领略神韵识破玄机--一道高考概率试题的教学运用.pdf

2 O 2 0 1 0 f第1 2N J 甸 干 学 教 学教 学 参 考 2 0 1 0 年高考 数学试 题的教学运用 征 文选登 领 略 神 韵 识 破 玄机 论 教 谈 学 时教 空 学 一 道 高 考 概 率 试 题 的 教 学 运 用 黄 丽 生 山东省 枣庄 市第 三 中学 自 2 0 0 4年开始 的过 渡教 材 中首次 出 现概 率统 计 以来 统 计与 概率题 型就开 始 在新课 程 高考 试卷 以及 其 他高考 试卷 中频频 卅现 并且 一度 取 代其 他数 学模 型 的应用 问题 成 为新 的应 用 问 题 的 代名 词 在 新 课 标 的高考命 题 中 这 部 分 内容 覆 盖 的考 点 一 般 有 统 计 图表 概 率 数字 特征 总体 分布 抽 样 方法等 以统 计 知识 为载 体 概率 知识 为辅 助 的方法 来解 决 实 际 问 题 重 点考查 学生 的数 据 分 析 能力 和统 计 推 断 能 力 这 是近年 来最 能 体 现概 率 与 统计 知识 的应 用 性 和 综 合性特点的题型之一 那 么 在高考复 习中如何通过 教学 设计 充分 挖 掘 与拓 展 高 考 试 题 的 教育 功 能 通 过课 堂教 学 充 分体 现 与展 示 高 考 试 题 的教 育 价 值 就显得 尤 为必要 笔者结 合教 学实 践 以 2 0 1 0年 高考 数学湖 北卷 文科第 1 7题 为例 谈一 己之见 2 0 1 0年 高考数 学湖 北卷 文科 第 1 7题 为 了 了解 一 个 小水 库 中养 殖 的鱼 的有关情 况 从 这个 水 库 中多 个不 同位 置捕捞 出 1 0 0条 鱼 称 得 每 条鱼 的质 量 单 位 k g 并将 所得 数据 分组 画 出频 率分 布直 方 图 如 图所示 5 O k g I 在 下面表 格 中填写相 应 的频率 1 1 估 计 数 据 落 在 1 1 5 1 3 0 中 的 概 率 为 多 少 1 1 1 将 上 面捕 捞 的 1 0 0条 鱼分 别 作 一 记 号 后再 放 回水库 几 天 后 再 从 水 库 的多 处 不 同 位 置 捕 捞 出 1 2 0条鱼 其 中带 有 记 号 的鱼 有 6条 请 根 据 这 一 情 况来 估计 该水库 中鱼的总 条数 分组 频 率 1 1 O O 1 0 5 j 1 0 5 1 0 1 1 0 1 1 5 r1 1 5 1 2 0 r 1 2 0 2 5 厂1 2 5 1 3 0 1 导向预设 引领生成 前 两 问 比较 简单 这 里我 们主要 探讨 第 I I I 问的 解 法 问题 1 能否 从 生 活 常识 的角 度 对 第 问进 行分 析 学 生 将有 标 记的 l 条鱼放 人水 中以后 鱼的 总数并 没有 发生 变 化 经 过 一 段 时 间 这 些鱼 在 水 库 中应该 分 布 均匀 了 学 生 2 按照这 种 观点 第 二次捞 出的 l 2 O条鱼 中 有标 记 的 占总数 的 一5 所 以 水库 中鱼 的总 数 应该 满足 2 7 x 5 一1 O 0 解 得 一2 0 0 0 因而 可以认 为水 库 中的鱼 大约有 2 0 0 0条 教师 非常 好 这 位 同学是 从 比例 的观 点来估 计 鱼 的总数 同学们 还有 别 的想法 吗 学 生 3 假 设 每条 鱼 被 捞 出 的 可能 性 都 相 等 设 水库 巾鱼 的 总数 为 则 一 即 z 2 0 0 0 所 以 水库 中 的鱼大约 有 2 0 0 0条 教师 说得很好 同学们对教材 内容掌握得很到 位 我刚才 巡视 时 听 学生 嘀 咕说 这 两 种估 计 方 法 有 什 么科学 根据 吗 时 教 喹 论 教 谈 学 时空 教 恢 罕 学 将 数 学教 学理 解 为活 动 思维 和 过 程 就 会 冲破 传 统 的 结果 式 教 学范 式 使数 学 教 育 的功 能 得 以全 面发挥 让学 生 感 受 到 知 识 的发 生 过 程 了解 知 识 的 可靠 性 和局 限性 使他 们 认 识 到 数 学 知 识 是 在 实 验 猜想 反驳 修 正 和证 明 中发展 起 来 的 从 而培 养 他 们 勇 于批判 的精 神 和 自我反 省 的意识 2 0 1 0年 第1 2 期 上 旬 中 学 数学教 学 参 考 探 究 教师 对教 学 内容 应 做 出 比较 好 的加 工 和 组 织 要 正确 把握 问题 合 理 组 织探 究 内 容 抓 住 探 究 的关 键点 设 计 出一 些 富 有 挑 战 性 能 激 发起 学 生探 究 兴 趣 且 可 以使 学生 在 探究 之 后能 获得 成 就 感 的数 学 问 题来 组织 探究 学 习 2 循 序渐进 开放探 究 3 问题 2 能 否 从 概 率 的 角度 对 上 面 两 名 学 生 的 答 案进 行理 论 分析 教 师 如果 鱼 的数 目 比 2 0 0 0条少 得 多 情 况会 怎 样 请 用概 率语 言说 话 学 生 4 比如 不 超 过 1 0 0 0条 1 2 0条 鱼 中 有 记 号 的鱼就会 多 于 6条 问题 是如 何 计算 有 记 号 的鱼 超 过 6条 的概率 教 师 这 个 问 题 可 以小 组 讨 论 相 互 交 流 与 合 作 然后小 组代 表 发 言 学生 5 因为若不 超 过 1 0 0 0条 有 记 号 的 鱼 就 会 多 于 即 捕 捉 到 有 记号 的 鱼 的 概 率大 于 南 为 了 便 于计算 则在 1 2 0条 鱼 中有记 号 的鱼 不 超 过 6条 的概 率 不 大 于 一 q 一 j j j 4 j 1 1 1 4 卜 o 0 3 7 学生 6 反 过 来 有 记 号 的鱼 超 过 6条 的 概 率 在 0 9 6 3以 上 教师 太妙 了 你 的想 法 与 1 7世 纪瑞 士 科学 家 雅 各 布 伯努 利 的想 法一 致 按 照二 项 概 率分 布 竟 然 能 算 出具 体结 果 众 生笑 教 师 那 么 鱼 的 总 数 会 不 会 比 2 0 0 0条 多 得 多 呢 学 生 7 也 不 大会 如 果 鱼 的 总 数 多 达 1 0 0 0 0条 就 可 以算 出 1 2 0条鱼 中有 记 号 的 鱼 不 超 过 2条 的 概 率是 c o 卜 c 一 o 8 8 学 生 8 很 可 能 捕 捉 不 到 有 记 号 的 鱼 由 此 看 来 这 种估 计 方法 具有 科 学性 教 师 太 令 人激 动 了 出现 了百 家争 鸣 百 花 齐 放 的局 面 对于 这个 问题 我 们 不 能 浅 尝辄 止 可 以继 续 登高望远 构建模型 问题 3通 过上 面 的解 答 过 程 能 否 构 建一 种概 率模 型 思考 良许 没 有进 展 教 师做启 发 教 师 在上 述 题 目中 所 考 察 的 鱼 的 全体 总 体 个数 都 是 一 个 有 限 数 N 将 被 考 察 的 个 体 通 称 为 球 并 且认 为 都在 一个 袋 中 据 此 同学们 想 到 了 什 么 学 生 9 在 问题 中 总体 分 成 两 类 有 记 号 与 无 记 号 将前 者通 称 为 红球 后者 通 称为 黑球 记 红 球 的个数 为 M 从 总 体 中抽 出若 干个 球 一 个 样 本 样 本 的容 量 为 比如 本 题 一 1 2 0 样 本 中 含 有 红球 的个数 为 比如 本题 一6 学 生 1 O 还需 有 一个 条 件 即 假设 从 总体 中抽 取 任 意一 球 的可 能性 相 等 教 师 归 纳 上 述 分 析 我 们 可 以 得 到一 个 怎样 的 概率 模 型 众 生 超几 何分 布模 型 教 师 请 一 位 同学 描述 一下 这个 模 型 学 生 1 1 设 有 一 袋 袋 中有 N 个 球 其 中有 M 个 红球 N M 个 黑 球 假 设 从 袋 中抽 取任 意 一 球 的 可 能性 相 等 现 从 袋 中任 取 个 球 用 X 表示 取 出 的 个 球 中 的 红 球 数 问 随 机 事 件 X一 的 概 率 是 多 少 其 中 1 2 3 n 教 师 回 顾 一 下 教 材 内 容 如 何 求 解 随 机 事 件 X m 的概 率 学 生1 2 上 述 模 型 的 基 本 事 件 数 为C r I 一 而 m 个 红球 只能 从 M 个 红 球 中取 7 l 一 个 黑球 只 能从 N M 个 黑球 中取 由于 m 个 红 球 的任 意 一种 取 法 都 可 以 和 n m 个 黑 球 的 任 意 一 种 取 法相 配 成 为 个 球 中恰 有 m 个 红 球 的 一 种 取 法 所 以 X一 包 含 的基本 事件 数 为 C C 故 由古 典概 型 的定义 有 P X 一 一1 2 3 N 这一 环 节 的教 学 设 计 已经 具 有 了 一 定 的 波 利 2 2 耋 亚 的解 题风 格 就是 在 特 殊 问题 的 解 答 中 已注 意 到 一 般 的解题 方法 的运用 研究 4 余兴未消 揭示思想 问题 4 请 同学 们 对 式 这 个 概 率 公 式 加 以探 索 和开发 你 能获得 哪些有 价值 的结 论 学 生 1 3 在 鱼儿 问题 中 M I 1 是 已知 的 N 是 未 知 的 所 以 式 中的 P X一 是 N 的函数 学 生 1 4 一 个 直 观 的 想 法 是 N 应 该 使 概 率 P X 达到最 大 学生 1 5 需要 考虑 当 N 增 大时 它 的增 减情 况 教 师 以上 几 位 同学 回答 得 很 好 函数 的 单 调 性 是你们 开 发 出来 的 最 有用 的 产 品 但 目前 尚未 实现 当 N增 大 时 它 的增减 情 况 还 需 同学 们 继 续 努力 下面请 小组 讨论 学生 l 6 作 差运 算量 太大 好像算 不 出来 学 生 1 7 作 商看 看 为便 于讨论 将 P X 记 作 P N M 7 1 1 C嚣 C 二 一 P N M T l m N N M m n N M N C C C N 一 N M Nn M n mN nM N M N 一 一 1 二 翌 N M N 所 以 当 mN n M时 P N 1 M n M 时 P N一 1 M P N M m 因此 当 N M 2 P N M 在 N Mn Mn 一 1处 达 到 最 大 值 当 一 不 为 整 数 时 P N M 在N一 处达到 最大 根据以 L J 上 想 法 我 们 得 到 上 述 问 题 的 结 论 应 该 有 鱼 N 一 一 2 0 0 0条 U 教 师 此题解 法可 谓是 妙方 一波 三折 千 呼万 唤始 出来 由于加 强 了任务分 析 简化 了计 算 过程 但 思维量 很大 可见 发 明创 造就 在 我们 身边 只要 大家 勇于探 索 充 分 发挥 自己的 聪 明才 智 就 会有 更 多 的 惊喜 出现 论 教 谈 学 时教 牢 学 虽然 这个结 论 与 以前按 照 比例 观 点求 m 的相 同 但它是 基 于一种 更 令 人 信 服 的分 析 更 为重 要 的 这 种想 法 是 一 种 具有 广 泛 应 用 的思 想 和 方法 最 大 似然思 想 的一个应 用 本 环节 设计 的 目的 是让 学 生 给 m总 数 N 的 最 大似然估 计 进一 步 暴 露 思 维 过 程 不 仅要 给 成 功 的 范例 还 要展 示 失败 和挫 折 让 学 生 了解 探 索 的艰 辛 和反复 体验 研究 的氛 围和 真谛 5 反思 感悟 完善教学 5 1 揭 示案 例 中的统计 思想 和观念 本题 的讨 论实 际上 涉及统 计学 的 参数估 计 而所 用 的方法 就是 最大 似然法 参 数估计 是 数理 统计 的基 本理 论部 分 是 统 计 学 的 基础 而最 大似 然 法 的思 想 又是 近现 代统计 推 断理 论 中最 重要 而 且 影 响 最 大 的 方法 之一 从 统 计学 的角度 来看 本题 的讨 论 涉及 统计 学 的 抽样 和抽 样分布 问题 抽 球 就 是统 计 中最 简单 的抽 样方式 之 一 即不 放 回抽样 就是 说 抽取 个 球 可 以 设 想是 每一 次抽 一 个 抽 后 不放 回 接 连 抽 次 得 到的样 本 这个 案例 告 诉我 们 最 简 单 的 抽 样不 一 定 是简单 随机 抽样 教 材 从 最 简 单 随 机 抽样 开 始 是 因 为数 学 上便 于更 深 入 地研 究 在 这样 抽 取 的样 本 下 所求 的 超 几 何 分 布 就 是 统 计 学 中求 红 球 数 统 计 量 的抽样分布 统计量的抽样分布是统计学中的一 个基 本 问题 因为求 得某 一统 计量 的精 确抽 样 分布 或 者较 好 的近似 就 可 以进 行 汁算 并 且 实际进 行 该统 计 量 的统计 推断 另外 从超 几何 的应 用 来看 第 一个 应 用是 红球 数 已知 要 通 过 抽 取 观 察 部 分 球 样 本 的情况 来估 计 总数 第 个应用 是 球 的总 数 已知 抽 取 观 察 一部分 球 希望 通过清 点 这一 部分 球 中 的红 球 数来 探讨 全体 中有 多 少 红 球 总 之 就 是 希 望运 用 数 学方 法 通 过 样 本 的数 据 来 判 断 总 体 的 某些 性 质 其 实 这就 是统 计学研 究 的对象 5 2突 出统 计 思维 的特点 和作 用 统 计 思维 与 确 定 性 思维 不 同 但 同时 统 计 思维 又是一种重要的思维方式 它和确定性思维一样成为 人们 不可 缺少 的思 想武 器 统 计课 程 的核 心 目标正 是 使学 生体 会统 计思 维 的特点 和作 用 为此 数 学课 程 标准 以下 简称 标 准 在 必 修 课 程统 计 部 分 内容 要求 中提 能通过 对数 据 的分 析 为合理 的决策 提 供一些 依据 认 识 统计 的作 用 体 会 统计 的思 维 与 确 定 性思 维 的差异 例 如 在运用 样 本估 计总 体 的学 习 巾 应通 过对 具 体 的数 据 的分 析 使 学 生 体 会 到 由于 样本 抽取 具有 随机 性 样 本所 提 供 的信息 在 一定 程度 上反 映 了总 体的 有关 特征 但 与 总 体有 一定 偏 差 另 l l 薮 审 论教 谈 学 时童 匕 恢 学 一 方 面 如果 抽 样 的方 法 比较 合 理 样 本 的 信 息 可 以 比较 好地 反 映总 体 的信息 从 而 为 人们 合 理 地决 策提 供 依 据 如果 实 际问题 允 许把 误 差控 制 在 一 定 的 范 围 内 就 能节 省 大 量 的 财 力 和 人 力 另 外 在 选 修 课 程 中 标准 还 特 别 安 排 了统 计 案 例 内容 并 指 出 统 计 案 例 的教学 中 应鼓 励 学 生 经 历 数 据 处 理 的 过 程 培养 他们 对 数 据 的直 观 感 觉 认 识 统 计 方 法 的 特 点 如统 计推 断 可 能 犯 错 误 估 计 结 果 的 随 机性 体 会 统 计 方法 应用 的 广泛性 应尽 量 给学 生 提 供 一定 的实 践 活 动机 会 并 要 求 学 生 学 习 一 些 常 用 的统 计 方 法 感 受 其 中所渗 透 的统计 思 想 体会 统 计 作 为模 型 的作 用 并 能将 所学 的统计 方 法进 行 简单 的应 用 对 于 所 学 习 的方 法 标 准 都 指 出 了 一 些 运 用 举 例 如 肺 癌 与吸 烟有 关 吗一 一独 立 性 检 验 质 量 控 制 新 药 是 否 有 效一假 设 检 验 昆 虫 分 类 聚 类 分 析 人 的 体 重 与 身高 的关 系一同归 5 3重视 对概 率 模型 的 理解 和应 用 计算 随机 事 件 发 生 的 概 率 是 概 率 学 习 的 一 个 重 要 内容 对 于这 方 面 的学 习 首 要 的是 对 各 种 概 率 模 型的 理解 和 应 用 而 不 是 把 精 力 主 要 放 在 套 用 公 式 2 O1 o 第 1 2 期 上 甸 2 3 哮 数 嗨教 学拳 竞 一 j 上 应 注重 使 学生 经 历从 多个 实 例 中概 括 出具体 概 率 模 型 的过 程 体会 这 些 例 题 中 的共 同特 点 注 重 理 解 各 种概 率模 型 的特点 并 且在 实 际 问题 中培 养学 生 识 别 模 型 的能力 比如 对 于超几 何 分 布模 型 应 让 学 生 通 过实 例理 解 超几 何 分布 的特 征 让 学 生初 步学 会 把 实 际 问题转 化 为超 几 何分 布模 型 而不 应把 重 点 放 在 如何计 数 上 再 比如 数 学 3 中 标 准 在 古 典 概 型 的学 习之 前 没 有安 排排 列 组 合 的 内容 这 也 表 明 了排列 组 合并 不 是 学 习 古 典 概 型 的 基 础 也并 不 一 定 能促 进学 生 对 随 机 现 象 的理 解 因此 在 教学 中应 注 重在 理解 概 率模 型及 其应 用 的基 础上 学 习和 掌握 概 率 的各种 计 算方 法 总 之 统 计 与 概 率 的学 习 的 主 要 目的 是 使 学 生 体 会 统 计 与 概 率 的 基 本 思 想 在 教 学 中 应 提 供 现 实 的 问题 情 境 重 视 问 题 的 背 景 及 统 计 与 概 率 在 日常 生 活 中 和科 学 领 域 中 的应 用 使 学 生 真 实 地参 与 使 他 们在 面对 要 解 决 的问 题 时 能 够 主 动 地设 计 方 案 收 集 数据 制 定 决 策 能 够 为 维 护 自己 的观 点 而 寻 求 论 据 与 他 人 进 行 讨 论 交 流 这 些 都 将 使 他 们 终 身 受 益 0 嚣 感 褴 畅 绚 圃 港 瓣 骘 连 焦蛙巷 屯 芸 秽 鬟 鹱 勰 羧 窑 静 熊 年 鼹 钉 艨 巾 学 教 学 l鞣 掌 饕 杂