基于拟蒙特卡洛方法的三维公差综合仿真.doc

基于拟蒙特卡洛方法的三维公差综合仿真摘 要：针对计算机辅助三维公差综合中蒙特卡洛仿真计算收敛速度慢以及结果不稳定的不足，提出基于拟蒙特卡洛的三维公差综合仿真方法。首先，在基于旋量参数和旋量矩阵的三维公差表示方法的基础上，利用机器人学中刚体坐标变换的相关知识建立三维公差综合仿真等式。其次，给出拟蒙特卡洛方法中采用Halton序列产生正态分布随机数的方法以及基于蒙特卡洛的三维公差综合仿真流程。最后，将本文所阐述的方法应用于齿轮泵装配实例，结果表明，拟蒙特卡洛方法收敛速度快，获得的结果稳定、可靠，可以简单高效地应用于计算机辅助三维公差综合的模拟仿真。关键词：三维公差综合; 拟蒙特卡洛; 旋量参数; Halton序列中图分类号：TP391.7Three Dimensional Tolerance Synthesis Simulation Based on Quasi Monte-Carlo MethodAbstract：To deal with the disadvantages of low convergence and unstable results of Monte-Carlo method in computer aided 3D tolerance synthesis, a simulation method for computer aided 3D tolerance synthesis based on quasi Monte-Carlo is proposed. Firstly, on the basis of 3D tolerance representation of the screw parameter and spinor matrix, the 3D tolerance synthesis simulation equation is established using coordinate transform knowledge in robot kinematics of rigid body. Then, the method of generating normal distribution random number with Haltons sequence and the process of 3D tolerance synthesis simulation are given. Finally, an engineering example, gear pump, is introduced to test the proposed method. The result shows that the quasi Monte-Carlo has higher convergence rate and more stable evaluation results than those of Monte-Carlo method. Therefore, the quasi Monte-Carlo can be efficiently applied to the computer aided three dimensional tolerance synthesis simulation.Key words：3D tolerance synthesis; quasi Monte-Carlo; screw parameter; Haltonsequence0 引 言公差设计不仅有助于降低产品生产成本，还影响产品质量以及装配成功率的提高，是产品生产过程中最重要的问题之一1。公差设计所涉及的因素较多，如何合理分配公差即公差综合是一个复杂的问题。目前有关公差综合的研究主要针对线性或二维尺寸公差的优化设计，对于计算机辅助三维公差综合的研究还不多2、3。随着三维CAD系统（如UG、Pro/E等）的广泛应用，在三维CAD系统中，如何确定零件配合特征与装配功能要求的关系并进行公差综合方法的研究，对于辅助设计人员进行公差设计、提高产品质量有着重要意义。近些年来，一些研究人员在三维公差表示的基础上，把蒙特卡洛方法用于三维公差综合。Laperrie等4、5针对产品设计阶段预定义的装配功能要求，利用Jacobian矩阵建立与装配功能要求相关的3D公差链，并以此为基础采用蒙特卡洛法进行三维公差综合仿真研究。王太勇等6探讨了采用蒙特卡洛法进行三维尺寸及公差设计问题的实现方法。在特征自由度三维公差表示模型的基础上，许本胜等7采用蒙特卡洛法进行三维公差综合仿真研究。然而，在进行三维公差综合仿真时，以上研究侧重于阐述蒙特卡洛法进行计算机仿真的流程，在具体的应用中简单地采用伪随机数进行仿真计算，对于蒙特卡洛方法中随机数的产生机制考虑不足，导致在大样本重复运算时会出现结果不稳定、收敛速度慢的问题，不能很好地发挥蒙特卡罗方法的应用效果。基金项目：国家自然科学基金（ ）收稿日期：xxxx-xx-xx拟蒙特卡罗方法是一种采用低偏差序列（也称为拟随机序列）的蒙特卡罗方法，相比采用伪随机数的蒙特卡罗方法，拟蒙特卡洛方法不但具有更快的收敛速度，在仿真分析中所获得的结果更为稳定和可靠。目前还未见采用拟蒙特卡洛方法进行三维公差综合仿真的研究。本文针对计算机辅助三维公差综合中仿真计算收敛速度慢以及结果不稳定的问题，在获得三维公差综合仿真等式的基础上，研究基于拟蒙特卡洛法的三维公差综合仿真方法，并通过实例进行具体的分析和阐述。1 理论基础1.1 旋量参数和旋量矩阵传统的尺寸与极限配合的公差表示方法逐渐向新的产品几何技术规范（Geometrical Product Specifications，GPS）过渡，出现了一些新的公差表示方法，如特征自由度8、旋量参数等9、10。这些公差表示方法本质上有着共同之处，即在三维CAD系统中，零件可看作是由点、线、面等基本几何特征构成，将公差看作是构成零件几何特征微观上的三维几何变动量。为了规范和方便对公差问题的分析和描述，ISO/TC213延伸了特征的概念，定义了名义特征、名义派生特征、实际特征等几种特征类型，如图1所示。图1 ISO/TC213的特征类型（以圆柱面为例）从图1可看出，测量得到的实际特征为拟合特征或拟合派生特征，由于存在加工误差，其与名义特征或名义派生特征不可避免存在偏差。因而，从测量角度看，名义特征或名义派生特征在允许偏差范围（即公差）内是变动的，变动量可通过旋量参数来表示。对于选定的参考坐标系Oi，旋量参数包括：名义特征或名义派生特征以原点Oi为中心的沿X、Y和Z轴平动方向的变动ui，vi，wi和绕X、Y和Z轴转动方向的变动i，i和i。三维公差为名义特征或名义派生特征在三维空间允许的变动范围，相应地可通过旋量参数所构成的旋量矩阵来表示，记为Ti=Di i，其中Di=ui vi wi，i=i i i。需说明的是，如果名义特征或名义派生特征沿某个方向的变动不产生新的特征，则对应的旋量参数记为零。如图1中，圆柱轴线名义派生特征沿轴线方向平动和绕轴线转动不产生新的特征，因而当选定轴线为参考坐标系Oi的Z轴，其三维公差对应的旋量矩阵为Ti=Di i，其中Di=ui vi 0，i=i i 0。1.2 三维公差综合仿真等式产品是由若干零件装配而成，对于规定的装配功能要求，与之相关的各零件配合面形成闭合的装配特征链，如图2所示。图2 装配功能要求及装配特征链图2中，产品的装配功能要求可视为装配特征链中首末配合特征之间的相对变动量，记为T0=D0 0，其中D0=u0 v0 w0，0=0 0 0。装配特征链中第i个配合特征的变动量Ti（i=1,2,n，n为装配特征链配合特征个数且n1）对装配功能要求的累积影响量记为T0_i=D0_i 0_i，D0_i=u0_i v0_i w0_i，0_i=0_i 0_i 0_i。为得到T0、Ti间的关系，将Oi与装配基准坐标系O0各坐标轴取为同向，原点Oi在O0中的位置记为（Xi, Yi, Zi），由机器人学中刚体坐标变换的知识，有： 其中： （1）从而： （2）其中系数矩阵J为： （3）由于装配特征链中配合特征数目n1，因而J为66n阶长方阵。对于长方阵的逆矩阵，工程上通过广义逆矩阵进行近似计算11：J+为广义逆矩阵。综上可得三维公差综合仿真等式如下： （4）2 基于拟蒙特卡洛的三维公差综合仿真2.1 拟蒙特卡洛方法拟蒙特卡罗方法和蒙特卡罗方法的基本思想相同，即首先建立与问题相关的概率模型或随机过程，然后通过对概率模型或随机过程的观察或抽样试验来计算所求随机参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。不同的是，在对概率模型或随机过程进行随机抽样的过程中，拟蒙特卡罗方法采用的是低偏差序列。相比伪随机序列，低偏差序列的点列分布更加均匀，在仿真模拟时可以加快收敛速度并提高计算结果的稳定性和可靠性。图3、图4所示二维伪随机序列和二维拟随机序列。图3 二维伪随机序列 图4 二维拟随机序列由图3、图4可看出，拟随机序列要比伪随机序列更加均匀地分布于函数空间。图4中的低偏差序列为二维Halton序列12。本文采用Halton序列进行拟蒙特卡洛仿真计算。记s维Halton序列为X=(x1, x2, , xs)，通过选定某个十进制整数m和以下步骤来生成s维Halton序列：1) 选择s个基（base）b1, b2, , bs，这s个基可以使用前s个素数（2, 3, 5, 7, ）。2) 对每个基bi，将m转换成bi进制：其中，ni为将m转换成bi进制后的位数，ak为将m转换成bi进制后第k位上的数字。转换后得到一个随机向量（m(b1), m(b2), , m(bi), , m(bs)）,其中m(bi)为m对应的bi进制整数。3) 将m(bi)按位反序排列（如120反序排列为021），然后在前面加小数点得到新的值并将其转换成十进制数，记为xi，有：其中ak表示小数点后的第k位数字。4) 置m=m+1，重复步骤2）、3）直至得到所需的随机向量个数。由上述生成Halton序列，进行适当数学变换可得到服从其它分布的随机序列，如正态分布转换方法为：将s维Halton序列中各随机变量xi相加，依据中心极限定理，当s充分大时，有： （5）通过式（5）获取标准正态分布随机变量，且当s=12时可达到较好的精度，从而要得到服从正态分布的随机变量xN(, 2)，作如下变换即可： （6）2.2 基于拟蒙特卡洛的三维公差综合仿真流程综合上述三维公差综合模型和利用Halton序列生成特定分布随机数的方法，基于拟蒙特卡洛的模拟仿真思路为：首先，根据特定分布函数，通过Halton序列获取装配功能要求T0各旋量参数的随机数；然后，由式（4）计算得到装配特征链中各配合特征旋量参数的值，重复计算便得到各配合特征旋量参数的样本，最后，对所得样本进行统计分析，得到样本均值、样本方差等统计量。图5所示为基于拟蒙特卡洛的三维公差综合仿真流程：图5 三维公差综合仿真流程3 实例分析图6(a)所示齿轮泵，齿轮的精度等级为5级，齿轮分度齿圈径向跳动公差为Fr=0.016mm，综合考虑补偿热变形、保证正常润滑等因素，要求啮合轮齿侧向间隙Fc最小值为0.03mm，最大值为0.1mm。图6 综合仿真实例 (a)齿轮泵装配图 (b)侧向间隙（装配功能要求）3.1 装配功能要求与装配特征链轮齿啮合的接触形式为线接触（如图6(b)所示），装配功能要求即侧向间隙可看作是两轮齿名义啮合线A1、C1空间位置发生了相对变动。装配链中首末配合特征旋量矩阵为T0=0 v0 w0 0 0 0，各旋量参数和Fr、Fc的关系为： （7）图7为与侧向间隙相关的装配特征链及各配合特征三维公差对应的旋量参数。图7 装配特征链及三维公差旋量参数3.2 三维公差综合仿真图7中，Oi(i=1,2,6)为装配特征链中各配合特征参考坐标系，Oi与装配基准坐标系O0各坐标轴方向相同，各原点坐标为：O1=O6=0,0,0，O2=-b,0,r、O3=-b,0,r、O4=-b,0,-r、O5=-b,0,-r（b=19mm为齿轮宽度，r=12.5mm为齿轮分度圆半径）。利用式（1）、（3）得到系数矩阵J为： 由式（4），利用matlab软件计算得到齿轮泵各配合特征三维公差域内旋量参数与侧向间隙各变动量的关系。以分度圆特征C10 v6 w6 6 6 6为例，通过计算得到以下等式： 及 （8）在进行三维公差综合仿真时，首先需对装配功能要求T0进行模拟采样。在批量生产的情况下，尤其当装配特征链中配合特征数目n较大时，可认为T0服从正态分布。这里假定Fc、Fr服从正态分布。对于FcN(, 2)，根据设计要求，取侧向间隙均值=(0.03mm+0.1mm)/2=0.065mm。由6设计原则13，当6(0.1mm-0.03mm)=0.07mm时，预期装配成功率大于98.43%，因而可取=0.0117mm。同样地，可以得到FrN(0, 0.00272)。由式（6），利用12维Halton序列分别获取Fc、Fr的随机数，进而通过式（7）即可得到T0中各旋量参数v0、w0、0、0及0的随机数。以旋量参数6为例，分别采用蒙特卡洛和拟蒙特卡洛方法，利用获得的旋量参数v0、w0、0、0及0的随机数通过式（8）进行仿真计算，在不同容量样本和相同容量样本情况下进行两次实验，得到的仿真统计结果见表一和表二。表一 不同样本容量下的仿真计算结果（以6为例）由表一可看出，在不同容量样本情况下进行多次仿真计算，采用拟蒙特卡洛方法得到的标准差S较小，说明采用拟蒙特卡洛方法获得的结果波动较小。另外，由表一也可看出，当增大样本容量时拟蒙特卡洛方法的收敛速度更快，尤其当样本容量较大时，计算结果更为稳定。表二 5次M=1000的仿真计算结果（以6为例）由表二可看出，在相同容量样本情况下进行多次仿真计算，采用拟蒙特卡洛方法得到的结果的波动较小，表明采用拟蒙特卡洛方法得到的结果更为稳定。由上述分析可知，拟蒙特卡洛方法更为高效、获得的结果也更稳定和可靠，因而能更好地运用于三维公差综合模拟仿真。取样本容量M=5000，根据式（4）得到各旋量参数的公差综合仿真等式，通过拟蒙特卡洛法进行仿真计算，以分度圆特征C1为例，其结果见表三：表三 C1各旋量参数的仿真统计结果（样本容量M=5000）表三中，一栏为几何特征C1各旋量参数的三维公差分配结果。各旋量参数最大、最小值之差即为C1在参考坐标系O1中各方向的变动范围，差值越小，表明对相应方向上C1的几何变动量要求越严格；方差对应样本分布集中程度，其值越小，样本分布越集中，相应几何变动量越难以加工保证，在设计阶段应予以重视。4 结论本文在利用旋量参数和旋量矩阵建立三维公差综合仿真等式的基础上，详细讨论了用拟蒙特卡洛法进行三维公差综合仿真的方法。通过将所阐述的方法应用于齿轮泵装配体的三维公差综合，得到泵体、齿轮轴及轮齿配合特征旋量参数统计量。通过对结果的分析可以看出，相比蒙特卡洛方法，采用拟蒙特卡洛方法进行三维公差综合仿真时的收敛速度更快，获得的结果更为稳定和可靠，可以简单高效地应用于三维公差综合的仿真计算，从而验证了本文所阐述方法的有效性和实用性。参 考 文 献:1 Y.S.HONG and T.C.CHANG. A comprehensive review of tolerancing researchJ. International Journal of production research, 2002,vol.40,No.11,2425-2459.2 王恒, 宁汝新. 计算机辅助公差设计与分析的研究现状及展望J. 航空制造技术, 2006(3):73-75,102.3 孙晓燕, 黄克正, 张勇. 计算机辅助三维公差设计的研究现状J. 工具技术, 2007(41):15-19.4 Philippe Lafond and Luc Laperrie. Jacobian-based Modeling of Dispersions AffectingPre-Defined