价方法有很多，如地质累积指数、内梅罗指数法等。（1）地质累积指数地质累积指数，又称地质累积指数，是Muller于1949年提出的针对沉积物种的重金属污染程度的评价方法，它不仅考虑了自然地质过程造成的背景值的影响，而且也充分注意了人为活动对重金属污染的影响，因此，该指数不仅反映了重金属分布的自然变化特征，而且可以判别人为活动对环境的影响，是区分人为活动影响的重要参数。地质累积指数定义为 （1）其中为修正指数，通常取。不同的地质累积指数对应于不同的污染程度，其分级标准见表1。表1 地质累积指数分级表地质累积指数地质累积指数分级污染程度0无污染1无污染中度污染2中度污染3中度污染强污染4强污染5强污染极强污染6极强污染由于题目中有8种元素，每种元素有319个采样点，数据较多，这里限于篇幅，仅给出第110个采样点的各元素的地质累积指数，如表2所示。表2 第110个采样点的各元素的地质累积指数表采样点10.135071.54270.692352.57721.36260.367341.26232.46882-0.203371.61910.570412.62541.20460.101881.14342.04473-0.140181.70440.557193.52391.74520.0798531.05082.38064-0.0242481.6232-0.0585711.1876-0.04182-0.251350.502390.848235-0.331981.54140.373731.2975-0.19068-0.196560.454971.007460.0290930.228720.0834790.639770.239950.31173-0.017794-0.0204967-0.203371.54392.71831.83034.0995-0.135160.776810.9265980.415040.138850.114191.02031.57120.172960.0385721.96479-0.024248-0.360350.0227780.303741.415-0.092849-0.31072-0.1613310-0.140180.816-0.14651.57060.60768-0.418950.76591.4141（2）内梅罗指数法为了评价各功能区重金属的污染程度，需要综合考虑各种元素对环境的影响，即需将各单个指标进行合成。常用的环境质量综合评价指标是内梅罗指数法，这种方法特别考虑了污染最严重的因子。记某一功能区中各采样点的某一金属元素地质累积指数的最大值和平均值分别为，则内梅罗指数定义为 （2）内梅罗指数法的污染指数分级如表3所示。表3 内梅罗污染指数分级表污染等级污染程度清洁轻度污染中度污染重度污染注：为“清洁”到“污染”的警戒线，但仍属于“清洁”范围。用内梅罗指数法计算得到的各功能区金属元素的污染指数及对应的污染等级分别如表4、表5所示。表4 各功能区金属元素的污染指数表功能区生活区0.771991.72882.8312.65552.40050.589552.37133.4138工业区1.43491.8451.85175.03745.73010.831992.32522.871山区0.813130.837861.37621.30141.46061.45260.964040.91288交通区1.75432.19993.0464.3835.84382.08961.40333.6936公园绿地区0.793851.69530.752622.03783.30720.525251.62142.6494表5 各功能区金属元素的污染等级表功能区生活区12333134工业区22244133山区11222211交通区23444324公园绿地区12134123如果我们假设各金属元素的污染性相同，则各功能区总的污染指数分别为、，所以该城区各功能区的污染程度大小为交通区工业区生活区公园绿地区山区。5.2 问题（2）模型的建立与求解根据表的结果，我们以重金属元素对各功能区的污染程度进行分类，结果如下表所示。表6 重金属元素对各功能区的污染程度分类表清洁轻度污染中度污染重度污染生活区工业区山区交通区公园绿地区由上表可知生活区、工业区、交通区的污染情况较严重，山区的情况较好，污染情况较严重的都是人类活动集中的地区，这说明重金属元素的污染程度与其所处的功能区有密切的联系。另外，我们考虑到一些重金属元素之间可能存在一定的联系，因此我们对各重金属元素进行了聚类分析。聚类分析方法是基于数值分类的思想建立起来的，它是研究样品或指标分类的一种多元统计分析方法。针对本题，用聚类分析的方法可以研究多种重金属元素之间的关系。在简要介绍使用聚类分析之前，有必要介绍一下金属元素之间的相关性，相关性考虑的是重金属元素两两之间的关系。如果不同的元素之间存在很高的相关性，我们有理由相信它们可能是同一污染源产生的。相关性的系数定义如下：设分别为两种不同金属在第个采样点的浓度，分别为两种金属所有采样点浓度的平均值，则相关性系数为 （3）聚类分析的步骤为：步骤 将各金属元素视为不同的类，每一类包含一种元素；步骤 计算各类元素两两之间的浓度相关性；步骤 将相关性最大的两类合并成一类；步骤 计算新合成的类与其他各类之间的相关系数；步骤 重复步骤和，直到将元素合并成我们所需要的类。根据上述聚类分析的步骤，我们可以得到多种金属元素之间的关系如图10所示。图10 由聚类分析得到的金属元素之间的关系图由图10可得到：首先，与，与相关性较大，我们可认为这两组元素成对出现的可能性较大，即与、与污染程度相同的可能性较大；其次，可将、归为一类，、归为一类；容易得知、与其它元素的相关性较小。我们将聚类分析的结果与表6进行对比。在表6中，、三种元素一起出现或其中两种出现在同一污染程度的情形较多，、和这三种元素也是如此。综合上面的分析，我们结合各功能区的整体情况和各金属元素的污染来源来对重金属污染的主要原因进行说明。在“5.1.2 重金属的污染程度”中，我们通过地质累积指数、内梅罗指数法得出了各金属元素的污染程度指数及相应的等级，并将该城区各功能区的污染程度大小排序为交通区工业区生活区公园绿地区山区。显然交通区的污染程度最大，分析其来源为工业生产排放的废气、汽车尾气排放生的大量含重金属的有害气体和粉尘经雨水、重力等作用富集于土壤中。需要说明的是工业废气和汽车尾气中主要含、，这些元素在交通区的污染程度都在“中度污染”及以上。工业区的污染程度也较大，其总污染指数于交通区的总污染指数相差不大。分析其污染的主要来源有金属矿山的开采、冶炼、及矿渣堆放等，并且其扩散和传播污染的途径也是比较广泛的。生活区的污染程度居中，其重金属的来源主要有生活垃圾、生活污水、废旧电子产品和废旧电池等。从表6可知，、四种元素在生活区的污染程度为“中度污染”，这些元素正是生活垃圾、生活污水和废旧电子产品中含量较高的，并且为“重度污染”，废旧电池中含有大量。公园绿地区的污染程度较轻，其重金属的主要来源有农业农药、化肥和经处理后的工业废水、生活废水的灌溉等。另外，公园绿地区的植物对金属元素有一定的吸收作用，可以降低土壤中重金属元素的含量。山区的污染程度最低，8中重金属元素中对山区的污染程度有一半属于“清洁”，一半属于“轻度污染”。并且，从表4知“轻度污染”的重金属元素的内梅罗污染指数都在1左右，不是很大。山区的污染程度最低主要是因为山区不是人类活动的集中区，与其海拔也有一定的关系，山区中植物和一些微生物也有净化的作用。5.3 问题（3）模型的建立与求解 为确定污染源的位置，我们首先要分析污染物的传播特征。影响重金属污染物传播的因素有很多，如：地质条件（如海拔，地壳运动，土质情况等）、气候条件（如降雨量，气温，季风等）、工业发展情况、人口密度、河流流向等。由于条件限制，我们仅考虑地势、雨水等的作用。因为题目中采样点是对表层土壤(到厘米深)取样，地表径流冲刷为主要传播途径，所以对流是最主要的传播特征，扩散所起的左右相对较小。因此，我们只考虑以雨水冲刷为重金属污染物的传播途径，用偏微分方程建立相关的对流模型来确定污染源的位置。（限于知识，这里模型建立与求解过程略去）6.模型的结果分析与改进我们针对题目各问建立了相关的模型。对于问题（1）中的重金属元素在城区的空间分布，我们用插值方法对各采样点的金属元素浓度进行插值得到重金属元素在城区的空间分布图，观察图像易知存在各金属元素浓度很大的地方即图2图9中金属在某些点的浓度坐标值很大，这是与实际相符合的。我们对城区内不同区域重金属的污染程度进行评价时，用到了地质累积指数和内梅罗指数法，得到的各功能区重金属元素的污染程度也是较合理的。在假设各金属元素的污染性相同的情况下，得到各功能区的污染程度从大到小为交通区工业区生活区公园绿地区山区。在问题（2）模型的建立与求解中，我们用聚类分析的方法对8种金属元素的浓度进行了相关性分析，得到的结果也是较合理的。由于在计算地质累积指数时未利用题目给出的8种元素背景值的标准偏差和其范围，为充分利用已知信息，我们对重金属污染程度评价指标进行改进，方法如下：对数据进行标准化处理 （4）则改进的污染指数为，然后再用内梅罗指数法计算各功能区金属元素的污染指数。根据改进的方法得到的各功能区金属元素的污染指数及对应的污染等级如表7 、表8 所示。表7 改进后的各功能区金