素材：2012届高中数学4.2.3二次函数应用问题——建模的思想方法素材北师大必修1.doc

二次函数应用问题建模的思想方法教学要求：通过对实际问题的讨论，进一步体会二次函数在实际应用中的广泛性和重要性，学习数学中的建模的思想方法。 一、 利用数学知识解决实际问题的一般方法建模的思想方法数学模型（如函数式、方程等）实际问题分析数量关系，抽象转化为数学问题 推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明二、 二次函数的应用问题应用二次函数的有关知识，可解决生产、生活或相关学科中很多问题，如设备的测算、差的平方和最小、造价最低、利润最大等生产实践、生活实际中的最值问题 例1 图所示是喷灌设备图，水管AB高出地面1.5米，B处是自转的喷水头，喷出略解：由顶点C(2，3.5)，设所求抛物线为y-3.5=a(x-2)2由点B(0，1.5)在抛物线上，得a=-0.5即y-3.5=-0.5(x-2)2所以落地点D到原点距离约是4.6米 例2、因仪器和观察的误差，n次测量分别得到n个数据规定最佳近似值a与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，求a值(用a1，a2，an表示)略解：建立关于a的二次函数，得y=(a-a1)2+(a-a2)2(a-an)2 例3、将进货单价为40元的仿古瓷瓶，按50元一个销售时能卖出500个如果这类瓷瓶每个涨价1元时，销售量就减少10个为了获取最大利润，售价应定为多少元？略解：设每个提价x元，即每个售价为(50x)元，销量为(500-10x)个，则获利y=(50+x)(500-10x)-40(500-10x)=-10(x-20)29000所以x=20时，获利y取得最大值，即销售单价为70元时，获得利润最大(4)某种商品在近100天内的价格y与时间t(t为自然数)的函数关系是：0t求这种商品的日销售额S(元)的最大值略解：当0t40时，所以t=10或11时，S取最大值808.5(元) 当40t100时，所以t=41时，S取最大值714(元) 综合、知，日销售额最大值808.5元例4、要用6米长的木料做一个如图所示的窗框若上、下框的高为12，则长、宽各为多少米时，窗框的光照面积S最大(中间木档所占面积可忽略不计)例5、快艇和轮船分别从A地、C地同时驶出，沿箭头所示方向航行，如图所示，快艇和轮船的速度各为40千米时和20千米时，知AC=150千米，求经过多少小时后快艇与轮船间的距离最近？解：设经t小时后，快艇与轮船分别位于B、D两点时其距离最近，则AB=40t千米，CD=20t千米，BC=(150-40t)千米在直角BDC中， 所以t=3时BD取最小值，即驶出3小时，快艇与轮船间距离最近例8 如图8，菱形ABCD的边长为1，锐角A=60，作它的内接AEF，使E，F分别在BC和CD上，并且CDEF，求AEF面积的最大值分析 要确定以AEF面积S为因变量的解析式，关键是对与面积有关的自变量的选择要搞清自变量与动AEF的变化规律， 要以能使运算简捷为原则，选择自变量(选法不惟一，可由学生根据自己的想法去做，然后再比较大家的做法)因为x(0，1，S在(0，1上是增