理论力学教案--运动学.doc

第六章 点的运动学第一、二节 矢量法 直角坐标法重点：点的曲线运动的直角坐标法，点的运动方程、点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影难点：点的曲线运动的直角坐标法一、运动学引言运动学是研究物体运动的几何性质的科学。也就是从几何学方面来研究物体的机械运动。运动学的内容包括：运动方程、轨迹、速度和加速度。学习运动学的意义：首先是为学习动力学打下必要的基础。其次运动学本身也有独立的应用。 由于物体运动的描述是相对的。将观察者所在的物体称为参考体，固结于参考体上的坐标系称为参考坐标系。只有明确参考系来分析物体的运动才有意义。时间概念要明确：瞬时和时间间隔。运动学所研究的力学模型为：点和刚体。二、点的运动学本章将介绍研究点的运动的三种方法，即：矢径法、直角坐标法和自然法。 点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线，称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。 本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。三矢量法1、点的运动方程如图，动点M沿其轨迹运动，在瞬时t，M点在图示位置。由参考点O向动点M作一矢量 =，则称 为矢径。于是动点矢径形式的运动方程为显然，矢径的矢端曲线就是点运动的轨迹。参考体 用矢径法描述点的运动有简洁、直观的优点。2、点的速度如图，动点M在时间间隔 t内的位移为则 表示动点在时间间隔t内运动的平均快慢和方向，称为点的平均速度。当 t0时，平均速度的极限矢量称为动点在t瞬时的速度。即即：点的速度等于它的矢径对时间的一阶导数。方向沿轨迹的切线方向。3、点的加速度如图，动点M在时间间隔t内速度矢量的改变量为 则表示动点的速度在时间间隔t内的平均变化率，称为平均加速度。当t0时，平均加速度的极限矢量称为动点在t瞬时的加速度。即即：点的加速度等于它的速度对时间的一阶导数，也等于它的矢径对时间的二阶导数。四、直角坐标法1、点的运动方程如图，在参考体上建立直角坐标系。则 这就是直角坐标形式的点的运动方程。由运动方程消去时间t可得两个柱面方程： 这两个柱面方程的交线就是点的运动轨迹，上式称为动点的轨迹方程。2、点的速度在直角坐标轴上的投影由图可知，动点的矢径为将上式两边对时间求导，可得将动点的速度表示为解析形式，则有比较上述两式，可得速度在各坐标轴上的投影 这就是用直角坐标法表示的点的速度。即：点的速度在直角坐标轴上的投影，等于点的对应坐标对时间的一阶导数。3、点的速度在直角坐标轴上的投影若已知速度的投影，则速度的大小为 其方向余弦为 4、点的加速度在直角坐标轴上的投影由于加速度是速度对时间的一阶导数，则将动点的加速度表示为解析形式，则有 比较上述两式，可得加速度在各坐标轴上的投影 这就是用直角坐标法表示的点的加速度。即：点的加速度在直角坐标轴上的投影等于该点速度在对应坐标轴上的投影对时间的一阶导数，也等于该点对应的坐标对时间的二阶导数。若已知加速度的投影，则加速度的大小为 其方向余弦为例1、杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。 解：建立如图所示的直角坐标。则即 即为小环M的运动方程。 故M点的速度大小为 其方向余弦为 故M点的加速度大小为 且有 加速度的方向如图。 例2、半径为的圆轮在地上沿直线匀速滚动，已知轮心的速度为试求轮缘上一点的运动方程轨迹速度和加速度（演示图轮在地面上纯滚动）解：建立直角坐标如图，时点位于点点的运动方程： 其中，即 轨迹为摆线（可演示轮子运动时，点的轨迹画出来）速度： 可知 （如图）当时，即点接触地时 加速度： 即点的加速度大小为常量，方向恒指向轮心MMjRoj本章介绍研究动点运动的三种方法，即矢径法、直角坐标法和自然法。点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成一条曲线，这条曲线成为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。点作运动就是点的位置随时间变化。表示点的位置随时间变化规律的数学方程称为点的运动方程，本章研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以及它们之间的关系。第三节 自然法重点：点的曲线运动的自然法，点沿已知轨迹的运动方程，点的切向加速度和法向加速度。难点：矢量求导及自然轴系的概念。自然坐标法1、运动方程前提：点的轨迹已知显示火车沿轨迹行驶的一段动画弧坐标的建立：在轨迹上确定O点，规定“+”，“-”点位置确定：弧坐标S设动点M的运动轨迹如图。 当动点运动时，弧坐标随时间t连续变化，且为时间t的单值连续函数，即这就是自然坐标形式的点的运动方程。2、曲率和曲率半径图示空间曲线，表明曲线在弧长内弯曲的程度。 称为的平均曲率。当M点趋近于M点时，平均曲率的极限值就是曲线在M点的曲率，即M点曲率的倒数称为曲线在M点的曲率半径，即3、自然轴系如图。由三个方向的单位矢量构成的坐标系称为自然轴系。且三个单位矢量满足右手法则，即 自然轴系不是固定的坐标系。4、用自然法表示点的速度由点的速度的矢径法 由于 ，所以 即：动点沿已知轨迹的速度的代数值等于弧坐标s对时间的一阶导数，速度的方向沿着轨迹的切线方向，当为正时指向与相同，反之，与 相反。5、用自然法表示点的加速度由点的加速度的矢径法 由于 ， 所以 上式表明加速度矢量是由两个分矢量组成：分矢量 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 的方向永远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方向随时间的变化率。加速度在三个自然轴上的投影为 全加速度位于密切面内，其大小为方向余弦为 例1、在曲柄摇杆机构中，曲柄与水平线夹角的变化规律为，设，求点的运动方程和时点的速度和加速度（演示图中机构的运动可将点的轨迹画出来）解法1 自然坐标法 点的运动方程 速度 加速度 解法2 直角坐标法（坐标建立如图）B点的运动方程：速度：加速度：时 例2、杆AB绕A点转动时，带动套在半径为R的固定大圆环上的小护环M运动，已知（为常数）。求小环M的运动方程、速度和加速度。 解：建立如图所示的自然坐标。则点的自然坐标形式的运动方程为速度为 加速度为 例3、一点作平面曲线运动，其速度在x轴上的投影始终为一常数C。试证明在此情形下，点的加速度的大小为。其中v为点的速度的大小，为轨迹的曲率半径。证明：设点沿图示曲线运动，速度和加速度如图。由已知条件得 （1）由于速度在x轴上的投影始终为一常数，所以 由于 所以 于是可得 由于 ，所以 将（1）式代入上式得 证毕。本章介绍了描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法。矢量法在理论上概括性强，分析方法直接明了，但在求解具体的力学问题时，需把矢量运算变换为标量运算的形式，因而将速度和加速度表示为投影的形式。在运动轨迹不知的情况下，采用直角坐标法比较方便。但其缺点是对运动规律的分析不太直观。当轨迹已知时，可采用自然坐标法。自然法比较直观，而且运算时速度的大小变化率与方向变化率是分开来计算的。直角坐标法与自然法在求解力学问题时用得较多。但矢量法是这两种方法的理论基础。第七章 刚体的简单运动第一、二、三节 刚体的平动、定轴转动及转动刚体内各点的速度和加速度重点：刚体平动及其运动特征,刚体的定轴转动，转动方程、角速度和角加速度定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。难点：定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。研究刚体运动时：首先要了解每种运动形式的特征，并研究整个刚体的描述方法，然后再研究刚体上各点的运动。一、刚体平动先看几个实例：实例1 汽车沿直线行驶时车身的运动；实例2 推拉窗户的运动；实例3 游乐车车厢的运动； 1 定义：刚体运动时，其上任一直线始终与原位置平行。2 特征分析运动方程 是常矢量轨迹：形状相同速度：， 加速度：，结论：研究刚体的平动，可归结为研究其上任一点的运动。3 平动分类演示机构运动 、/，角不变并画出、点的轨迹，以为圆心 为半径的圆二刚体定轴转动实例分析实例1 门绕其转动的轴转动实例2 风车上的叶片绕其转轴转动1、定义：刚体运动时，其上有一直线始终保持不动，其余各点均作圆周运动。1、 整体运动描述位置确定：转角转动方程：单值连续函数角速度： 角加速度：、均为代数量，其正负号表示刚体的转向，从轴正向往负向看逆时针为正，顺时针为负。开始平面与平面重合，然后刚体转动至图示位置，画出转角特例：（1）若，常量，称为匀速转动，此时，是时的转角 （2）若常量，称为匀变速转动，此时，、是时的转角和角速度三、转动刚体上各点运动分析自然坐标法运动方程：速度：，指向如图所示。半径上各点速度分布如图加速度：切向加速度，指向如图所示法向加速度 ,方向，,任一半径上各点加速度分布如图。例1、荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示，钢索长为，长度单位为，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为，其中以计，试求当和时荡木中点的速度，加速度。解：运动分析：/，荡木作平动，点与点的运动相同研究钢索，当钢索拉紧时，就相当于刚性杆绕转轴转动当时 , 方向如图当时 , 方向如图在上章研究点的运动的基础上，本章转入对刚体运动的研究。刚体的运动形式很多，但刚体的平动和定轴转动是两种最基本、最简单的运动形式。刚体的其他形式的运动，都可以看作上述两种运动的合成。将刚体其他形式的运动称为刚体的复杂运动。刚体的平动和定轴转动是研究刚体复杂运动的基础，因此称这两种运动为刚体的基本运动。第四节 轮系的传动比第五节 以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度重点：用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。难点：用矢积表示刚体上一点的速度与加速度。1、角速度角加速度的矢量表示点的速度和加速度的矢量表示1）有限转动不是矢量，无限转动是矢量描述转动刚体位置的转角虽然有三个要素：转轴在空间的方位，转角的大小和转角的转动方向，但实践证明转角不能用矢量表示。如图所示原来位置先绕轴正向转90 后绕轴正向转90先绕轴正向转90 后绕轴正向绕90 但无限转动可用矢量表示，即(证明略）2）角速度角加速度的矢量表示，角速度矢量的表示：方位沿转轴，大小等于角速度的绝对值，指向由右手定则定，它表示角速度的转向，如图如以表示沿转轴的单位矢量，则式中为在转轴上的投影是代数量，角加速度为即角加速度矢量也沿转轴，表示方法与类似，如图所示。1） 各点速度加速度的矢量表示在转轴上任取一点，向点引矢径如图点的速度可表示为 证明： 的方向垂直于，确定的平面即垂直于转动半径，指向用右手定则判定，与自然法分析的分析的速度方向一致，所以式成立。由第七章点的运动学知： 所以可得出 式表示了大小不变，只是方向变化的矢量的导数公式，由此，可得出泊桑公式：，其中，是固连于转动刚体上的三个单位矢量。将式对时间求一次导数，可得加速度公式，即其中 切线加速度，法向加速度2、轮系的传动比在机械工程中，常常把主动轮和从动轮的两个角速度的比值称为传动比，用附有角标的符号表示（1）由齿轮的节圆半径、或齿轮的齿数、，齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成反比），可表示为 几点说明：1）式的定义的传动比是两个角速度大小的比值，与转动方向无关，因此不仅适用于圆柱齿轮传动，也适用于传动轴成任意角度的圆锥齿轮传动摩擦轮传动或不计厚度的皮带轮的传动。2）有时为了区分轮系中各轮的转向，对各轮都规定统一的转动正向，这时各轮的角速度可取代数值，从而传动比也取代数值。 式中正号表示主动轮与从动轮转向相同（内啮合）如图8.21，负号表示转向相反（外啮合）如图例1、齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。两齿轮外啮合时，其转向相反图；而内啮合时，其转向相同（图）。设齿轮1和齿轮2的节圆半径分别为和，齿轮1的角速度和角加速度分别为，求齿轮的角速度和角加速度?解 两齿轮啮合时，由于两节圆的接触点、间无相对滑动，故并且速度方向也相同，即，有将式对时间求一次导数，有从式和，可得到齿轮2的角速度和角加速度，例2、减速箱由四个齿轮构成如图所示。齿轮和安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为，。如主动轴的转速，试求从动轮的转速？解：用、和分别表示各齿轮的转速，于是有，应用上例中的式，有，于是有代入数值得（正值说明轮与轮转向相同）从动轮的角速度为-若级传动，有对外啮合齿轮，则齿轮传动是常见的轮系传动方式之一，可用来提高或降低转速，可用来改变转向。轮系的传动比 若级传动，有对外啮合齿轮，则第八章 点的合成运动第一节 相对运动 牵连运动 绝对运动 第二节 点的速度合成定理重点：运动的合成与分解，速度合成定理及其应用难点：动点、动系的选择和相对运动的分析。一、概念前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的，例如：为了研究方便，把所研究的点称为动点，把其中一个坐标系称为静坐标系（一般固连于地球上）；而把另一个相对于静坐标系运动的坐标系称为动坐标系。为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定：动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运动。动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为相对轨迹、相对速度和相对加速度。在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬时的牵连速度和牵连加速度。用和分别表示绝对速度和绝对加速度。用和分别表示相对速度和相对加速度。用和分别表示牵连速度和牵连加速度。例1 如图杆长l，绕O轴以角速度 转动，圆盘半径为r，绕 O 轴以角速度 转动。求圆盘边缘 M1和 M2点的牵连速度和加速度。解：静系取在地面上，动系取在杆上，则 二、点的速度合成定理下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速度的关系。如图，由图中矢量关系可得：将上式两端同除 t，并令t0，取极限，得由速度的定义： 于是可得： 即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。例1、在凸轮顶杆机构中已知凸轮以速度直线平动，已知半径为，求图示角时顶杆AB的速度。解：1 选动点、动系：动点A，动系凸轮。2 三种运动分析： 绝对运动：直线 相对运动：圆周运动 牵连运动：直线平动3 速度分析：4 求解：思考：如选AB杆为动系，凸轮上的点为动点，怎样分析？例2 如图车A沿半径为150m的圆弧道路以匀速行驶，车B沿直线道路以匀速行驶 ，两车相距30m，求：（1）A车相对B车的速度；（2）B车相对A车的速度解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。例3 曲柄摇杆机构，设，以匀角速度转动图中。求时，摇杆的角速度。解：1 选动点、动系：动点，动系。2 三种运动分析： 绝对运动：圆周运动直线 相对运动：直线 牵连运动：圆周运动3 速度分析：4 求解： 思考：如选杆为动系，上的点为动点，怎样分析？例4 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为，试求当时，顶杆AB的速度。解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：由上述例题，可将应用速度合成定理求解问题的大致步骤总结如下：1、 选取动点、动系和静系。动点、动系和静系的正确选择是求解点的复合运动问题的关键。在选取时必须注意：动点、动系和静系必须分属三个不同的物体，否则三种运动中就缺了一种运动，而不成其为复合运动。此外动点、动系和静系的选择，应使相对运动比较简单明显。2、 分析三种运动。对于绝对、相对运动，主要是分析其轨迹的具体形状；而对于牵连运动，则是分析其刚体运动的具体形式。分析三种运动的目的是为了确定三种运动的方位线，以便于画出速度平行四边形。3、 画出速度平行四边形，分析问题的可解性。三种运动速度的大小和方向共六个量，其中至少已知四个才可解。必须注意，作图时要使绝对速度成为平行四边形的对角线。4、 根据速度平行四边形的几何关系求解未知量。 第三节 牵连运动为平动时的加速度合成定理重点：加速度合成定理及其应用。难点：牵连点、牵连速度、牵连加速度的概念一、关于速度合成定理上一节课剩余的例题例5 两直杆分别以、的速度沿垂直于杆的方向平动，其交角为，求套在两直杆上的小环M的速度。解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。于是有： （1）以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。于是有： （2）比较（1）、（2）式，可得：建立如图的投影轴，将上式投影到投影轴上，得：即：于是可得：二、牵连运动为平动时的加速度合成定理1、加速度的概念绝对加速度：动点相对静系的加速度牵连加速度：牵连点相对静系的加速度相对加速度：动点相对动系的加速度2、牵连运动为平动时的加速度合成定理如图，设为平动参考系，动点M相对于动系的相对坐标为 ，则动点M的相对速度和加速度为相对运动方程：将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：由点的速度合成定理有：两边对时间求导，得：由于 于是可得： 即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理。上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理的基本形式。其最一般的形式为：具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确定加速度合成定理的形式。例1 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲柄与铅垂线成时，曲柄的角速度为，角加速度为，求此时BC的速度和加速度。解：以滑块A为动点，静系取在地面上，动系取在BC杆上，动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得 即： 该速度即为BC的速度。动点的加速度合成矢量图如图。其中： 建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到 轴上，得 于是可得： 该加速度即为BC的加速度。例2 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为，加速度为。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。解：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在凸轮上，动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由，将各矢量投影到投影轴上，得 解得：OA杆的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 所以 故OA杆的角加速度 例3 铰接四边形机构中，杆 以匀角速度绕轴转动。AB杆上有一滑套C，滑套C与CD杆铰接，机构各部件在同一铅直面内。求当时，CD杆的速度和加速度。解：以滑套C为动点，静系取在地面上，动系取AB上，动点的速度合成矢量图如图。由于 所以 动点的加速度合成矢量图如图所示。由于 所以 上节得到的速度合成定理，对于任何形式的牵连运动都是适用的。但是在加速度的合成问题中，对于不同形式的牵连运动，将有不同的结果。本节就牵连运动为平动的情况进行讨论。所以大家在进行加速度合成时，一定要首先判断牵连运动的形式。第四节 牵连运动为转动时的加速度合成定理重点：加速度合成定理及其应用难点：牵连点、牵连速度、牵连加速度及科氏加速度的概念1、牵连运动为转动时的加速度合成定理为方便，可将动系的坐标原点选在转轴上，即在图中设点不动，此时牵连速度、牵连加速度可表示为：在静系中，将式(b)对时间t求一阶导数，有： 在图中， 是常矢量，有=+ 由泊桑公式： 式（c）的最后三项可表示为将式(d)(e)代入式（c）,有：其中令称为哥氏加速度所以牵连运动为转动时的加速度合成定理为2、的计算及产生的原因分析：参看图=当时有 =时。产生的原因分析：设动点M沿直杆OA的速度匀速运动，而杆又以匀速转动，如图所示。在静系中观察，的方向发生了改变，其中变化率 方向垂直与OA杆，产生原因：由于牵连运动改变了 的方向所致。当M点运动到位置的时候时，牵连速度的大小发生了变化，其变化率为方向垂直于OA杆产生原因：由于相对运动改变了牵连点，改变了牵连点，牵连速度的大小而所致。总之是由于牵连运动和相对运动的相互影响而造成的。用说明地球上的一些自然现象。例如：在北半球，沿经线流动的江河，若顺着河水流动的方向看，河的左半岸被冲刷得较为厉害。这时因为：选河水为动点，地球为动系，地心系（地球中心为坐标原点，三个坐标轴指向三颗恒星）为静系。若设河水向北流，如图。则河水的哥氏加速度指向左侧（如图），有动力学知，河的右岸对水作用了向左的力。根据作用于反作用定律，河水对右岸必作用反力，因而右岸被左岸冲刷厉害。在北纬角位置。河水的哥氏加速度为（地球的角速度）由此可知：沿经线运动时=0（赤道上）=0， 北极（南极） 例1 直角折杆OBC绕O轴转动，带动套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动，如图。已知：OB=10cm，折杆的角速度。求当时，小环M的速度和加速度。解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在折杆上。动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 因为 解之得 动点的加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 所以 故小环M的速度加速度为 例2 偏心凸轮以匀角速度绕O轴转动，使顶杆AB沿铅直槽运动，轴O在滑槽的轴线上，偏心距OC=e，凸轮半径，试求的图示位置时，顶杆AB的速度和加速度。解：由几何关系可得 解一：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取在轮上。动点的速度合成矢量图如图。建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 因为 ，于是可解得 动点的加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 故顶杆AB的加速度为 可见，的实际方向铅直向下。解二：以杆端A为动点，静系取在地面上，动系取过凸轮中心的平动坐标系（如图）。动点的速度合成矢量图如图。动点的加速度合成矢量图如图。解三：以凸轮中心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上（如图）。动点的速度合成矢量图和加速度合成矢量图如图。例3 图示机构，半径为R的曲柄OA以匀角速度绕O轴转动，通过铰链A带动连杆AB运动。由于连杆AB穿过套筒CD，从而使套筒CD绕E轴转动。在图示瞬时，OAOE，。求此时套筒CD的角加速度。解：以铰A为动点，静系取在地面上，动系取CD上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得 于是套筒CD的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图。其中 建立如图的投影坐标轴，由将各矢量投影到投影轴上，得 解得 套筒CD的角加速度为 转向为逆时针方向。例4 圆盘的半径，以匀角速度，绕O轴转动，并带动杆AB绕A轴转动，如图。求机构运动到A、C两点位于同一铅垂线上，且时，AB杆转动的角速度与角加速度。解：取圆盘中心C为动点，静系取在地面上，动系取在AB杆上。动点的速度合成矢量图如图所示。由图可得 所以杆AB的角速度为 动点的加速度合成矢量图如图所示。其中 建立如图的投影轴，由将各矢量投影到投影轴上得所以 故 转向为逆时针方向。在加速度的合成问题中，对于不同形式的牵连运动，将有不同的结果。本节就牵连运动为转动的情况进行讨论。所以大家在进行加速度合成时，一定要首先判断牵连运动的形式。当动系作平动时，动系转动的角速度恒为零，所以科氏加速度也为零，这就是上节所讲的牵连运动为平动时的加速度合成定理。第九章刚体的平面运动第一节 刚体平面运动的概述和运动分解重点：掌握研究平面运动的方法难点：掌握研究平面运动的方法动点的加速度合成矢量图如图所示。一、平面运动的概念1平面运动的概念引例1：汽车沿直线行驶时，车轮的运动（图10.1）车轮的运动 随着车身的平动+相对车身的转动。引例2曲柄连杆机构的连杆AB的运动引例3板擦在黑板上的任意运动上述运动有何共性？平面运动定义：刚体运动时其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，也就是说刚体内的各点都在平行于固定平面的某一平面内运动。2力学模型简化如图所示，刚体作平面运动时，刚体上所有与空间某固定平面距离相等的点所构成的平面图形就保持在它自身所在的平面内运动。A点代表线段的运动B点代表线段的运动平面图形S代表刚体运动结论：刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。3、运动方程确定平面图形S在坐标系内的位置只需确定任一线段AB在中的位置确定AB线段的位置，需确定坐标,A点称为基点。所以平面运动的运动方程： （1）上式称为刚体的平面运动方程。分析运动方程可知，平面运动包函了平动和定轴转动这两种基本运动形式，即：平面运动是平动和转动的合成运动。4、运动的分解及分解运动的特性分析特例分析：在方程（1）中，若则“S”作平动 ，若 则“S”作定轴转动一般情况下，平面运动可以看成为由平动和定轴转动的合成。运动分解：研究对象：平面图形S 静系：固定平面。 动系：（其中A是“S”上一点，伴随A作平动,是虚构的一坐标系）。 牵连运动：动系随A点平动。 相对运动：绕A点转动所以，平面运动 随基点A平动+相对基点A转动。分解运动特性：平动：随基点的不同而不同转动：相对不同基点转过的角位移、角速度和角加速度都是相同的，即转动与基点选择无关。证明1： 证明2： 常量 在研究刚体平动和定轴转动这两种基本运动的基础上，本章研究刚体的一种较为一般的，实际中较为常见的运动形式-平面运动。第二节 求平面图形内各点速度的基点法重点：以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度的基点法，以求速度为主，速度投影发从基点法推导出来。难点：正确理解平面运动分解为随基点的平动和饶及点的转动时，选基点的意义和相对基点转动的运动特征1基点法（合成法）平面运动随基点平动+相对基点的转动设已知A点速度和角度求图形上任一点B的速度。B点的速度为： （1）式中，其中 ,式（1）只能求2个求知量，通常的已知量为和的方向。 式（1）也可用矢量求导得到， 其中是常量。其中，也即2速度投影法将式（10.3）向AB连线和AB连线的正垂向投影，有 （2） （3）式（2）称为速度投影定理，是刚体不变形的属性，式（3）中的正垂向投影过B点作逆时针转的射线为正方向，如图中的所指的方向。例1、如图所示，在曲柄连杆机构中，已知曲柄OA长为R，绕O轴以逆时针转动，求，时，滑块B的速度及连杆AB的角速度。解：1. 分析运动： OA杆定轴转动，AB杆作平面运动2分析速度 OA杆：，AB杆： 只有2个未知量，可求解,由速度合成图11，有 求得 ， 而另解：用速度投影法：AB：设方向如图10.12所示： （负号说明与假设相反） （轴指向为正） (负号说明是顺时针转向的)问题，若求（C点是AB杆的中点）例2、在图所示的平面机构中，已知，OA杆以绕O轴匀速转动，在图示位置时，OA、CB沿水平方向，、AC沿铅垂方向，试求此瞬时（1）杆的角速度 。（2）板上C点速度。 解：1.分析运动 OA杆，杆定轴转动 ABC作平面运动 2分析速度 OA： ABC： 由速度合成图： ： 3求 其中 由图10.13： 问题：若不分析B点速度，求出，能否求出？例3、图10.14中给出一种平面铰接机构，已知杆的角速度是，杆的角速度是，转向如图10.14所示。在图示瞬时，杆铅直，杆AC和水平，而杆BC对铅直线成偏角，又，。试求该瞬时点C的速度。 解：1 分析运动 、杆作定轴转动， AC、BC杆作平面运动。 2 分析速度 ： AC： （a）BC： （b）由式（a）、（b）得： 总结以上例题，基点法解题步骤如下：1、 分析构件中各刚体的运动，判断各刚体分别作什么样的运动。2、 研究作平面运动的刚体上哪一点的速度大小和方向为已知。基点就选在该点上，作图时必须说明基点的选择，但在图中可以不画动坐标轴。3、 画速度合成图，作图时要使绝对速度在平行四边形的对角线上，并根据三个速度所涉及的六个要素中分析出四个要素。4、 根据基点法公式的合成公式及利用平行四边形中的几何关系求解未知量。第三节 求平面图形上各点速度的瞬心法重点：以运动的分解与合成为出发点，研究求平面图形上各点的速度瞬心法，从基点法推导出来。难点：速度瞬心的概念。引言：，若，则此时图形上各点速度分布如图10。15所示速度瞬心：某瞬时平面图形上速度为零的那一点称为该瞬时平面图形的瞬时速度中心，简称为速度瞬心，通常用“P”表示。定理：一般情况下，每瞬时平面图形上速度瞬心是唯一存在的。证明：设已知平面图形上任一点M的速度和平面图形的角速度， 过M点作如图10.16所示，MN上一点P的速度为： 与方向相反. 当时， 当时，只有一个确定的值，且只能在MN直线上有满足此条件的点，所以定理得证。找瞬心的几种方法：1）已知两点速度方向a) b) 且 瞬时平动c)且时，需知、的大小（图10.19）2）已知平面图形沿某一线或面纯滚，接触点瞬心（图10.20）例1、在平面机构中，直角三角板ABD的两直角边长为，A、B为光滑铰接，、为两固定铰支座，杆以绕轴匀速转动，设，图示瞬时、A、D在同一铅垂线上，求该瞬时D点的速度和杆的角速度。 解：1分析运动 、杆作定轴转动， ABD作平面运动2 分析速度 ： ABD： ： 例2、绕线轮半径为R，其凸沿半径为r，绕线之线点B沿水平方向抽出之速度为u，使轮沿水平线纯滚动。试求滚轮上1、2、3点的速度。解： 1 分析运动 2 速度分析