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模拟试题十二 （答案一律写在答题纸上，在本试卷上做答无效） 一、 判断题（每题2分，共20分） 1. 数域上全体一元多项式按通常的多项式加法和数与多项式乘法,构成数域上的一个线性空间. ( )2. 线性空间为维的, 那么任意个向量线性相关. ( ) 3. 任意线性空间都有非平凡子空间. ( )4. 线性变换总把线性无关的向量组变为线性无关的向量组. ( )5. 同一线性变换在不同基下的矩阵是合同的. ( )6. 如果两个矩阵相似, 则行列式相等. ( )7. 满秩的矩阵是可逆的. ( )8. 任意级正定矩阵都可以作为一个维欧氏空间的一个度量矩阵. ( )9. 欧氏空间中,从一个标准正交基到另一个标准正交基的过渡矩阵是对称矩阵. ( )10. 对于任一个级实对称矩阵,存在级正交矩阵,使为对角形矩阵. ( )二、填空（每题2分，共20分）1. 线性空间中, 从一组基到另一组基的过渡矩阵为,那么从到的过渡矩阵为 .2. 在线性空间中, 子空间和的直和是5维的, 是2维的，那么是 维的.3. 数域上全体级对称矩阵组成的线性空间是 维的.4. 线性变换在某基下的矩阵为, 向量在此基下的坐标为, 那么的坐标是 .5. 如果3级矩阵的特征值为那么所相似的对角矩阵是 6. 6维线性空间的线性变换的值域与核的维数相等，这个维数是 7. 如果矩阵的行列式因子为 那么的不变因子是 .8. 如果数字矩阵的不变因子是那么的若尔当标准是 .9. 欧氏空间中, 基的度量矩阵为,的坐标为, ,那 .10. 设,为正交变换, 那么 .三、解答题（每题10分，共40分）1. 在中, 求由基到基的过渡矩阵,并求向量在下的坐标.2. 求矩阵的特征值和特征向量.3. 求矩阵的若尔当标准形和有理标准形.4. 求中下列3个向量的任意两个不同向量的内积及各个向量的长度: .四、证明题（每题10分，共20分）1. 在中，证明：.2. 设是级实对称矩阵，且，证明正交阵，使得： 模拟试题十二答案一、 判断题（每题2分，共20分）1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.二、填空题（每题2分，共20分）1. ； 2. 3; 3.; 4. ; 5. ; 6. 3; 7.; 8.; 9. 3; 10. 6.三、解答题（每题10分，共40分） 1. 解：因为2分则过渡矩阵为 ；3分于是 2分则在下的坐标为3分2解： 特征值为.3分解方程组 即,2分基础解系为所以属于的特征向量为.2分解方程组 即, 基础解系为所以属于的特征向量为. 3分3解: , 显然, ,3分 故 2分初等因子为 1分故若尔当标准形为 2分有理标准形为 2分4解: 5分5分四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明: 2分 2分3分 2分2证
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