若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析.doc

若干具有非线性传染力的传染病模型的稳定性分析 基金项目：浙江大学科技发展基金（107000-544301）陈军杰（浙江大学 数学系，浙江 杭州 310029）摘 要：讨论了具有常数迁入和非线性传染力的三类传染病模型，即SIRI模型，SIRI框架下的DS模型及SIR框架下的DI模型。给出了它们基本再生数的表达式，证明了时无病平衡点是全局稳定的，同时证明了如果地方病平衡点存在，则必是全局稳定的结果（从而必唯一）。对第一和第三个模型还给出了时地方病平衡点的存在唯一性。关键词：传染病模型；非线性传染力；Liapunov函数；全局稳定性中图分类号：O175.1 MR分类号：92D30；34D23 文献标识码：A0 引 言 大多数传染病模型都假定易感类是同质人群或染病类是同类人群，因而常常忽视易感类的不同易感性或染病类的不同传染率1-2. 1,3讨论了具有标准传染率的SIR框架下的DS（differential susceptibility）模型和DI（differential infectivity）模型，4讨论了具有双线性传染率的SIR框架下的DI模型. 本文则讨论具有非线性传染力的SIRI模型，SIRI框架下的DS模型和SIR框架下的DI模型，这里的第一及第三个模型可分别视为5及4相应模型的拓展，具有非线性传染力的传染病模型的研究意义及近期文献可看5-8. 1 SIRI模型及定性分析把人群分成三类，即易感类，染病类，恢复类（或潜病类），他们的人数分别记为和（均为时间t的函数），于是，总人口为. 5在总人口不变的前提下建立和分析了具有非线性传染力的SIRI模型，如果我们让总人口变化，则可得如下模型： (1.1)这里表示易感类的常迁入率，为每一类个体的自然死亡率，和分别表示染病类和恢复类的病死率，为染病类转化为恢复率的转化率，为恢复类的免疫失去率，参数e假设为非负常数，其余诸参数假设都为正常数，表示一个染病者所具有的非线性传染力，且满足以下的条件（H）（参见5,6）: (H1) 当时，(H2) 当.一些常用的的特殊形式是（可看5,8,9）: 应当提及的是，这里的以线性传染力作为其特殊情形（此时相应的传染率即为双线性传染率）. 由系统（1.1）易得有关的方程：.上述有关的微分方程暗示中的系统（1.1）的所有解将趋近或进入或停留在的子集中：.这样只需考虑在集合中的解. 不难证明在内非负初值将导致非负解，且解存在的最大区间为（可参10, 11）. 因此系统（1.1）初值问题的解从数学和流行病学两方面来说都是有意义的. 显然，系统（1.1）总有无病平衡点，地方病平衡点的存在唯一性由阈值确定：引理1.1 如果, 则系统（1.1）在中存在唯一的地方病平衡点. 证 令系统（1.1）的右边为零，得到地方病平衡点应满足的方程组：因为 故有. 作辅助函数则当时，, 又, 于是由在内的连续性及严格递增性可知存在唯一的, 使得又. 故系统（1.1）在中存在唯一的地方病平衡点.以下给出本节的主要结果：定理1.2 如果, 则系统（1.1）的无病平衡点在D1中是全局稳定的；如果，则是不稳定的，唯一的地方病平衡点在中是全局稳定的. 证 作Liapunov函数 则.当时, 注意到的严格递增性可得，从而由Laselle不变原理12 知是全局稳定的；当时，注意到的连续性，易见在中的点的充分领域内，非空，因而点是不稳定的. 下证时地方病平衡点的全局稳定性. 注意到系统（1.1）等价于 作Liapunov函数, 由计算可得： 由于在内严格递增，又，故是内的正定函数，是负定函数并且的充要条件为且. 又使得的最大正不变子集为, 于是由Laselle不变原理知在中是全局稳定的. 2 SIRI框架下的DS模型及定性分析在上一节的SIRI模型中，如果把易感类按易感性的不同再细分为类, 则可得相应的DS模型： （2.1）这里表示第类易感类的常迁入率，并记，表示与第类易感类接触的每一个染病者所具有的非线性传染力，且也满足条件（H）.由系统（2.1）易得有关N的方程：容易证明是系统（2.1）的正不变集. 显然，系统（2.1）总有无病平衡点记.2.1 无病平衡点的全局稳定性和不稳定性定理2.1 当时，无病平衡点在中是全局稳定的；当，点是不稳定的. 证 注意到系统（2.1）等价于作Liapunov函数经计算可得：由条件（H）知在内严格递增，又，故是上的正定函数，而是负定函数且的充要条件为且，又使得的最大正不变子集为点，于是由Laselle不变原理知点在中是全局稳定的. 当时，易见在中点的充分小领域内，非空，从而点是不稳定的. 2.2 地方病平衡点的存在性和全局稳定性由上一小节可知为时，无病平衡点在中是全局稳定的，从而此时点是中唯一的平衡点，下在的前提下讨论地方病平衡点的存在性与稳定性，我们首先将给出系统（2.1）存在地方病平衡点的一个引理，然后给出如果地方病平衡点存在，则必是全局稳定的一个定理，最后将两者结合得到一个推论. 引理2.2 在的前提下，如果存在对 由方程可确定唯一的连续可微的隐函数， 且则系统(2.1)在中存在地方病平衡点. 特别地，当时，系统（2.1）在中必存在地方病平衡点. 证 令系统（2.1）的右边为零，得到地方病平衡点应满足的方程组:由最后二个方程消去,并注意到可得: (2.2)由第一个方程可知, 消去可得: (2.3)由引理2.2的条件可知，由方程可确定唯一的连续可微的隐函数，且再利用（2.3）式可知： (2.4)把（2.4）式代入（2.2）式可得：作辅助函数 则当时，又利用可知，于是利用的连续性可知，存在 使得，再利用（2.4）式可得对任意的，又，从而此时系统（2.1）的地方病平衡点存在. 再证本引理的后半部分，只需证当时引理2.2前半部分的条件成立. 记， 由相应的方程容易解出，且， 又因是上的严格递增函数，故引理获证. 定理2.3 若系统（2.1）存在地方病平衡点，则点在中是全局稳定的. 证 首先注意到系统（2.1）等价于作Liapunov函数 ,直接计算可得: ,由类似于定理1.2后半部分的证明可知中是全局稳定的. 利用引理2.2及定理2.3，立即可得如下的推论：推论2.4 在引理2.2的条件下，系统（2.1）的地方病平衡点在中是全局稳定的（从而地方病平衡点必唯一）. 特别地，对线性传染力的情形即，当时系统（2.1）的地方病平衡点在中是全局稳定的. 注：用类似的方法可以研究相应的SI或SIR框架的DS模型，其结果也是类似的3 SIR框架下的DI模型及定性分析有些SIR框架的模型，其染病类（或感染类）不是同质的（如艾滋病，疟疾，登革热等3，4），此时需要把染病类再细分为类，下以艾滋病的DI模型为例分析之，其它这样类型的模型可类似分析. 参照3的相应模型，可建立起具有非线性传染力的如下新模型： （3.1a） （3.1b） （3.1c）这里，的含义同第一节的模型，表示第类感染类的人数，表示新产生的感染者属于第类感染类的可能性表示第类感染者转化为艾滋病人的转化率，表示艾滋病人的死亡率, 表示单位时间内接触配对的平均数（可参10,13）， 表示一个第类的感染者所具有的非线性传染力，也满足条件（H）. 由于艾滋病人的性活动不再积极，因而可忽视方程（3.1c），以下我们只对系统（3.1a） (3.1b)进行分析. 记，由（3.1a）与（3.1b）易得容易证明是系统（3.1）的正不变集.显然，系统（3.1a）（3.1b）总有无病平衡点，地方病平衡点的存在唯一性由阈值确定:3.1 无病平衡点的全局稳定性定理3.1 当时，系统（3.1a）（3.1b）的无病平衡点在中是全局稳定的；当时，点是不稳定的. 证 作Liapunov函数,经计算可得:以下的过程可参考定理1.2的证明,这里从略. 3.2 地方病平衡点的存在唯一性和局部稳定性定理3.2 (i)如果, 则系统（3.1a）（3.1b）在中存在唯一的地方病平衡点，(ii) 在（i）的条件下，点是局部渐近稳定的. 定理3.2(i)的证明 令系统（3.1a）（3.1b）的右边为零，可得地方病平衡点应满足的方程组: (3.2) (3.3)由（3.2）与（3.3）易得 （3.4）利用（3.3）及定理3.1证明过程中用到的L函数，容易得到 (3.5)记，则当时，由类似于引理1.1的证明方法可得存在唯一的，使得，再结合（3.4）即得系统（3.1a）（3.1b）在中存在唯一的地方病平衡点. 定理3.2(ii)的证明 记在唯一的地方病平衡点处，系统（3.1a）（3.1b）右边的Jacobian矩阵为 作辅助矩阵M：直接计算可得：记，则矩阵J的所有特征根均有负实部等价于矩阵E的所有特征根均有负实部。设为矩阵E的特征根，并设相应的特征向量为，则，于是有 （3.6） （3.7） 由（3.7）可知 代入（3.6）式即得： （3.8）记则由(3.8)式可得比较上式的实虚部可得: （3.9a） （3.9b）为完成证明，我们先证以下二个引理. 引理A 矩阵不存在非负实特征根证 首先注意到矩阵有正的实特征根当且仅当方程（3.9a）当时有一个正根. 定义利用（3.5）式可得：又当时，有，于是在内严格递增，又，因此当时， ，因此矩阵不可能有非负实特征根. 引理B 矩阵中具有非负实部的特征根皆为实根. 证 假设且，利用（3.5）式易得：再结合（3.9b）即得，这与假设矛盾，因此引理A成立. 综合引理A和B，可得E的所有特征根从而J的所有特征根均有负实部，这样就得到系统（3.1a）（3.1b）的唯一地方病平衡点是局部渐近稳定的. 3.3 地方病平衡点的全局稳定性在上一节我们证明了时系统（3.1a）（3.1b）存在唯一的地方病平衡点且是局部渐近稳定的，这一小节中我们将给出当时这个地方病平衡点也是全局稳定的结果. 定理3.3 如果，则系统（3.1a）（3.1b）的地方病平衡点在中是全局稳定的. 证 由（3.5）和（3.4）式可得： （3.10） （3.11）利用（3.10）和（3.11），可知方程（3.1b）等价于： 定义 由计算得： （3.12）其中 （3.13）利用（3.11）式计算可得： （3.14） 又方程（3.1a）等价于定义 ,由计算易得: , （3.15）作Liapunov函数 则由（3.12）（3.15）式并结合计算得到： ，由条件（H）可知在内严格递增且非负，从而是中的正定函数，是负定函数并且的充要条件为且, 又使得的最大正不变子集为, 从而由Laselle不变原理知在中是全局稳定的. 参 考 文 献1 Moghadas S M. Two core group models for sexual transmission of disease J. Ecological Modelling, 2002 , 148 (1) : 15-26.2 尚莉. 易感性不同的病毒携带者流行病在开放系统的随机模型 J. 兰州大学学报，2001 , 37 (1) : 19-22. 3 Hyman J M, Li J. An intuitive formulation for the reproductive number for the spread of diseases in heterogeneous populations J. Math Biosci , 2000 , 167 (1) : 65-86.4 Ma Z, Liu J P, Li J. Stability analysis for differential infectivity epidemic models J. Nonlinear Analysis : Real World Applications , 2003 , 4 (5) : 841-856.5 Moreira H N, Wang Y. Global stability in an SIRI model J. SIAM Rev , 1997 , 39 (3) : 496 5026 陈兰荪，陈键. 非线性生物动力系统 M. 北京：科学出版社，1993，111-162. 7 Yuan S L, Ma Z, Jin Z. Persistence and periodic solution on a nonautonomous SIS model with delays J. Acta Mathematicae Applicatae Sinica , English series , 2003 , 19 (1) : 167-176. 8 Zhang X, Chen L S. The periodic solution of a class of epidemic models J. Computers and Mathematics with applications, 1999 , 38 (3-4) : 61-71.9 Anderson R M, May R M. Infectious diseases of humans: dynamics and control M. Oxford: Oxford University Press, 1991. 10 陈军杰，张南松. 具有常恢复率的艾滋病梯度传染模型 J. 应用数学学报，2002 , 25 (3) : 538-546.11 陈军杰. 一类具有常数迁入且总人口在变化的SIRI传染病模型的稳定性 J. 生物数学学报，将发表在2004年第3期. 12 廖晓昕. 稳定性的理论，方法和应用 M. 武汉：华中理工大学出版社，1999 , 83-87. 13 Moghadas S M, Gumel A B. Global stability of a two-stage epidemic model with generalized non-linear incidence J. Mathematics and computers in simulation , 2002 , 60 (1-2) : 107-118. Stability Analysis for some Epidemic Modes with Nonlinear Infectious ForceCHEN Jun-ji