最短路径问题.ppt

13 4课题学习 最短路径问题 前面我们研究过一些关于 两点的所有连线中 线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中 垂线段最短 等的问题 我们称它们为最短路径问题 现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题 引例 如图 在小河l的两侧有A村和B村 要在小河l上修一个水泵站M 请你确定水泵站M的位置 使它到两个村庄的距离和最小 作法 连结AB 交直线l于点M 则点M为水泵站的位置 M 问题1从图中的A地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到B地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 探索新知 B A l C 你能将这个问题抽象为数学问题吗 探索新知 将A B两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 设C为直线上的一个动点 上面的问题就转化为 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 探索新知 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 思考 1 这个问题与前面 确定水泵位置 的问题有联系吗 2 如何将点B 移 到l的另一侧B 处 满足直线l上的任意一点C 都保持CB与CB 的长度相等 3 你能找到符合条件的点B 吗 探索新知 作法 1 作点B关于直线l的对称点B 2 连接AB 与直线l相交于点C 则点C即为所求 B C 你能用所学的知识证明AC BC最短吗 如图 点A B在直线l的同侧 点C是直线上的一个动点 当点C在l的什么位置时 AC与CB的和最小 若直线l上任意一点 与点C不重合 与A B两点的距离和都大于AC BC 就说明AC BC最小 探索新知 追问 证明AC BC最短时 为什么要在直线l上任取一点C 与点C不重合 证明AC BC AC BC 这里的 C 的作用是什么 C 运用新知 1 如图 一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客 然后将游客送往河岸BC上 再返回P处 请画出旅游船的最短路径 2 已知 如图A是锐角 MON内部任意一点 在 MON的两边OM ON上各取一点B C 组成三角形 使三角形周长最小 变式 在角内有两点A B 在射线OM ON上分别求一点C D 使线段AC CD DB的和最小 两点在一条直线异侧 一点在两相交直线内部 两点在一条直线同侧 小结 三种类型 复习 1 平移的概念图形的平行移动就是平移变换 简称作平移 2 平移的性质 1 把一个图形整体沿某一直线方向移动 会得到一个新的图形 新图形与原图形的形状和大小完全相同 2 新图形中的每一点 都是由原图形中的某一点移动后得到的 这两个点是对应点 连接各组对应点的线段平行 或在同一直线上 且相等 对应线段相等 对应角相等 引例 如图 小明从小河岸边的A地到河的对面的B地 怎样走距离最近 只能从桥上过河 方法 小明过桥走到C 连接CB 小明走的路径和是AC CB 此时所走路经最短 理由 AC确定不变 C和 之间由 两点之间 线段最短 可知CB最短 A 问题2 如图 A和B两地在一条河的两岸 现要在河上造一座桥MN 桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 假定河的两岸是平行的直线 桥要与河垂直 M N 分析 由于河岸宽度是固定的 造的桥要与河垂直 因此路径AMNB中的MN的长度是固定的 要使路径AMNB最短 只需AM BN最短 A1 分析 我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1 那么为了使AMNB最短 只需A1B最短 根据两点之间距离最短 连接A1B 交河岸于点N 在此处造桥MN 所得路径AMNB就是最短路径 N M M1 N1 证明 另任作桥 连接 1 由平移性质可知 1 AM MN BN 而 在 中 由线段公理知A1N1 BN1 A1B 因此 AM MN BN即从A到B的路径AMNB是最短的 1 直线L的同侧有两点A B 在直线L上求两点C D 使得AC CD DB的和最小 且CD的长为定值a 点D在点C的右侧 A1 作法 将点A向右平移a个单位到A1 作点B关于直线L的对称点B1 连结A1B1交直线L于点D 过点A作AC A1D交直线L于点C 连结BD 则线段AC CD DB的和最小 点C D即为所求 B1 D C 运用新知 2 直线L的同侧有两点A B 在直线L上求一点C 使CB与CA的差最大 C 分析 在我们所学过的知识中 哪个知识点与两条