数学：3.1.1《变化率与导数》PPT课件(新人教A版选修1-1).ppt

3 1 变化率与导数 教学目标 了解导数概念的实际背景 体会导数的思想及其内涵教学重点 导数概念的实际背景 导数的思想及其内涵 变化率问题 问题1气球膨胀率 问题2高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度是 引导 这一现象中 哪些量在改变 变量的变化情况 引入气球平均膨胀率的概念 当空气容量 从 增加 时 半径增加了 r 1 r 0 0 62 当空气容量 从 加 时 半径增加了 r r 0 探究活动 气球的平均膨胀率是一个特殊的情况 我们把这一思路延伸到函数上 归纳一下得出函数的平均变化率 设某个变量f随x的变化而变化 从x经过 x 量f的改变量为 量f的平均变化率为 平均速度反映了汽车在前10秒内的快慢程度 为了了解汽车的性能 还需要知道汽车在某一时刻的速度 瞬时速度 2 瞬时速度 平均速度的概念 这段时间内汽车的平均速度为 已知物体作变速直线运动 其运动方程为s s t 表示位移 t表示时间 求物体在t0时刻的速度 如图设该物体在时刻t0的位置是 t0 OA0 在时刻t0 Dt的位置是s t0 Dt OA1 则从t0到t0 Dt这段时间内 物体的位移是 在时间段 t0 Dt t0 Dt内 物体的平均速度为 要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度 如果物体的运动规律是s s t 那么物体在时刻t的瞬时速度v 就是物体在t到t Dt这段时间内 当Dt 0时平均速度 的极限 即 例物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 9 8m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2时的瞬时速度 1 将Dt 0 1代入上式 得 2 将Dt 0 01代入上式 得 瞬时速度 高台跳水 高台跳水 导数的概念 一般地 函数y f x 在点x x0处的瞬时变化率是 导数的概念 也可记作 若这个极限不存在 则称在点x0处不可导 设函数y f x 在点x x0的附近有定义 当自变量x在x0处取得增量 x 点x0 x仍在该定义内 时 相应地函数y取得增量 y f x0 x f x0 若 y与 x之比当 x 0的极限存在 则称函数y f x 在点x0处可导 并称这个极限为函数y f x 在点x0处的导数 记为 即 例 高台跳水运动中 秒时运动员相对于水面的高度是 单位 求运动员在时的瞬时速度 并解释此时的运动状态 在呢 同理 运动员在时的瞬时速度为 上升 下落 这说明运动员在附近 正以大约的速率 你能借助函数的图象说说平均变化率 表示什么吗 请在函数 图象中画出来 割线AB的的变化情况 在 的过程中 请在函数图象中画出来 你能描述一下吗 3 1 1导数的几何意义 的切线方程为 即 圆的切线定义并不适用于一般的曲线 通过逼近的方法 将割线趋于的确定位置的直线定义为切线 交点可能不惟一 适用于各种曲线 所以 这种定义才真正反映了切线的直观本质 根据导数的几何意义 在点P附近 曲线可以用在点P处的切线近似代替 大多数函数曲线就一小范围来看 大致可看作直线 所以 某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替 即 以直代曲 以简单的对象刻画复杂的对象 1 在函数的图像上 1 用图形来体现导数 的几何意义 2 请描述 比较曲线分别在附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 2 请描述 比较曲线分别在附近增 减 以及增 减 快慢的情况 在附近呢 增 减 增 减 快慢 切线的斜率 附近 瞬时 变化率 正或负 即 瞬时变化率 导数 数形结合 以直代曲 画切线 即 导数 的绝多值的大小 切线斜率的绝对值的大小 切线的倾斜程度 陡峭程度 以简单对象刻画复杂的对象 2 曲线在时 切线平行于x轴 曲线在附近比较平坦 几乎没有升降 曲线在处切线的斜率0在附近 曲线 函数在附近单调 如图 切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度 大于 上升 递增 上升 这说明曲线在附近比在附近得迅速 递减 下降 小于 下降 2 如图表示人体血管中的药物浓度c f t 单位 mg ml 随时间t 单位 min 变化的函数图像 根据图像 估计t 0 2 0 4 0 6 0 8 min 时 血管中药物浓度的瞬时变化率 把数据用表格的形式列出 精确到0 1 血管中药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度 从图象上看 它表示 曲线在该点处的切线的斜率 函数f t 在此时刻的导数 数形结合 以直代曲 以简单对象刻画复杂的对象 抽象概括 是确定的数 是的函数 导函数的概念 小结 函数在处的导数的几何意义