最值问题解题方法的探讨.doc

河南科技学院 2016 本科毕业论文 论文题目：最值问题解题方法的探讨 学生姓名： 常义义 所在院系： 数学系 所学专业： 信息与计算科学 导师姓名： 石东伟 完成时间： 2016-05 最值问题解题方法的探讨摘 要 最值问题是数学学科中重要的内容，可以说它遍及中学数学的各个层面，它不仅仅只用在教学中来解决一些数学问题，日常生活中牵涉到的最值问题更多。比如，贷款买房买车问题，或者是工作中学习效率和学习学习量的问题，或者也会为了去旅游来盘算怎么样的出行方式最划算。对于这一类问题，我们可以通过数学知识抽象出求最值问题的模型，通过建立模型来解决。只要留心，生活中大部分问题都跟数学联系密切。我想当我们了解掌握了这些方法，思路和思想，不管是以后继续学习深造，还是毕业离开校园进入社会，都能帮我们在了解熟悉别的工作奠定良好的基础。从课本中学习到，要利用数学的一些思想和方法来解决函数最值问题，需要有良好的基础和一定的思维能力，因此为了让自己能够更加系统地对几年的专业学习来做个总结，本文就最值问题的解法结合自己的一些思考，进行了回顾。下面就该问题的一些常用的解题方法，分类整理，对进一步学好数学有一定的积极意义。关键词：数学 最值问题 最优化 解法 Explore the most value problemAbstractThe value problems in mathematics important content, it can be said that throughout all levels of middle school mathematics. It not only in the teaching to solve mathematical problems, involved in the daily life the most value problem more. For example, the loan to buy a house to buy a car, or work in the learning efficiency and learning problems, or in order to travel to calculate how to travel the most cost-effective way. For this kind of problem, we can solve the problem of solving the most value problem by using mathematical knowledge. As long as you pay attention, most of the problems in life are closely related to mathematics. I want to when we understand these methods, train of thought and idea, whether it is to study, or graduates leave the campus into the society, can help us in understanding familiar with other work to lay a good foundation. From the textbook learning, some ideas and methods to make use of mathematics to solve the function most value question, must have a good foundation and some thinking ability, so in order to let yourself be more systematically on several years of professional learning to do a summary. In this paper, the problems solution method combined with some of their thoughts were reviewed. Following the problem of some of the commonly used problem-solving methods, classification, to further learn mathematics has a certain positive significance.Key words: mathematical optimization problem solving目录一、绪论5二、最值问题常见解法探讨61定义法62判别式法73、配方法74、均值不等式法85、换元法86、三角函数法97、单调性法98、分类讨论法109、导数法1010、数形结合1211、线性规划法14三、实际生活中的最值问题15四、小结20谢辞21参考文献22一、绪论数学是一门生活性学科，它来自生活的同时又服务于生活。因此，我们在平时的学习生活中遇到的一些看似复杂的问题都能跟数学课本中的知识联系起来。从而找到解决方法。其中有一类问题跟人们的生产生活联系最为普遍，那就是数学中我们经常见到的最值问题。比如说我们的现在年轻人的贷款买房问题，需要在自己的能力范围内，合理的运用数学知识和相关知识来让自己在最大程度上减少不必要的支出。在解决这些问题的过程中也会有一些方式方法,来提高我们的效率。还有一些主要的方法和一些数学思想，方便我们去学习用过的知识！这篇文章主要通过一些最值问题的解题方法，来增加学生的思维，和运用各种解题技能去灵活选择。如果掌握好这些思想方法，在以后工作生活中可能会帮我们很多大忙。我们知道，函数的最值问题涉及到好多方面的知识和思想，有一元的，多元的，也有代数的，几何的，对数学能力有一定的要求。本文在已有文献的基础上，总结归纳了最值问题的解题方法,主要介绍数形结合在集合、三角函数、数列、解析几何、函数、经济问题中的应用，期中在介绍时主要也列出了一些方法在解决实际常见问题的方法，给大家拓展一些思路，算是对前面学习过程的总结和回顾。2、 最值问题常见解法探讨最值问题,顾明司义，就是求最大值最小值的问题，我们可以用几何方法和函数方法来求解他们。中学中遇到最多的就是函数问题，所以我会结合函数来讨论。因此也在本文探讨的探讨的过程中会涉及到一些思想和方法，比如数形结合的思想，比如分类讨论思想等等，利用这些思想方法能让我们更好的理解问题和解决问题。2.1利用定义法求解最值问题一般情况下，函数最值分为函数最小值与函数最大值。函数最大（小)值的几何意义在坐标系下函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最小值。设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意实数xI，都有f(x)M，存在x0I。使得f (x0)=M，那么，我们称实数M 是函数y=f(x)的最大值。2 例：下面两个命题错误一项是：（）（1）设函数y=f（x）的定义域为I，若存在，那么就有为真命题，我们可以判定函数y=f（x）的最大值为。（2）设某函数y=f（x）的定义域为I，若有使得对任意，有，则是函数的最大值。A. 0 B. 1 C. 2 解析：遇到这种考察定义的题目，一般来说都是基础性的提型，目的是为了考察学生们对于基本概念基本原理的掌握和理解情况。可以在理解定义的基础上进行记忆，或者通过联想，画出合理的示意图来解答。解：根据函数的最大值的定义知，（1）是假命题（2）正确，实质上，满足最值定义中的两个条件。故选A。解题体会：根据定义解答最值问题时，不仅要知道概念是什么，更要理解概念是什么。更要把握概念里面牵涉到的一些关键词，另外还需要注意定义域和值域的取值范围，这些对于解题方法很有用。 2.2 利用判别式法求解最值问题。若函数可化成一个系数含的关于的二次方程：，在0时，由于，为实数，必须有，由此求出所在的范围，确定函数的最值。例 设两个实数分别为，求函数有无最大值？解析：设，可以吧y看做关于a的函数。通过分析：，有题目已知条件，都为实数，则，即，。故当时，有最小值，函数无最大值。解题体会：求解某些含有一些代数式的问题的最值时，可以将它化为关于某个字母的一元二次方程，然后用判别式求解的方法求出根式，然后确定原式的取值范围，根据问题所要求内容作答。另外注意题目中问的是什么。 2.3 利用配方法求解最值问题。对于通过变量代换，能变为关于的二次函数形式的函数，可先配方成为：的形式，接着可以按照的取值范围确定函数的范围。例：设、为实数，代数式是否能取到最小值。解析：对于这种直接考察基础功底，基础知识的问题，只要认真地运用公式对原式变形即可。解：原式由配方法结果得，在点处，原式有最小值3，因此能取到最小值。解题体会：求最值问题优先采用的就是配方法，方法简单，形式鲜明，可以直观地表达出当前式子要表达的最值的信息，最后再结合非负数的性质，更方便求解，在解题中使用的最广泛。一般来说都是结合别的数学解题方法，一块来使用，灵活强。 2.4 运用均值不等式求解最值问题。形式为（当且仅当a=b时，等号成立），它是一个重要的不等式，好多看似没头绪的问题往往可以采用均值不等式来处理。均值不等式普遍运用在生活和生产中，因此有必要掌握和熟练使用。例：设两个实数分别为，且。求的最大值。解析：关于有些问题不可以直接采用均值不等式来解答，需要通过一系列变形，整理，满足条件后使用。比如本题，通过变形整理可得到两数积为定值，然后才能采用均值不等式来计算本题。解: ，可得，当 ，当且仅当，即时，有最大值。解题体会：通过均值不等式解答最值问题，高效，便捷，尤其是在解决填空选择题时，能很好的节约时间。但运用的过程中需要注意的问题也特别重要。均值不等式成立的条件要满足同时是正数，它们的乘积或和是定值，可以取等号，三者缺一不可，需要熟练掌握以结合一些变形式子，满足均值不等式成立的条件。 2.5 利用换元法求解最值问题。换元法是指使用代数式中没有的变量来代替原来代数式里面的某些项，来解决问题的方法。具有整体思想的样子，就是整体带入，通个一个参数来表示。可以将复杂的函数代数式转化为易于分析求解的形式，需要一定的技巧和清晰的思路，是求解函数最值问题的一种有效方法。例 求函数的最值。解析：设，则，当即时，无最小值。解题体会：在使用换元法解答最值问题时，能够有先判断引入的变量的取值范围的意识，根据已知变量的范围来推导出新的变量的范围，保证等式始终是成立的。 2.6 利用三角函数法求解最值问题。 三角函数法是求解最值问题里面的重要内容。这部分的内容灵活多变，形式多种多样，可以跟其他知识点交叉来考察，比如曲线，二次函数，不等式等等。但是只要熟练地掌握三角函数的恒等变形和解题技巧，以及基本的正弦定理和余弦定理及其性质，降幂化简，转化为熟悉的代数形式来解答。例：求的最值解析：当求解形如型的函数时，首先需要考虑到的方法是降幂，再化为一次向系数的形式来求解。解：原式当，取得最小值，同理,当，取得最大值。解题体会：在计算本类问题时，一般都是利用正弦函数的有界性来解决的。通过一系列的恒等变形，化简，将问题给出的式子转化为正弦定理的形式，然后按照它的有界性来得到最值。 2.7 利用单调性法求解最值问题。 在函数表达式中，好多表达式在某段给定的区间上都具有单调性，我们能够运用这一性质求解最值问题。当然，前提是通过变换，化简变成常见的函数形式。例：设函数，试求其最值。解析：本题中含有绝对值符号，需要根据情况来讨论。 首先，需要去掉绝对值符号，划出效果示意图 来解答。解：令，则时，解之，或者。此时有最小值0；令，则求解得。，根据图像此时函数有最大值1，此时取值为1。解题体会：解决具有单调性函数的最值时，需要根据题目所给出的定义域的区间来依次判断求解，最后根据整个区间来作答。避免漏掉一些情况。 2.8 利用分类讨论法求解最值问题。分类讨论法是对于题目中一些已知量不确定时，对这个变量进行讨论，在变量有含义的定义域上依次讨论，最终得到答案。分类讨论法也是一种思想，是贯穿整个中学数学的思想，对于数学问题的分析和解答普遍有意义。例 已知自变量的取值范围为，讨论的最值。解析：根据已知情况，分为3个区间来讨论。有题意可得：目标函数值的两个零点分别是a=2 和 a=3。根据a自身的定义域来分析分3种情况来讨论。解：(1)当时，原式，单调递减，取得最大值5，取得最小值5. (2)当时，原式，恒等于1。 (3)当时，原式，单调递减，取得最大值3。综上：原式的最大值是5，最小值在1处获得.解题体会：分论讨论法是分许研究数学问题的基本方法，通过分类讨论，把看似复杂的问题来分类整理,我们要培养分类讨论意识，这样对于以后分析研究问题都有很好帮助。 2.9 利用导数法求解最值问题。导数法是综合了上面单调性法，判别式法，分类讨论法等一系列方法的优点，研究最值问题非常便捷。我们在研究最值问题时优先考虑用导数法来求解，方便，高效。导数法用在日常的生产生活中也产生很好的效果。学好导数问题是作为中学生知识技能的有效证明，导数是研究其他学科的基础学科，它的优势在函数的求解中充分展示出来，主要涉及函数的曲线等问题，有必要对其性质进行整理。在解决最值问题里面，需要根据不同的情况采用不一样的解题方法。但总结来看，导数方法求解最值问题比基本的求解最值问题的方法简便快捷。并且推荐是使用导数方法。下面是导数一些性质。设函数在上一致连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：求在内的极值；求函数定义域区间的函数值；将的各极值与比较，其中较大的是该函数在该区间上的最大值，较小的则是该函数在的上的最小值。应注意：（1）的极值是局部概念，而最大(小)是值则可看作整个定义域上的概念，如图所示 :（2）可利用函数的单调性求在区间上的最值，若在a,b上单调增加，则的最大值为，最小值为；若在a,b上单调减少，则为函数最大值，为最小值。例：设一函数为，求解在定义域为时的最值。解析：初等数学和高等数学的连接中，导数法挥了重要的作用。它是学习代数问题的很好的工具，并且导数贯穿整个数学知识。它能很好的跟别的知识点甚至是别的学科很好的交汇，变出好多不同的题型，只要我们把握住导数的定义和含义，掌握好它的基本的性质，来处理最值问题的方法，就能很好的掌握它。解：由于函数 ，求一阶导数得，不妨令解得，如下表所示：(-2，-1)(,)1(1,2) + +-极大极小39又因为当时 当时所以函数在两个端点的函数值分别为，所以函数的最大值和最小值分别为和。解题体会：求解这种最值问题有明确的解题步骤和思路，只要按照要求，根据题目表达的意思来解答，就行。必要时，可以画出草图以便直观地来得到关于最值的重要的信息。2.10 运用数形结合求解最值问题。（1） 利用数形结合法解关于函数及其图像的最值问题例1.求函数在(2,7上的最值。解析：所求的函数是二次函数，由函数不是单调的，所以不能直接代入定义域的两个端点求极值，借助图像观察更方便。图 1解：如图:借助图像的直观表达可知道，将函数反映在坐标系上，具有定义域范围内的函数是图像的部分，此函数的最小值在函数的对称轴处获得，即在所给的定义域内=3时，目标值为-16，由图看出函数的最大值为=7时，最大值=0.例2、求函数的最小值。分析：此题用代数方法通过化简，变形求式子的最小值，问题求解就比较麻烦，通过对函数式子观察发现:能够看成以作为直角边的三角形的斜边可以看成以(4-)，2为直角边的斜边。此题能够归结为求两直角角形斜边的和的最小值，于是所求函数可以通过画出图形来求解。如图为所示的两个直角三角形，图 2即,使求最小值可转化为： 取点对于的对称点,在上求一点使最小。连结与的交点便是所求点，所以函数的最小值即是线段在中，,故函数的最小值为5（2） 利用数形结合法解二元方程及方程曲线的最值问题例2.如果实数x，y满足，则的最大值为( D)A.12 B.33 C.32 D.3思维流程： 解析：通过分析题目里面的代数问题，是关于数值的比例的问题，我们可以联想到用数形结合法里面的直线的斜率来求解。能够代表一个圆形，如图，而表示圆上的点(x，y)与坐标中心O(0,0)两点的连线的斜率的值该代数题目可以转变为图形问题：由图形可知，在点A移动的过程中，直线的斜率不断变化，正好对应题目的意思，在这个过程中直线的斜率先增加后减少，连接AM，则AMOA，可得的最大值为tan AOM3，故选D. （3） 利用数形结合法解与向量有关的最值问题例：平面内有两个单元向量，分别为a,b.这两个向量相互垂直，若存在向量c,使得。那么的最大值是多少？.A1 B. C. 2 D.解析：令a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y), c=(x,y)，因为(ac)(bc), 所以点C的轨迹为圆，|c|=表明圆上点C到原点的距离，其最大值为。 。评析：求函数的最值的办法很多，但当所求函数具有某种几何意义时，其求最值用数形结合的方法比较灵活，可把求函数的最值转化为求直线斜率、直线截距、两点间直线距离等最值问题。用数形结合的方法解具有几何意义的解析式的函数最值，利用它使复杂的题目简单化，抽象的问题形象化，它是优化解题过程的重要方式之一，其转化的关键是要有较强的转化意识。用数形结合法解题的常见步骤：第一步：先把代数式都化成形；第二步：观察图形，寻找解题方案，转化为几何问题；第三步：回归代数问题，得到结果。运用几何意思来处理代数问题我们要熟知常见的几何图形的代数表示，主要有：(1)形如t的比值可联想到直线的斜率；(2) 形如taxby的二元一次式可联想到直线的截距；(3)形如t(xa)2(yb)2可联想到两点间的距离2.11 利用线性规划法求解最值问题。线性规划法是指利用线性规划的基本知识求解函数最值的方法，线性规划求解最值问题，一般有以下几步：由条件写出约束条件；画出可行域，并求最优解；按照指定函数及最优解，求出最值。例2设实数满足求的最大值，并说明理由解析：根据题意分别画出三个个不等式所表示的直线线段。形成的图形如图用几何意义来说明则表示两点确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求在定义域内有两点所确定的直线斜率的最大值。故答案为注：解决本题的关键是理解目标函数的几何意义，当然本题也可设,过点A时，t最大代入，求出，即得到的最大值是三：实际生活中的最值问题。3.1均值不等式解决实际问题例 某软件公司刚研发了一款新的APP产品，需要运营团队配合来推广。经过前期对该地区的熟悉和分析得知：一年内，App的使用量(万次)与投入的成本费（万元）之间的函数关系式为 ，已知研发次APP产品的年固定支出为为万元，当多投入32万元，则可以拉来1万名活跃用户。若每位活跃用户价为“年平均每位用户成本的150%”与“年平均每位用户所占投入成本费的50%”之差，求每年投入多少时，软件公司年利润最大？解设软件公司年利润为万元，由已知条件，知年成本为万元，年收入为万元，则年利润，整理得 由于，因此当且仅当，也就是说，能取到最大值万元3.2二次函数的实际应用利润最大(小)值问题二次函数解决实际问题往往在曲线的顶点或者曲线转折的地方取到最值，因此解决这类问题一定要结合函数的曲线的性质，判断在定义域内是单调递增还是单调递减，是取得极值还是最值，是否是全局的最值等等。对于考察实际问题的解决能力非常有效，同时也与生活联系紧密。例：某商场新推出一款夏季衣服，已知现在该衣服的标价为60元，又确定该衣服进价为每件40，经调查发现，每周可以卖出该款衣服300件，假如把价格上调1元，则每周销量会较少10件，然而要是把价格下调1元，则每周衣服的销量会多出20件，那么如何定价才能使该款衣服的利润达到最大？解：每件调整价格为元，利润变成元，为涨价时的利润，为降价时的利润则： 当，即：定价为65元时，（元） 当，即：定价为57.5元时，（元）综上所述：当该款衣服的定价为65元即比原价多5元时，利润最大，为6250.解题体会：这类问题看似复杂，只要根据题意列出合理的方程，就能很快求出结果。但要注意变量的实际意义。3.3导数的实际应用资源的合理利用例：一个小区的停车场有60个停车位，要是每个停车位的价钱为110元，停车位将全部被占用。如果，对每个停车的车主每次多收10元，那么会有一个停车位会空着，运用所学知识，分析当每个停车位收费多少钱才能使停车场的日利润达到最大，最大是多少？解：设每个停车位每天租金为元，则成本函数为收入函数为：利润函数为: 即求导得 令解得，所以当时，最大利润为 所以当租金为355时，所获利润最大，最大利润为。3.4单调性法实际应用资源的合理利用例：某公司研发一款软件，推广时的初始费用为5000元，项目中的报价跟软件的下载量有关。每推荐下载100次，需要额外增加成本费2500元，研究后，公司决定今年下载量为要达到500次，已知公司的软件的下载量跟公司的利润之间的函数关系式为，其中代表软件被下载的次数，且，表示公司的年利润，求的解析式。并且求当在下载量为多少时，公司的利润最大，并求出最大值。分析：这是实际问题，应注意对关键词句的理解。如”公司决定今年下载量为要达到500次”，故利润函数是关于的分段函数，应分段求解。由题意得当时，故当时，。当时，为减函数，所以，即故当该软件的年下载量为475次时，公司的年利润最大，值为。3.5数形结合的实际应用建桥问题利用例：在某河流的同一旁有甲乙两个牧场，其中甲距离河流的距离是500米，乙距离河流的距离是甲距离河流距离的四倍，河流的宽度同样跟甲距离河流的距离相等，甲牧场距离乙牧场的距离是4000米，现在两牧场商量要在河上建一座桥，为了使投入的费用最少，请运用数学知识，分析桥应该建在河流的哪个地方才能让双方满意。分析：要想让两个牧场都满意，就要使桥距离两个牧场的距离最短.利用两点之间线段最短，通过图形图形可以直观的表示出甲乙两地的最短距离。解：如图所示：如图：做出乙牧场关于河流的对称点乙,然后连接甲牧场与乙,两点形成的直线相交于点D，根据公理，有两点之间线段最短在点建桥最合适,即图中红线所表示的就是所建桥的位置。3.6线性规划法实际应用开销预算类例： 某公司要为希望小学购买一些文具。估算费用为2000元，所购买的物品是单价为50元的书包和单件为30元的课外读物。目的是让购买的书包和课外读物的数量尽可能多，前提是课外读物数要大于书包的数量，但不能比书包多一倍，那么给出合理的方案，求这时候书包和课外读物各是多少？分析：先设出书包、课外读物的数量后，应该注意联系实际，要让设出来的变量有意义。解：设应买x个书包，y套课外读物，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为由解得 A点的坐标为，由解得 B点的坐标为因此，（如图）符合要求的区间是在平面内有形成的三角形区域综上，结果是在可行区间内的最优解，又因为都具有实际意义，所以合理的方案是书包25个，课外读物37套4、 小结最值问题贯穿了我们学习数学知识的始终，不论是学习还是生活都离不开它，因此我们很有必要把它学好，并且掌握好求解最值的一些方法。(1) 当然，上面总结归纳的方法不一定全面，但是对于我们来说，是对中学数学课本的全面的回顾和复习，这个过程本身也是一个进步和提高的过程。关于最值问题，其实需要注意的事项还有很多，比如是否能取到最值，或者说根据实际问题来说，通过我们代数方法得到的最值是否有实际意义，或者是否真的存在，这些问题都需要考虑，需要商量，但是从写这篇论文的过程那个中里面已经贯穿了一些学习方法，学习技巧，和一些思考问题的方式，处理问题的一些思路和常用方式，我想通过题目学习到的方法和思想是最重要的