用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型_张士玉.pdf

1996 年 12 月 第 l卷第 4 期总26期 北巧叮联合大学 学报 J ur l al f 13 j rlg U 1 0 1 IT 11 r It I e c 1996 V l l N 45 日n 1 N 26 用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型 张士玉 比京联 含人 并电 子 自动化工程学院 北京 1 0101 摘要 利 用统计学中的 I J o g is l i c 数理模型 经过适当改造后可 以建立起主要 钢种 的淬透性曲线的数学模型 并且具有较高的拟合性 误 差较小 结 合此种方 法 通过少 量的实测点就可以作出 一般钢种 的淬透性曲线 此种方法在实践上对于机械 零件热处 理的自动化 在理论 上对探索钢的物理冶金机理 可能具有较大 的意义 关键词 数理统计 淬 透性 模 型 分类号 02 12 T F 7 0 1 2 以往利 用末端淬火 法测 定钢的淬透性曲线时 需要许多试样 在 测 量 了大量数据 后方 可找出 规律 如果有一种数学模型 能够配合少量的测量数据 较快地确 定钢的淬透性曲线 将节 省许 多工作量 在利用淬透性曲线进 行材料选 择 确 定零件临界尺寸及内部 硬度等实 际 工作时 如果 有数 学 公式可供利用 将使工作较为方便 并较 易实现工作的规范化和自动化 淬透性曲线的表 现 形 式较为复杂 有人作过钢的回火硬度曲线模型 但没 发现有 文献记载过淬透性曲线的数 学 模 型 笔者认 为有必要建立淬透性曲线的数学模型 故 进行了此项 研 究 荷 兰 生物 学 家 Ve rh u s t l为研 究人口发展过程 于 1 8 37 年提 出了L og i s tc i 数 理 模 型 的 思 想 本 文将此 建模思想 引入对上 述问题 的研 究 效果较好 1L o gis tie 模型 设自变量为 z 因变量为 y 夕 随 二 的增 加 而 增 加 y 的极限值记为 a 称为饱和 量 假定 夕 随 二 的增长率等于 k 1一 贝 二 即增长率随贝 二 的增 加而减少 当 a 时 增 长率趋向 于零 此时 y 达到饱和值 不 防先假设贝 二 连续 可微 则在 z 到 z 十 z 内 贝 z的增 长 量为 y z十 二 一y 二 k l 一y 二 a y 二 z 于 是 夕 动 满足微 分方程 d夕 d z k 1一夕 二 a y 二 1 方程 1 是 Be r n ou l l i方 程 可得通解 a y二 1 o K 1 卞户U 月 0 2 式 2 即为Lo gs i t iC 模型 式 l是 式 2 的 一 阶导 数 式 2 的二 阶导 数为d 夕 d二 K Zy 收稿日期 19 96一06一2 4 北京联合大学学报 91 96年 1 2 月 图 ly 随自变里 而变化的曲线 d y d z a 2 图 2dy d 随 y 而变化的 曲线 l 一 Z y 1 一y 令d Z y d z 0 则 1一Zy 0 y 2 当 y二 a 2时曲线有拐点 显然 当 z o c时 y a 即 y a 为曲线 2 的水平渐近线 根据指 数的性质 可以定性地 判 定曲线的形状 在 开始 时 即 当 z 值较小时 y 的变化率较 小 以后 加大 在达到 a 2 处 出现 拐 点 在接近 a 处又变小 通过分析和计算 可描述出 y 一 t 和dyd 二一y 的曲线 见图 1 和 图 2 o 在研究淬透性 曲线时 把 自变量 二 视为距水冷端距离 记 为 二 把硬度 HRC 作为因变量 y 记为 H 由于 H是 随 二 的 增 加而下降 所以不 可 直接应 用式 2 而 要 稍 有变化 现把 某钢种 的最高 硬度记 为H n二x 最低 硬度记为H 二 n 建立公式 H Hn a l H m 一 1 十 床 K勺 令 当 二 o c时 H一H m 解 出 a Hn a l x 得公 式 H 月 nla H m 一 H m a x l 月 e 一 K 3 令 二 0 时 H Hm a x 得 召 H ma x H m l n 一 1 由数 学 原理 可 知 公式 3 的负增量 一 dH dx及负的二阶导数 一 d H d二 2 与 公式 2 的一阶及二阶导数是相同的 因此其曲线的数学性质 也是相同的 曲线在H H m a H Z n l n 2 处有拐点 硬度 曲 线H从H m a x 降到 H Z n a 十 Hn l l n 2 下降速度由零增 加 到 最快 在 Hm a H m l n 2处下降速度 由增 加变为 减少 在接近H m n 时 下降速 度趋零 曲线形态见图3 图3的H 二 曲线形 状与实 际的淬透性曲线及其它 一 些 曲线在 形状上 特征 上是 很 吻合的 曲线的特征完 全 可以用金 属学的有关理论解释 在形状特点 上也与金属转变时的形核率 曲线 转变的动力学曲线及 一 些扩散系数 曲线相似或相同 由此可 以说明 利用L og ls t i C 模型作为淬透性曲线或其它 一些金属学 问题 的数学模型 是 有充分理由 的 2 淬透性曲线模型的建立 笔者曾不 止一次见过有文 献记载的有关用直线或二次曲线的回归方法建立钢的回火曲线方 程 但一般都是分段建立方程 不 同的钢种形式 不 同 在理论上 和 实 践上都有其较大局限 所以 最初 也是试图 用公式 3 建立回火方 程 下面是以4 5号钢为例所作的工作 4 5钢的H m a x 确定 为 58 H o n 以退火 硬度为参考确定为 16 月 58 1 6 一 1 2 6 25 由 3 式得4 5钢的回火方程 形式 为 H 74 一 58 一 2 62 5e 一K 表 1为根据 4 5 号钢的实测回火硬度计算的 K 值 由表 1 可明 显看出 K 值不是常数 随温度 t 第10卷第 4 期 张卜五 用数理统计方法建亿钢的淬透性 曲线模型 增 加 而增 加 所以不妨 先 对K值与 t 作直 线回归分析 设 K a 方z 求出 K 8 95 又 10 一 4 1 01 x 10 一 st 考虑到实 用 场合 t 1 0 0 所以近 似 认为 K 二1 0 1 X 1 0 一 st 由此将方 程写 为 H 二74一 58 l 2 62 5 e 一 K 一 表 1 中列 出 了 由此 二次方程计算的 一 系列 K l 值 可以看出 K l 仍 然与 t 有关 但相关程度大为降低 作 为一种处理方法 取K 的平均值 瓦 二 7 5 0 x 1 0 一 作 为常数代入方程 以下 面这个方程计算4 5号钢回火的硬 度值介 绪 沈 侧 恻 翡 卜 一 至水冷端距离 二 m m 介 7 4一 58 1 2 625e 一 75x o 表 1 不同回火温度下 的实测值与K值 温度 硬度H K x 10 一3 K X 10 1U C J 4 1工 工J 且 n n 56 53 5l 48 0 92 5 1 66 1 95 45 38 37 68 7 396 7 447 34 3 0 47 67 8 261 7 654 图 3 由公式 3 作出的淬透性曲线示意图 表 2 为实 测值H与计算值育的对照 从表 2 中看出 除 620 的一点外 其余 各 点拟合程度很好 而62 0 一 点 的误差 除 了公式本 身的误差外 受测 量 误 差 影响极 大 已知 当H 二 拐 4 尹 夕 声 公 式 4 以拐 点为分界点 拐 点以上部分的曲线随 二2 而变化 拐 点以下部分的曲线随 二 而变化 以下 会验证 这样作与实际是 相 符合的 公式 4 中 H m a x 为淬火后 所 能达到的最大平均硬 度 即 当 二 0时的H 值 H n l l n 为距 水冷端最远处 即 二 为最大时的平均 硬度 H为硬度HR C值 二 为距水冷端距离 单位 m m 夕 H m二 H n二 一 l x拐 为在 拐点处 即当H H m a 十 H m ln 2 时 的 二 值 K 二 一 n 月 2 二毅 K In 月 2 二拐 二拐 K l 利用公式 4 只要做少量 的 实测 点 就可绘 出某钢种的淬透性曲线 首先在试样两端测 出 H ma x 和H二 n 然 后关键的一 步是找 出拐 点 位置 即 硬 度 为 H m a 十 Hm l n 2 处的位置 二 拐 由于 钢材的不均 匀性 常常要取平均值 在 作 图 中 发现 取平均 硬 度 为 H m a H m l n 2 处 的位置作 为 二拐 一般较为准 确 而 不是硬度定 为 H 十 Hn l l n 2 的平均 距离作为 二拐 确 定 了拐点位置 后 就可求出K l 与 K 值 然 后代入 公式 计算出任意 点处的硬 度值 现以6 0 S i Z M n 钢为例说明 先测 得试 样 的Hm a 二 6 2 Hm l 二 犯 月 62 32 一1 0 9 4 拐点 位置为 1 3 m m 此处 硬度为4 7 由此得到6 0 S i ZMn 钢的淬透性曲线的数学模型 为 62 1 0 94 e 一 0 638沈 62 1 0 94 e 83 王 x 镇 13 二 13 l 廿 几 一 4 Q 一一H 按此公式计算出的各点硬度值列成表 4 表 4 由公式计算的6 0 s i ZMn 钢淬透性试样各点的硬度值 x m m 11131415171820 212427 30 3 6 H 6 1 661 258 554 35O 84 7 046 145 243 642 84l 440 83 9 037 63 6 5 34 8 将表 1的计算值与实测淬透性曲线对比 见图 12 可以看出拟 合性极 好 部分点误差极小 或 重合 最大的误差小于5 3 对淬透性曲线模型的进一步验证 按照前述方法 利用 公式 4 对几十种钢种建立淬透性曲线模型 与手册中的实 测 曲线相对 第 01卷第 4 期张 月 川数理统 计方法建立钢的淬透性 曲线模型 照 一般都相当 吻合或误差 很小 小干5 有时有 一点误差 笔者认 为与H m ln 的确 定有 关 由 于H o n 缺少实验 数据 只能 用手 册中的 实测曲线的最低平均硬度再适 当 下降一点或用该钢的正 火硬 度代替 经验证明 这 样做 虽然大体正确 但 仍有一 定误差 由于文章篇幅所限 此处只列 出 1 1 种在 成分上 和曲线形状上 较有代表性的钢种 表 5 为这n种钢淬透性曲线模型 的参数 图 4 至图巧绘 出了计算点与实 测 曲线的对照 图中圆点为计算点 实线曲线为 机械工程手册 第 3 卷 中的淬透性曲线经 描拓 而成 表 5 1 1 种 钢淬透性曲线模型的参数 钢种 月 飞 a x 月值 拐点位置 H 拐 x拐 门拐 x拐 m m 0 0 U n砚 4 内jOn 且 l勺 一 3 5 45 20C r 20C rMnT i 4OC r 50C rV A 5 5SIM n M o VNb 65M n C C r15 12G几N 14A 40C rN IM o 2 3 30 1 7 10 2 00 0 1 88 0 2 22 0 0 940 0 910 1 00 0 1 60 0 0 330 0 304 32 5 39 0 3 0 0 31 0 38 0 4 7 0 48 0 4 7 0 45 0 3 5 0 5 3 0 10 5 1 l 2 1 22 0 0 0916 0 0 0 64 70 0 0 328 0 0 00 6 9 2 0 0 10 0 0 0 00 204 0 0013 0 0 00 996 0 0106 0 0 001 9 2 0 00172 0 36 6 0 0 291 0 0 213 0 0 0 9 6 8 0 1200 0 0469 0 0 37 1 0 10 5 0 0 1160 0 0403 0 0 379 l I 6Q八伪 O L曰 主 一11t l 1 内 J 4rJ t U n7 苦 盯J UO八 12 一 曰 0 0 4 斗 亡 了 66 洲 U 乙 门 4 了0 4 关于公式 4 的进一步探讨 在 利 用公式 4 对钢 的 淬透性 曲线建立 了数学模型后 有必要 对这一 问题作进一步的探讨和 研究 扩展更广 阔更实 用的用途 并在理论 上揭示 更深 层次的问题 笔者认为有如下三方面的工 作值得 探讨 山 一去 0 6 121824303 6 土 翘屡 03 之 侧豁 2 00 l 303 6 至水冷端距离 m m 图 435 钢的淬透性曲线 至水冷端距离 x mm 图 545 钢的淬透性曲线 2 6 北京联合大学学报1996 年 12 月 沈 侧写 605 004032 0 沈侧 圈 60 1 2 1 82 4 6033 至水冷端距离 二 m m 至水冷端距离 x mm 图6 C04 r 钢淬透性曲线 图 74C0 r IN M o 钢淬透性曲线 65 0 004032 0 丈侧图 65 0 0040 2 03 翔 侧 写 0612 1 82 4 3036 601218 2 46033 至水冷端距离 x mm 图 82 0 C r 钢淬透性曲线 至水冷端距离 x mm 图 9OZc Mr n Ti 钢淬透性曲线 f 日 65 0 0 4 勺 j 七侧黔 沈 侧豁 川 匕 二 一L 一一 J 沁 一占 J卜 we一 6012182403 3 6 至水 冷端距离 二 mm 图0121 c介N 弘 A 钢淬透性曲线 至水 令端距离 r m m 图1 1 M n 钢淬透性曲线 第 01卷第 4 期张士 玉 用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型 50 卜 nU 4 沈翘 叫 瞬 沈 侧 粤 占 一一 目 60121 8 246033 J 占 一月 一山 一 一 一 一一一一 一J 一 一 6 1218 24303 6 至水冷端距离 二 mm 图 126051 M n 钢淬透性曲线 至水冷端距离 汀m m 图1 3 SOC rv A 钢淬透性曲线 沈 侧罄 七 侧圈 061218243 036 至水冷端距 离 r m m 至水冷端距离 二 mm 图 1 455 s iM nMov N b 钢淬透性曲线图 1 5 G cr 15 钢淬透性曲线 1 将所有必要的钢种建立淬透性曲线数学模型 其中有关参数经大量验证后确定下来 以 保证模型的准 确性 然 后结 合 确 定淬透层深度的线解图 5 1 编制出一套计算机软件 以此方 法可力求作到 当已知一个某钢种某形状某尺寸的实际 机械零件 在采用某种淬火方式后 求出 该零件的淬透层深度并绘出零件内部各深度的硬度曲线 这一工作具有 较大的实际 意义 对机 械零件金属材料的选择 力学性能 潜力的发挥 技术指 标 的制定以及产品质量的提高均有 帮助 也是建立热处 理 柔性系统 FCM 的前期工作之 一 2 利 用公式 4 可否对其它热 处理曲线或其它物 理 冶金方面 的曲线建立数学模型 笔者 在 尝试了对一些钢种的回火硬度曲线建 立数 学模型后 发 现 对 于某种钢 如4 5钢很有效 而对于 某些钢则效果不好 这是由于回火转变又有更多的复杂原因和情况所致 笔者又观察到 本文模 型与金属转变 中的形核率及 晶体生 长速度曲线极为相似 由此看来 可以尝试利 用本文所述原 理对其它有关物理 冶金中的曲线建立数学模型 3 利用公式 4 建立淬透性曲线模型 虽 然大大减少了实验数据量 但并未完全离开实验数 据 可否作到 当已知某成分钢种后 不经 实验 完全靠计算求出淬透性曲线 公式 4 中的H ma x 北京联合大学学报 9 91 6 年 12 月 H m川两 参数 有的学者认为 可能根据钢的碳 当量 确 定 那么 K l 与 K 呢 是否与原子 量 原子 价健 及结合力有关 如 果此问题得以解决 将是物理冶金 学的 一 个重大突破 令干常吞 J 二目卜乙 本文所述 主要说明 了三点问题 1 利 用公式 4 可以较准确地对各类主要钢种建立起淬透 性曲线的数学模型 与实测曲线相比 符合程度较好 误差 一般不超 过 5 2 利用本文原理 在测 定一个新钢种的淬透性曲线时 可以配合数学模型 大大减少工作量 缩短工作时间 减少物 资的投入 3 利 用本文提出的方法 可以建立一套软件系统用于 生 产和科研 实践 从而作到对 常用钢种的机械零件 较方便地计算出其淬透层深度和 内部硬度分布 致谢 感谢北京科 技大学孙 祖庆教授 对本文的指 导 参考文献 集体编写 机械工程手册 第3卷 北京 机械工业出版社 198 2 9 集体编写 社会经济统计学原理教科书 北京 中国统计出版社 198 0 49 0 何 文章 张 宪彬 利用 Lo g s i t c i 模型预测耐用消费品社会拥有量 数理统计与管理 1 99 4 1 2 1 一 2 3 刘国勋 金属学 原理 北 京 冶金工业出版社 198 0 23 2