第二章 数列(人A必修5).doc

新课标必修五数学人教A版 主备人：郭万生 审核：高二数学备课组第二章 数列2.1数列的概念与简单表示法教学目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系。教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用，根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式，理解递推公式与通项公式的关系教学过程.课题导入三角形数：1，3，6，10，正方形数：1，4，9，16，25，观察这些例子，看它们有何共同特点？全体自然数：0、1、2、3、4 精确到1，0.1，0.01，0.001 的不足近似值：1、1.4、1.41、1.414 . 过剩近似值：2、1.5、1.42、1.415 -1的1次幂，2次幂，3次幂 ：1，1，1，1，1，1，. 无穷多个2：2、2、2、2 .讲授新课 数列的定义：按 的一列数叫做数列.注意： 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n 项，.数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第n项 数列的通项公式：如果数列的 与 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： 数列通项公式的作用： 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项5.数列与函数的关系数列可以看成以 为定义域的函数，当自变量 对应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)，f(n)，6数列的分类：1）根据数列项数的多少分：有穷数列： 有限的数列. 无穷数列： 无限的数列。2）根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项 的数列。递减数列：从第2项起，每一项 的数列。常数数列：各项 的数列。摆动数列：从第2项起， 的数列 范例讲解例一：已知数列的前4项，写出它的通项公式： （1） 1、 （2） 2、0、2、0 （3） 、 （4） 、例二、根据数列的通项公式，写出它的前五项 （1） （2） （3） （4）.课堂练习补充练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,； (2) , , , , , ； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 12, 20, 30, 42,. （6）9、99、999、9999 （7）0.9、0.99、0.999、0.9999 数列的表示方法1、 通项公式法如果数列的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。2、 图象法以 为横坐标， 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势3、 递推公式法 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型模型一：运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？模型二：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。递推公式：如果已知数列的 ，且任一项与它的 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89递推公式为： 4、列表法简记为 范例讲解例3 设数列满足写出这个数列的前五项。补充例题例4已知， 写出前5项，并猜想 .课堂练习 补充练习1根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN). .课时小结本节课学习了以下内容：1、数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。2、递推公式及其用法；3、通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.课后作业2.2等差数列教学目标1、了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列; 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题2、经历等差数列的简单产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的过程。通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。教学重点等差数列的概念，等差数列的通项公式等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用教学难点等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题教学过程.课题导入创设情境上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。下面我们看这样一些例子。0，5，10，15，20，25，48，53，58，6318，15.5，13，10.5，8，5.510072，10144，10216，10288，10366看看以上四个数列有什么共同特征？共同特征： 我们给具有这种特征的数列一个名字等差数列.讲授新课1等差数列：一般地，如果一个数列从 起，每一项与 等于 ，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 （常用字母“d”表示）。 公差d一定 ；对于数列,若=d (与n无关的数或字母)，n ，d 为公差。思考：数列、的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？2等差数列的通项公式： 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：由此归纳等差数列的通项公式可得： 由上述关系还可得： 除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列，所以 （迭代法）：是等差数列，则有 3有几种方法可以计算公差d 范例讲解例1 求等差数列8，5，2的第20项 -401是不是等差数列-5，-9，-13的项？如果是，是第几项？例2 已知数列的通项公式，其中、是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？ 注：若p=0，则是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，若p0, 则是关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列为等差数列等价于其通项=pn+q (p、q是常数)，称其为第3通项公式。判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。等差数列的通项公式： 或 或 =pn+q (p、q是常数)4等差中项：提问：如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（ ）都是 的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中，9是 和 的等差中项， 和 的等差中项。例3 在等差数列中，若+=9, =7, 求 , .思考：已知数列是等差数列（1）是否成立？呢？为什么？（2）是否成立？据此你能得到什么结论？（3）是否成立？你又能得到什么结论？结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q，则 但通常 由 推不出m+n=p+q ，.课堂练习 补充练习1.（1）求等差数列3，7，11，的第4项与第10项.（2）求等差数列10，8，6，的第20项.（3）100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（4）20是不是等差数列0，3，7，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.2、在等差数列中，已知，求首项与公差3、在等差数列中, 若 求.课时小结通过本节学习，首先要理解与掌握1、等差数列的定义及数学表达式：=d ，（n2，nN）.其次，要会推导等差数列的通项公式：，并掌握其基本应用.最后，还要注意一重要关系式：和=pn+q (p、q是常数)的理解与应用.2、成等差数列3、在等差数列中， m+n=p+q (m, n, p, q N ).课后作业23等差数列的前n项和教学目标知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美教学重点等差数列n项和公式的理解、推导及应教学难点灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题教学过程.课题导入“小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+100=?”该故事告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“ ”法。.讲授新课1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）第一个公式反映了等差数列的任意的 项与 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的 和与 的关系，而且是关于n的“ 函数”，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。公式运用1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S. 例题分析例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例3 已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.思考：结合例3，思考课本 “探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.例4 已知等差数列的前n项和为，求使得最大的序号n的值. 补充练习 1、已知数列是等差数列，Sn是其前n项和，且S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设成等差数列吗？2、 求集合的元素个数，并求这些元素的和。课堂小结 等差数列的前n项和的公式和也成等差数列.等差数列性质1、通项公式：，；2、若，则（其中m、n、p、）。反之未必成立；3、公差d的计算方法： d= d= d=4、等差数列的判断方法：定义法：=d（d为常数），数列是首项为p+q，公差为p的等差数列；等差中项的定义；前n 项和Sn=An2+Bn（A，B为常数）数列是首项为A+B，公差为2A的等差数列。5、在等差数列中，项数成 的项又组成一个等差数列，即，是等差数列，公差为 。6、在等差数列中，依次k个项之和仍组成一个等差数列。即，（，）成等差数列。7、8、9、10、2.4等比数列教学目标知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。教学重点 等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教学过程.课题导入复习：等差数列的定义： =d ，（n2，nN）等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。1，2，4，8，16，1，1，20，观察：看看以上、四个数列有什么共同特征？.讲授新课1等比数列：一般地，如果一个数列从 起， 与它的 的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的 ；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) 成等比数列 2 隐含： ，“0” 数列成等比数列2.等比数列的通项公式1: 由等比数列的定义，有：； 3.等比数列的通项公式2: 4既是等差又是等比数列的数列：非零常数列探究：等比数列与指数函数的关系5.等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式,它的图象是 。当 时，等比数列是递增数列；当 时，等比数列是递减数列；当 时，等比数列是摆动数列；当 时，等比数列是常数列。范例讲解例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?例2 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.6等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即 （a,b ）反之，若G=ab,则，即a,G,b成 数列。例4 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，数列是什么数列？拓展探究：对于例4中的等比数列与，数列也一定是等比数列吗？探究：已知数列是等比数列，（1）是否成立？成立吗？为什么？（2）是否成立？是否成立？你据此能得到什么结论？结论：等比数列的性质：若m+n=p+k，则 .课堂练习（1） 一个等比数列的第9项是，公比是，求它的第1项（答案：=2916）（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：=5, =q=40）.课时小结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式1、若m+n=p+q，2、若是项数相同的等比数列，则、也是等比数列.课后作业2.5等比数列的前n项和教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的中知道三个数求另外两个数的一些简单问题；提高分析、解决问题能力过程与方法：经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想.教学重点等比数列的前n项和公式推导教学难点教学过程.课题导入创设情境提出问题 “国王对国际象棋的发明者的奖励”.讲授新课1、 等比数列的前n项和公式：公式的推导方法一：公式的推导方法二：公式的推导方法三： 例题讲解例1 求下列等比数列前8项的和: (1),；(2) a1=27, a9=,q0例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?.课堂练习设a为常数，求数列a，2a2，3a3，nan，的前n项和；.课时小结等比数列求和公式：当q=1时， 当时， 或.课后作业等比数列性质1、通项公式：2、若，则3、公差q的计算方法：4、等差数列的判断方法：定义法：等比中项的定义；5、在等比数列中，项数成 的项又组成一个等差比数列，即，是等差比数列，公比为 。6、在等比数列中，依次k个项之和仍组成一个等比数列。即，（，）成 数列。公比为 7、8、9、10、由数列递推公式求通项公式的求解策略一般地，如果已知数列的第项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式由递推公式给出的数列，称之为递推数列等差、等比数列实际上就是最简单的递推数列求递推数列的通项的方法较为灵活。利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，这一直是高考的热点之一.一、直接构成等差、等比数列 例1已知数列递推公式，求数列通项公式。二、利用和n、的关系求1、利用sn和n的关系求例2、已知数列前项和=n2+1,求的通项公式.2、利用和的关系求例3、在数列中，已知=3+2，求三、迭加法（或迭乘法）：当递推关系为时，要求通项公式时，我们常通过（或）的变形来求出，此方法叫迭加法（或迭乘法）w.w.w.k.s.5.u.c.o例6、 在数列中，,，求通项公式.四、换元法例8、 已知数列，其中，且当n3时，求通项公式 例9、已知数列，其中，且当n3时，求通项公式。五、取倒数法例10、 已知数列中，其中，且当n2时，求通项公式。六、取对数法例11、 若数列中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=七、平方（开方）法例12、 若数列中，=2且（n），求它的通项公式是.八、待定系数法待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、（A、B为常数）型，可化为=A（）的形式.例13、 若数列中，=1，是数列的前项之和，且（n），求数列的通项公式是.2、（A、B、C为常数，下同）型，可化为=）的形式.例14、 在数列中，求通项公式。3、型，可化为的形式。例15、 在数列中，当， ，求通项公式.4、型，可化为的形式。例16、 在数列中，=6 ，求通项公式.例17、设正数列，满足= 且，求的通项公式.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出，然后猜想出满足递推式的一个通项公式，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。数列求和数列求和可分为特殊数列与一般数列求和，所谓特殊数列就是指等差或等比数列，非等差或非等比数列称之为一般数列。对于特殊数列的求和，要恰当地选择、准确地应用求和公式，采用直接求和的方法。对于一般数列的求和，可采用下面介绍的几种化归策略。1、 公式法： 等差数列的求和公式， 等比数列的求和公式当时， 或 当q=1时 ， ， ，2、 倒序相加法：如果一个数列a，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2例1、 求的值例2、已知的值。3、 错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。特征：所给数列a，其中a=cnbn而cn是一个等差数列，且bn则是一个等比数列。（“等比数列”的求和）例3、已知数列an，a1=2，an=（n+1）xn1(n2，nN*)，求Sn。例4、求数列前n项和4、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。常见的拆项公式： （1）；（2）（3） (其中an是一个公差为d的等差数列（4）（5）（6） （7）例5、 求数列的前n项和.例6、 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和例7、求数列前n项和5、并项转化法：在数列求和过程中，如果将某些项分组合并后转化为特殊数列再求和的这种方法称为并项转化法。例8、求和：1，4，7，10，（1）n（3n+2）6、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时，将数列的每一项拆成多项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称之为分组求和法，运用这种方法的关键是通项变形。例9、求数列123，234，345，456，n（n +1）（n +2），前n项的和。例10、求数列的前n项和：，例11、求数列的前项和例12、已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求例13、已知数列an为等差数列，公差d0，其中，恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+kn。7、分类讨论法：有些数列的求和需要经过分类讨论处理后才能进行求和，如等比数列的公比含参变数，则需在1点展开讨论，又如每一项均取绝对值的数列，则需在0点展开讨论。例14、数列| an|的前n项和为Sn=10nn2，求数列|an|的前n项和例15、一个数列an，当n为奇数时，an=5n+1，当n为偶数时，求这个数列的前n项之和。例16、已知数列的通项，求其前项和8、探索周期规律求和例17、 数列an：，求S2002.2009年高考试题汇编一、填空题1、已知等比数列满足，且，则当时， 2、公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 3、设