素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0112.doc

2001年第 12期数学通报 数学问题解答 1343 AB C中 ,BE, CF为AC , AB边上的高 , FP BC于 P, FQ AC于 Q, EM BC于 M, EN AB于 N,且 FP+ FQ = CF,EM+ EN =BE,求证 : AB C为等边三角形 . (厦门九中陈四川 361004)2001年第 12期数学通报44 因为 ai + 1 n-1 + 11 +n-1 ai 1 ai = ai+n-1 + (n -1) ai + 1 a 2 i+ 2 (n -1) ai + 1 = (n -1)a 2 + (n 2 -2 n+ 2)ai + n -1 a2 i+ 2(n -1)ai + 1 = n a2 i+ 2(n -1)ai + 1 + (n -2)( ai -1) 2 2 n ( i = 1 ,2 , , n)所以 ai 1 + n -1 + 1 1 + n -1 2 n ( i = 1 ,2 , ai , n) .以上 n式相加 ,便得 1 1 1 缝长 l =| EF| ,EF与 AB的夹角为 ,显然 DAA = ,如图 .ana1 +n-1 +a2 +n-1 + a1 a2 + 1 1 + + + an+ 1 n-1 1 ,则对此式作变换 :a1 a11 , a2 a12 , , an a1 n(在该变换下 ,条件不变 ),可得 11 1 + + 1 ,11 1 +n-1 +n-1 +n-1 a1 a2 an 将以上两个不等式相加 ,即得 11 1 + + a1 +n -1 a2 +n -1 an + n -1 11 1 + + 2.11 1 +n -1 +n -1 +n -1 a1 a2 an 这与 (2)式矛盾 ,故此时不等式 (1)成立 . 1345折迭一张长方形纸片 ,使得它的一个顶点落在与该顶点不相邻的边上 .如何折 ,方能使折缝最长 ?最短 ? (合肥市旅游学校朱长青 230011)解长方形纸片 ABCD ,其边长为 AB = CD = b,AD = BC = a,b a.由题意 ,我们可折 A点到 DC或 CB边上 ,折合点 A.折缝 EF是 AA垂直平分线与长方形 ABCD边的交点的连线 .设折分别在 AD、AB边上 ,l = 2sina cos ;当 2( 4 , 2 时 ,E、F分别在 DC、AB边上 , l= sina .故有 : cosb 0 , 12 arcsin ab ) a 1 b 2sincos 2 2 arcsin a, 4 a ( , l= sin42 因为 (0 , 2 ), sin单增 ,cos单减 ;那么 cosb 单增 , sina 单减 ;于是 l的最大值只能发生在 1 arcsin b, .由于 sin 0 ,cos 0 ,根2 a 4 据算术平均不小于几何平均 (2sin2)(cos 2)(cos 2) 2sincos 2 = 2 3 当且仅当 2sin2 = cos 2即 sin = 3时等号成立 (注意 :当 12 arcsin ab arcsin 3时 ,这个极大值不发生 ).设 z= sincos 2 -sincos 2 = sin -sin 2001年第 12期数学通报( sin3 -sin3) =(sin-sin)(1 -sin2-sinsin-sin2)当 21 arcsin ab arcsin 3时 ,z 0 ,即 sincos 2在区间 12 arcsin ab ,arcsin 3 单增 ;当 arcsin 0 ,即 sincos 234在区间arcsin , 单减.所以 l在区间34 12 arcsin ab ,arcsin 3 单减 ,在区间 arcsin 3 , 单增.4 综上所述 ,l的最大值只能发生在 = 4或 1 2 2时 ,lmax = 2 a,此arcsin 时 E点与 D点重合 , = 4 . l的最小值只能发生在 = 0 ,arcsin 3 , 2的值. (山东省日照市三庄第二初级中学惠智华277100) 1350若整数 n用 p进制表示为( amam -1 a1 ao) p,其中 p为素数 ,则 Cpn a1( mod p) . (江苏如皋市教师进修学校徐道226500) (上接 42页) 111 1 -(-1)k = k! 1 -+-+ + (-1)k 1 ! 2 ! 3 ! k! 111 1 + kk! 1 -+-+ + (-1)k 1 ! 2 ! 3 ! k! 111 = (k+ 1)k! 1 -+-+ +1 ! 2 ! 3 ! (-1)k 1 1) k+1+ (k! 111 = (k+ 1)! 1 -+-+ +1 ! 2 ! 3 ! 11) k+11(-1)k +(k)! (k+ 1)!据归纳原理 ,对一切自然数 n, (1)式都成立. 4数列 f (n !n) 的收敛性由(1)式得 f (n ! n) = 1 -11 !+ 21 !-31 !+ + ( -1) n 1 n ! ,可见lim n f ( n) n ! = + n =0 ( -1) n 1 n ! ,这是一个+ 1 1莱布尼兹级数 ,它是收敛的 ,且(-1)n =,n=0 n! e 所以lim f(n) = 1 = 01367879441171442 n n! e 计算出 f (n !n) 前几项的近似值 :0 ,015 , 013333333 ,01375 ,013666667 ,013680556 , 013678571 ,01367882 ,013678792 ,013678795 , 013678795 ,013678795 , 给出上述结果的一个概率描述 :将编号为 1至 n的 n个不同的元素作全排列 ,记 A