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高一数学必修1各章知识点总结（by May）第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些研究对象组成的总体叫作集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性. 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素必须是确定的，这就是说不确定的对象就不能构成集合。 (2)对于一个给定的集合，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一集合时，只能算作集合的一个元素。如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：(1) 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(2) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,54、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N，正整数集 或 ，整数集Z ， 有理数集Q ，实数集R5、关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 aA ，相反，a不属于集合A 记作 aA元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号表示）和不属于（用符号表示）。如等。6、集合的表示方法： （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。a,b,c（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32（3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形（4）Venn图:7、集合的分类：(1)有限集 ： 含有有限个元素的集合(2)无限集 ： 含有无限个元素的集合(3)空集 ： 不含任何元素的集合例：x|x2=5=二、集合间的基本关系1、“包含”关系（子集）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合，即A=B。反之， 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2、“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。即AA如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3、 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有个子集，个真子集三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB(读作A交B)，即AB=x|xA，且xB2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：AB(读作A并B)，即AB=x|xA，或xB3、交集与并集的性质：AA = A, A=, AB = BA，AA = A,A= A ,AB = BA.4、全集与补集（1）补集：设U是一个集合，A是U的一个子集（即），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）记作：.UA 即 =.（2）全集：如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。（3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A= (CUA)A=U用表格如下：运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设U是一个集合，A是U的一个子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中子集A的补集（或余集）SA记作，即=韦恩图示UA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 二、函数的有关概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2、定义域的求法：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数大于等于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1； (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合（交）；（6）指数为零，底不可以等于零（即） ；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.值域的求法 : 先考虑其定义域(1)观察法 (2)配方法(3)代换法3、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：且 ：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5、映射 ： 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象（知道这个概念就可以）说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合A、B及对应法则f是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；对于映射f：AB来说，则应满足：（）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。6、常用的函数表示法:解析法； 图象法； 列表法。7、分段函数 ：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集8、函数单调性(局部性质)（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2） 图象的特点 ：如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3)函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法（解答题）：任取x1，x2D，且x10时，2、配方：3、0时，（）的两个根为()，则， 4、=0时，（）的两个等根为，则，无解，5、1，且*u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）；（2）；（3）（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a10a10a1时，底数越大，函数图像越靠近x轴；当0a1时，底数越大，函数图像越远离x轴。3、比较两个对数的大小（1）当底数相同时，应联系对数函数的图象和单调性来判断大小，当真数相同时，可利用两个对数函数的图象来判断对数值的大小。（2）当对数的底数与真数都不同时，可借用中间值1或0或等来判断函数值的大小。规律：底数与真数同大于1时，y大于0,；底数与真数同大于0小于1时，y大于0；底数与真数取值范围不同时，y小于0.口诀：两个比较的数都大于0时，用1作为中介比较；两个比较的数都小于0时，用-1作为中介比较；两个比较的数，一个大于0，一个小于0，直接得出结果。当两个数都大于1时，就想办法将这两个数化成同底的数进行比较。（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象