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利用相似多边形的对应元素构造三角形相似 武汉市第三寄宿中学 蔡剑雄近几年全国各省市中考出现了开放探究类热门试题，这也是符合新课改的精神，即应加强对学生探索学习过程与方法的考察，突出在图像变化过程中的观察、归纳与证明，涉及全等形、相似形等几何知识的综合应用，本文就此作一些探讨。例1： 点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC、EC=ED、BAC=CED, 直线AE、BD交于点F（1）如图1，若BAC=，则AFB= (用含的式子表示)（2）将图1中的ABC绕C旋转（点F不与A、B重合）得图2或图3，在图2中，AFB与的数量关系是 ，在图2中，AFB与的数量关系是 图1 图2 图3 解：（1）图1、图2中，AFB=90-，证明如下：AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACE CBD=CAE AFB=ACB=90-(2) 图3中，AFB=90+，证明如下：AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACE BDC=AEC AFD=ECD=90-AFB=180-AFD=90+本题从两个相似的等腰三角形ABC、EDC出发，可得BCDACE。其中BCD的BC、CD边分别为ABC、EDC的对应底边，而ACE的AC、CE边则分别为ABC、EDC的腰，由原来两个相似三角形的对应边的特征去发现两个新的相似三角形，问题即可解决。还可作如下探究：例2：A、C、E三点在同一直线上，点B、D在直线CE同侧，且AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，M、N分别为BC、DE中点，直线MN、CD交于点F（1）图4中，若BAC=，则DFM= (用含的式子表示)（2）将图4中的DAE绕A旋转得图5或图6，图5中DFM与的数量关系是 图6中DFM与的数量关系是 图4 图5 图6解：（1）图4、图5中，DFM=180-，证明如下：连结AM、AN AB=AC、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB=NAD=NAE AMCAND 又CAD=CAM+MAD MAN=NAD+MAD CAD= MAN CAD MAN ACD=AMN CFM=CAM= DFM=180- CFM=180-（2）图6中，DFM=，证明如下：连结AM、AN AB=AC、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB=NAD=NAE AMCAND 又CAD=NAD-CAN MAN=MAC-CAN CAD= MAN CAD MAN ACD=AMN DFM=CAM=本题由两个相似的等腰三角形ABC、DAE出发，由对应高之比等于相似比， 得AMCAND，其中AM、AN分别为ABC、DAE的对应高，而AC、AD为原三角形的腰构造了两个新的三角形相似，问题即可解决。类似的还可如此探讨：例3：将正方形ABCD、正方形BEFG如图7摆放，则= ，DMC= 将图7中的正方形BEFG绕B点旋转得图8位置，则= ，DMC= 图7 图8解：（1）图7中，=， DMC=45证明如下：连结BD、BF 得BD= BC BF= BG 又DBF=CBG=90 DBFCBG BDF=BCG DMC=DBC=45（2）图8中，=， DMC=45证明如下：连结BD、BF得BD= BC BF= BG ，又DBF=GBF+DBG=45+DBGCBG=CBD+DBG=45+DBG DBFCBG BDF=BCG BDF=BCG DMC=DBC=45本题由两个正方形的对角线之比等于边长之比，构造了DBFCBG，其中DBF的两边由两个正方形的对角线BD、BF构成，而CBG由两个正方形的边长构成，找到了这样有特点的DBF、CBG，离解决问题就已经不远了。例4：如图9，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,B与D重合，M、N、P分别是CE、AB、DF中点，则MN与MP的数量关系为 ，如图10，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,C与D重合，M、N、P分别是AF、BC、DE中点，则MN与MP的数量关系为 ，图9 图10解：（1）图9中，MN=MP 证明如下：分别取BC、BE的中点H、G , 连结HM、HN、GM、GP HN=AC MG=BC HM=DE PG=EF HN= MG HM= PG又可证得MHN=PGM MHNPGM MN=MP（2）图10中，MN=MP 证明如下：分别取AC、DF的中点H、G , 连结HM、HN、GM、GP HN=AB MG=AC HM=DF PG=EF HN= MG HM= PG又可证得MHN=PGM MHNPGM MN=MP本题中，借助两个相似的ABC、DFE的中位线HM、HN、GM、GP来构造三角形全等或相似。在以上几例当中，都可由原相似三角形的或正方形的基础上，去构造新的全等或相似，因在证明的过程中涉及到的全等或相似往往有两次，学生不易掌握。但如果能归纳总结其内在规律性的方法，即依据原相似多边形的对应元素去构造三角形全等或相似，而这个对应元素可以是两个相似的等腰三角形的底边，如例1；可以是两个相似的三角形的对应边上的高，如例2; 可以是两个正方