2019版高考数学复习平面向量4.3平面向量的数量积及其应用学案文.docx

43平面向量的数量积及其应用知识梳理1两个向量的夹角2平面向量的数量积3平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角，则(1)eaae|a|cos.(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos.(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，是a与b的夹角，则cos.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别(2)对于两个非零向量a与b，由于当0时，ab0，所以ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；ab0也不能推出a0或b0，因为ab0时，有可能ab.(3)在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，若abbc(b0)，则ac.但对于向量a，b却有|ab|a|b|；若abbc(b0)，则ac不一定成立例如ab|a|b|cos，当cos0时，a与c不一定相等又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故abbc，但ac.(4)两个向量的数量积是一个实数0a0(实数)而0a0.(5)数量积不满足结合律(ab)ca(bc)(6)ab中的“”不能省略诊断自测1概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量()(3)若ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()(4)在ABC中，AB|A|B|cosB.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A4 P108T3)已知ab12，|a|4，a和b的夹角为135，则|b|为()A12 B6 C3 D3答案B解析ab12|a|b|cos135，解得|b|6.故选B.(2)(必修A4 P104例1)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos4cos1202.3小题热身(1)(2017包头质检)已知向量，则ABC()A30 B45 C60 D120答案A解析cosABC，所以ABC30.故选A.(2)已知向量a，b的夹角为60，|a|2, |b|1，则|a2b|_.答案2解析由题意知ab|a|b|cos60211，则|a2b|2(a2b)2|a|24|b|24ab44412.所以|a2b|2.题型1平面向量数量积的运算角度1求数量积已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B. C. D.本题可采用向量基底法、坐标法答案B解析解法一：如图，()211cos6012.故选B.解法二：建立平面直角坐标系，如图则B，C，A，所以(1,0)易知DEAC，则EFAC，因为FEC60，所以点F的坐标为，所以，所以(1,0).故选B.方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1利用定义2利用向量的坐标运算如典例冲关针对训练1若菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BEBC，DFDC.若1，则()A. B. C. D.答案C解析以，为基向量，则()()22(1)4()2(1)1.(1)(1)2(1)(1)，由可得.故选C.2已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.答案2解析解法一：()2222222.解法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0,0)，E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，(1,2)，(2,2)，则(1,2)(2,2)1(2)222.角度2平面向量的夹角与垂直问题若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B. C. D本题采用定义法答案A解析(ab)(3a2b)，(ab)(3a2b)03|a|2ab2|b|203|a|2|a|b|cosa，b2|b|20.又|a|b|，|b|2|b|2cosa，b2|b|20.cosa，b.a，b0，a，b.选A.平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A. 2 B. 1 C. 1 D. 2本题采用坐标法、方程思想答案D解析a(1,2)，b(4,2)，则cmab(m4,2m2)，|a|，|b|2，ac5m8，bc8m20.c与a的夹角等于c与b的夹角，解得m2.故选D.(2018邢台模拟)已知ABC周长为6，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则的取值范围为()A2,18) B.C. D(2,93)本题采用转化思想、向量法、余弦定理答案C解析由题意可得abc6，且b2ac，b，从而0b2.再由|ac|b，得(ac)2b2，(ac)24acb2，(6b)24b20.又b0，解得b，b2，cosB，accosB(b3)227，则2.故选C.方法技巧求平面向量的夹角的方法1定义法：利用向量数量积的定义知，cos，其中两个向量的夹角的范围为0，求解时应求出三个量：ab，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系如典例2.2坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos.3解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中，利用正、余弦定理和三角形的面积公式等进行求解如典例3.冲关针对训练1若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量ab与a的夹角为()A. B. C. D.答案B解析作ABCD，使a，b，则ab，ab，由|ab|ab|，知ABCD为矩形又|ab|2|a|，所以CAB.故选B.2已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_答案解析，0，()0，即()()220.向量与的夹角为120，|3，|2，(1)|cos120940，解得.角度3求向量的模(或最值、范围)已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6 B7 C8 D9本题采用三角函数法、不等式法答案B解析解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin)，(cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，此时B(1,0)，故|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得2(O为坐标原点)，又，|3|3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故|max7.故选B.方法技巧求向量模及最值(范围)的方法1代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；见典例答案解法一2几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；见典例答案解法二3利用绝对值三角不等式|a|b|ab|a|b|求模的取值范围见典例答案解法二冲关针对训练已知向量a，b，c，满足|a|2，|b|ab3，若(c2a)0，则|bc|的最小值是()A2 B2 C1 D2答案A解析根据条件，设a(1, )，b(3,0)，设c(x，y)，则(c2a)(x2，y2)(x2，y)0；(x2)2(y)23；c的终点在以(2，)为圆心，为半径的圆上，如图所示：|bc|的最小值为2.故选A.角度4求参数的取值在ABC中，已知(2,3)，(1，k)，且ABC的一个内角为直角，则实数k的值为_本题采用方程思想，并依据直角的位置可分三种情形讨论答案或或解析若A90，则有0，即23k0，解得k.若B90，则有0，因为(1，k3)，所以23(k3)0，解得k.若C90，则有0，即1k(k3)0，解得k.综上所述，得k或或.方法技巧平面向量中的参数及范围的求法1利用方程思想，由已知列出方程或方程组，进而求解如典例2利用等价转化思想将已知转化为不等式或函数，求出参数的取值如冲关针对训练冲关针对训练设两个向量e1，e2满足|e1|2，|e2|1，e1与e2的夹角为，若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围解由向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化简即得2t215t70，解得7t.当夹角为时，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此时夹角不是钝角设2te17e2(e1te2)，0，可求得所求实数t的范围是.题型2平面向量的综合应用角度1在平面几何中的应用已知ABC的三边长AC3，BC4，AB5，P为AB边上任意一点，则()的最大值为_本题采用坐标法、基向量法答案9解析(坐标法)以C为原点，建立平面直角坐标系如图所示，设P点坐标为(x，y)且0y3,0x4，则()(x，y)(0,3)3y，当y3时，取得最大值9.如图，在ABC中，已知点D，E分别在边AB，BC上，且AB3AD，BC2BE.(1)用向量，表示；(2)设AB9，AC6，A60，求线段DE的长本例(1)问采用数形结合法，(2)问采用向量法解(1)AB3AD，BC2BE，()，.(2)281，236，96cos6027，222，DE|.角度2三角函数与向量已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，0.(1)若|ab|，求证：ab；(2)设c(0,1)，若abc，求，的值利用转化法将向量方程转化为三角方程解(1)证明：由题意得|ab|22，即(ab)2a22abb22.因为a2b2|a|2|b|21，所以12ab12.所以ab0.故ab.(2)因为ab(coscos，sinsin)(0,1)，所以由此得coscos()，由 0，得0.又0，所以，.角度3向量与解三角形的综合已知O是ABC内部一点，0，2且BAC60，则OBC的面积为()A. B. C. D.用三角形重心定理答案A解析0，O为三角形的重心，OBC的面积为ABC面积的.2，|cosBAC2.BAC60，|4，ABC面积为|sinBAC，OBC的面积为.故选A.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m，n，且2mn|m|，1.(1)求角A的大小；(2)求ABC的面积S.利用转化法将向量等式转化为三角方程解(1)因为2mn2sincos2cos2sinA(cosA1)sin1，又|m|1，所以2mn|m|sin，即sin.因为0A，所以A0，得0k0，与直线l与圆C交于M，N两点相矛盾，所以不存在直线l，使得6.角度5向量与函数、不等式的综合若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3 C6 D8将向量问题用坐标法转化为函数问题求解答案C解析由题意，得F(1,0)，设P(x0，y0)，则有1，解得y3.因为(x01，y0)，(x0，y0)，所以x0(x01)yxx03x03，对应的抛物线的对称轴方程为x02.因为2x02，故当x02时，取得最大值236.故选C.已知，|，|t，若P点是ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D21将向量问题化归为均值不等式问题答案A解析由题意建立如图所示的坐标系，可得A(0,0)，B，C(0，t)，P(1,4)，(1，t4)，4(t4)17，由基本不等式可得4t24，1717413，当且仅当4t，即t时取等号，的最大值为13.故选A.方法技巧1平面向量的模及其应用的类型及解题策略(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解如题型1中角度3典例2向量在平面几何中的应用用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些如题型2角度1典例1.3向量与三角函数综合应用(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正、余弦定理等知识如题型2中角度2典例4向量在解析几何中的作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0；abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到如题型2角度4典例1.冲关针对训练1(2018沈阳模拟)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则()A20 B15 C9 D6答案C解析如图所示，四边形ABCD为平行四边形，点M，N满足3，2，根据图形可得：，()2，222，22，|6，|4，221239.故选C.2已知a，b为平面向量，若ab与a的夹角为，ab与b的夹角为，则()A. B. C. D.答案D解析如图所示：在平行四边形ABCD中，a，b，ab，BAC，DAC，在ABC中，由正弦定理得，.故选D.3过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，48，则抛物线的方程为()Ay28x By24xCy216x Dy24x答案B解析如图所示，F为线段AB中点，AFAC，ABC30.由48，得BC4，得AC4.由中位线的性质有pAC2.故抛物线的方程为y24x.故选B.1.(2018沧州调研)已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小值是()A2 B C D1答案B解析解法一：设BC的中点为D，AD的中点为E，则有2，则()22()()2(22)而22，当P与E重合时，2有最小值0，故此时()取最小值，最小值为222.故选B.解法二：以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设P(x，y)，取BC的中点D，则D.()22(1x，y)22.因此，当x，y时，()取得最小值，最小值为2.故选B.2(2017全国卷)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab 与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.3(2017北京高考)已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为_答案6解析根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为(x,0)|cos，|2，|，cos，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.如图所示，因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos，sin)(02)，所以(2,0)，(cos2，sin)，2cos4246，当且仅当cos1，即0，P(1,0)时“”号成立4(2017天津高考)在ABC中，A60，AB3，AC2.若2，(R)，且4，则的值为_答案解析解法一：由B2D得AAA，所以AA(A)AA22AA，又AA32cos603，A29，A24，所以AA3254，解得.解法二：以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，因为AB3，AC2，A60，所以B(3,0)，C(1，)，又B2D，所以D，所以A，而AA(1，)(3,0)(3，)，因此AA(3)54，解得.基础送分 提速狂刷练一、选择题1a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. B C. D答案C解析由题可知，设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)由cosa，b.故选C.2已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则等于()A B1 C2 D.答案B解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，|2ab|5，1.故选B.3已知DEF的外接圆的圆心为O，半径R4，如果0，且|，则向量在方向上的投影为()A6 B6 C2 D2答案B解析由0得，.DO经过EF的中点，DOEF.连接OF，|4，DOF为等边三角形，ODF60.DFE30，且EF4sin6024.向量在方向上的投影为|cos，4cos1506.故选B.4已知非零向量与满足0且，则ABC为()A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形答案D解析因为非零向量与满足0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.又cosBAC，所以BAC.所以ABC为等边三角形故选D.5在ABC中，|，|3，则的值为()A3 B3 C D.答案D解析由|两边平方可得，2223(222)，即224，又|3，所以，又因为，所以()()29.故选D.6(2017龙岩一模)已知向量与的夹角为60，且|3，|2，若mn，且，则实数的值为()A. B. C6 D4答案A解析32cos603，mn，且，(mn)(mn)()(mn)m2n20，3(mn)9m4n0，.故选A.7已知直线yxm和圆x2y21交于A，B两点，O为坐标原点，若，则实数m()A1 B C D答案C解析设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立消去y得2x22mxm210，由4m28(m21)0，得m，又xAxB，xAxBm，所以yAyB(xAm)(xBm)，由()2xAxByAyB1m22，解得m.故选C.8对任意两个非零的平面向量和，定义.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且ab和ba都在集合中，则ab等于()A. B. C1 D.答案D解析根据新定义，得abcos，bacos.又因为ab和ba都在集合中，设ab，ba(n1，n2Z)，那么(ab)(ba)cos2，又，所以0n1n22.所以n1，n2的值均为1，故ab.故选D.9已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且cacb1，则对任意的正实数t，的最小值是()A2 B2 C4 D4答案B解析设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则由cacb1，得c(1,1)，ctab(1,1)t(1,0)(0,1)，2，当且仅当t1时等号成立故选B.10已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，2答案A解析以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a(1,0)，b(0,1)，设c(x，y)，则cab(x1，y1)，|cab|1，(x1)2(y1)21.即(x，y)是以点M(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|.所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|r|c|OM|r，即|c|1，1故选A.二