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第九章 抽象代数h线性空间h泛函分析 本章内容包括抽象代数、线性空间与泛函分析三个部分，重点介绍线性空间. 为了介绍线性空间的需要，这里简略地介绍了抽象代数的初步知识，即群、环、域等基本概念及其简单的性质. 泛函分析是作为线性空间的理论在分析上应用的一个范例来介绍的，因而也不作系统的叙述. 在这里除了叙述勒贝格积分的基本概念与重要性质外，还扼要地介绍了赋范线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间和它们的一些简单的性质. 在线性空间部分介绍了线性空间、线性变换、酉空间、二次型和埃尔米特型、方阵的若当标准型等的定义、性质以及一些算法. 1 抽象代数一、 基本代数系统 代数运算 假定对于集（见第二十一章，1，一）A中任意元素a与集B中任意元素b，按某一法则可以与某一集C中唯一确定的元素c对应，则称这个对应为A，B的一个（二元）代数运算. 集A，B也可以是同一个集，就是对A中任两个元素a，b，可以唯一确定元素c，使，c可属于A或不属于A，若属于A，则称A在运算下是封闭的. 在二元运算下，若对A的任意两个元素a和b成立，则称A是可交换的. 若对A的任意三个元素a，b，c在下，成立，则称A是可结合的. 若运算是通常的加法或乘法，就分别记作或. 整数集中的加法和乘法都是可交换的与可结合的，因此整数集是可交换和可结合的. 代数系统 如果一个集A具有满足某些法则的代数运算，就称集A为代数系统. 群、环、域就是三个基本的代数系统. 二、 群 群的定义与例子 设G不是空集（见第二十一章，1，一），对G给定一个代数运算，若在之下，满足下列四个条件，则称G为一个群：（i） G在之下是封闭的，即对每一对元素，则有唯一确定的元素，且. （ii） G在之下是可结合的，即对任意，有 （iii） 在G中有一元素e，对任一，满足 （iv） 对任一，都有一个，满足 条件（iii）中的e称为单位元或恒等元；条件（iv）中的称为的逆元. 注意，定义中条件（iii）可改为：有一个左单位元e（或右单位元），使（或），对任意成立. 因为由此推出. 因此，群中单位元是唯一的. 定义中条件（iv）可改为：每个元有左（或右）逆元，使（或）成立. 因为由此推出，从而也成立. 因此，群中每个元的逆元是唯一的.若一个群G的乘法可交换，则称G为交换群或阿贝耳群. 特别在加法之下，交换群称为加法群. 在加法群时，改为，逆元改为负元-，单位元称为零元，记作0. 例1 整数集N组成一个加法群；有理数集、实数集、复数集各组成一个加法群. 例2 非零的实数集对于乘法组成一个群. 正的实数集对于乘法也组成一个群. 例3 一切元在数域F中的n阶可逆矩阵对于矩阵的乘法组成一个群，记作. 例4 设是一个平面图形，是平面上一切使不动的正交变换所组成的集，则组成一个群. 通称为图形的对称群. 例5 一切n次置换的集合组成一个群，称为置换群，记作. 事实上，若任取两个n次置换： 可改写为： 对置换和，规定置换 和它们对应，即为和的乘积，记作 在这个乘法之下，不难推出满足群中规定的条件，因而组成一个群. 例6 非空集S到自身的一切可逆变换（见第二十一章，1，二）对于变换的乘法组成一个群，称为集S的全变换群，记作. 的子群称为S上的变换群. 群的基本性质 1o 在群中，对任意元a，b，方程 各有解. 即. 2o 消去律成立. 即若，则. 3o 群中一般结合律成立. 即 4o 交换群中一般交换律成立. 即 式中是的任一排列. 子群 设群G的非空子集H对于G的运算也组成一个群，则称H为G的一个子群. 群G的非空子集H是子群的充分必要条件是：若，则. 任意个子群的交集（见第二十一章，1，三）是一个子群. 循环群 一个元a的一切乘幂的全体组成一个群，称为循环群. 循环群是交换群. 若序列中没有两个元素相等的，则称G为无限循环群. 若有相等的元素，即 可推出G为n个元的集，即 这时称G为有限循环群，n称为G的阶，即n为使的最小正整数. 循环群的子群还是循环群. 不变子群陪集商群 设H为群G的一个子群，若对每个元, 有 (这里表示g与H中一切元素的乘积，例如），即，则称H为G的一个不变子群（或正规子群）. 和分别称为G对H含元素g的左陪集和右陪集. 因此含同一元素的不变子群的左陪集和右陪集是重合的. 把陪集看作元素时，一切陪集构成一个群，称为G对H的商群，记作G/H. 拉格朗日定理 有限群G的子群的阶是群G的阶的一个因数. G的不变子群H的商群的阶为的阶被的阶除所得的商. 交换群的一切子群都是不变子群. 若群G除自身外，无任何其他不变子群，则称G为单群. 同构与自同构 设两个群，若使中任意两元a，b的乘积与中相应元的乘积对应，而且只与这个乘积对应，即 具有这个性质的到上的一对一的对应，称为一个同构，又称与是同构的，记作. 群G到自身的同构称为自同构. 同构有以下性质：1o在同构之下，一个群的单位元、逆元、子群分别对应到另一个群的单位元、逆元、子群. 2o同构是一个等价关系，即 (i) 反身性 ； (ii) 对称性 若，则； (iii) 传递性 若，则. 3o凯莱定理 任一群G都同构于它的元素集的某一变换群. 同态与自同态 有两个群,与一个映射：. 设，若满足 则称为一个同态. 为的一个同态象，记作. 群到自身的同态称自同态. 同态有以下性质：1o一对一的同态就是同构. 2o在同态之下，单位元映到单位元，逆元映到逆元. 3o假定f是群G到的一个同态，则G中对应于的单位元的一切元素所成的集N是G的一个不变子群. N称为同态f的核，记作. 4o假定群G，同态，则G中对应于的任一固定元素的一切元素所成的集是G对同态核N的一个陪集. 5o同态基本定理 假定G，同态，群G对N的陪集与的元素之间的一一对应是与商群G/N之间的一个同构. 它表明G的同态象与对应的商群G/N同构. 三、 环 环的定义与例子 一个非空集R有加法和乘法两个二元运算，若满足下列三个条件，就称R为一个环：（i）R是一个加法群；（ii）对乘法满足结合律. 即对任何，有 （iii）对加法和乘法满足左、右分配律. 即对任何，有 一个环若满足乘法的交换律，则称R为交换环. 例1 一切整数全体是一个环，称为整数环. 例2 设F是一个数域，则域F上的多项式的全体是一个环，记作Fx. 例3 如果数集R中任意两个数的和、差、积仍属于R，则R也是一个环，称为数环. 单个数零也是一个数环，称为零环，显然，数环总是交换环. 例4 若R是一个环，一切用R的元所成的n阶方阵在矩阵的加法与乘法之下，构成一个环，称为R上的n阶全方阵环，记作. 当时，为非交换环. 环的基本性质 因为环是一个加法群，所以它具有加法群的一切性质. 因此只介绍由乘法所表示的各种性质. 1o2o3o对减法分配律成立，即 4o一般结合律成立，即 5o一般分配律成立，即 6o对任意整数m，有 7o对正整数的指数定律成立，即 对交换环还有 零因子与单位元 在环R中，若，使，则称a为R的左（右）零因子，记作. 又称a为b的左（右）零化元. 一个元同时是左、右零因子，就称它为零因子. 若环中无零因子，就称它为无零因子环. n阶全方阵环就是无零因子环. 若环R中有元素，对任一，有，则称为R的左（右）单位元. 若同时是左、右单位元，即，则称e为R的单位元. 这时称R为有单位元环. 例如整数环是单位元环，1就是它的单位元；n阶全方阵环有单位元，就是单位矩阵I. 若R有单位元，则单位元是唯一的；若R有单位元e，并对有逆元，则是唯一的. 有单位元而无零因子的交换环称为整环. 例如整数环、数域都是整环. 子环与扩张环 设S是环R的一个子集，若S对R的两个运算组成一个环，则称S为R的一个子环，称R为S的扩张环. 环本身可以看作是它的子环，零环也是它的子环. 异于本身与零环的子环称为真子环. 环R的子集S成为R的子环的充分必要条件是：(i) S为非空集；(ii) 若，则；(iii) 若，则. 理想与主理想 设R是一个环，I是R的一个子集，若I中任意两个元素之差以及I中任意元素a与R中任意元素r的乘积和都属于I，则称I为R的一个理想. 例如偶数全体是整数环的一个理想. 每一个理想是已知环的子环，其逆不真. 一个环的任意多个理想的交集仍是这个环的理想. 特别，环中含有某一固定元素r的一切理想的交集仍是这个环的理想，即它是由一个元素r生成的理想，称为主理想，记作（r）.四、 域域的定义与例子 一个具有单位元的交换环R，若至少含有一个非零元，并且每个非零元a恒有逆，则称R为一个域. 例1 数域F（有理数域Q、实数域R、复数域C等）都是域. 例2 数域F上的一切有理分式 （且）在有理分式的加法和乘法之下组成一个域，称为数域F上的有理分式域. 域的基本性质1o域没有零因子. 2o若集F在两个二元运算（加法和乘法）下满足下列