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不等式理论简史及离散型Hilbert不等式论文摘要本文首先介绍了不等式理论发展的历史，然后引入了离散型Hilbert不等式，介绍了Hilbert不等式的一个初等证明，最后对Hilbert不等式的推广形式作了简要的总结。关键词不等式理论 Hilbert不等式初等证明 权函数AbstractIn this passage,we introduce the history of inequality theory first.Then we introduce the Hilberts inequality with a primary prof.At the end,we make a summary of a series forms of Hilberts inequality.KeywordsTheory of inequality Primary proof of Hilberts inequality Weight function 1 引 言1.1 选题背景 众所周知，不等式理论在数学理论中占有重要地位，它渗透到数学的各个领域，因而有必要对不等式理论的发展历史有一个清晰的认识。Hilbert不等式提出以来，众多数学家给出了各种证明，本文介绍了一个初等证明。同时，总结了Hilbert不等式的各种推广形式。1.2本文的主要内容本文的工作主要有三个方面：（1）、介绍不等式理论的发展历史（2）、介绍Hilbert不等式并给出了一个初等证明（3）、总结Hilbert的各种推广形式2 不等式理论简史和Hilbert不等式2.1 不等式理论简史 数学不等式的研究首先从欧洲国家兴起, 东欧国家有一个较大的研究群体, 特别是原南斯拉夫国家。目前,对不等式理论感兴趣的数学工作者遍布世界各个国家。在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式. Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。20 世纪 70 年代以来 , 国际上每四年在德国召开一次一般不等式 ( General Inequalities) 国际学术会议 , 并出版专门的会议论文集。不等式理论也是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The ThirdWorld Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一。2000 年和 2001 年在韩国召开的第六届和第七届非线性泛函分析和应用国际会议 ( InternationalConference on Nonlinear Functional Analysis andApplications) 与 2000 年在我国大连理工大学召开的ISAAC都将数学不等式理论作为主要的议题安排在会议日程之中。2001 年的不等式国际会议 IN EQUAL IT IES于 2001 年 7 月 9 日至 14 日在罗马尼亚 University of t heWest 召开。历史上 , 华人数学家在不等式领域做出过重要贡献 ,包括华罗庚、樊畿、林东坡、徐利治、王忠烈、王兴华等老一代数学家。最近几年我国有许多数学工作者始终活跃在国际数学不等式理论及其应用的领域 , 他们在相关方面做出了独特的贡献 , 引起国内外同行的注意和重视。例如王挽澜教授、石焕南教授、杨必成教授、高明哲教授、张晗方教授、杨国胜教授等。20世纪80年代以来在中国大地上出现了持续高涨的不等式研究热潮。 20世纪80年代杨路等教授对几何不等式研究的一系列开创性工作，将我国几何不等式的研究推向高潮；在代数不等式方面，王挽澜教授对Fan ky不等式的深人研究达到国际领先水平。祁锋教授及其所领导的研究群体在平均不等式及其他不等式方面取得了大量而系统的前沿研究成果；对分析不等式，胡克教授于1981年发表在中国科学上的论文一个不等式及其若干应用5，针对Holder不等式的缺陷提出一个全新的不等式，被美国数学评论称之为一个杰出的非凡的新的不等式，现在称之为胡克(HK)不等式。胡克教授对这个不等式及其应用作了系统而深刻的研究。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次。对于数学专著来讲 , 这是少有的现象。第二本较有影响的专著是王松桂和贾忠贞合著的矩阵论中不等式。另外 , 国内还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。对Hilbert不等式，是由Hilbert 在他的积分方程的讲座中提出。 此后，许多著名数学家如Feier(1921)，Framcis，Littlewood (1928)，Hardy (1920)，Hardy-Littlewood-Polya(1926)，Mulhoand(1928，1931)，Owen(1930)，Polya和Szegb，Schur(1911)，F. Wiener (1910)等都做出过贡献。为此，Hardy等在文献1中的第9x章中专门讨论Hilbert不等式及其类似情形和推广。 20世纪90年代以来，我国一大批学者如徐利治，杨必成教授等对Hilbert不等式及其类似情形和推广的研究取得了举世瞩目的成果。由于这些结果在理论和实际运用方面都有重要意义，引起一系列广泛研究，当中取得各式各样的进展，成果在众多报刊杂志上被发表。综上所述 , 数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。2.2 Hilbert不等式的初等证明 命题1 （Hilbert 不等式）如果 、 是平方可和实数列，则二重级数 是收敛的，且 （1）不等式严格成立，等式成立当且仅当 、 恒为零，（1）式中 是最优的。 命题一的证明须应用两个引理。 引理一 对每一个正数m，有 = 因此， 1，有 。证明 设 表示直线 和直线 （n0，1，2，m1）的交点， 表示扇形 的面积（如下图2）， 则显然有 下证Hilbert不等式中的 是最优常数，考虑序列： ，当 时， 0，当 时，这里k是自然数，则 （由引理2） （ ）因此 因此， 是Hilbert不等式中的最优常数。至此完成了Hilbert不等式的初等证明。2.3 Hilbert不等式的推广 Hilbert提出不等式 （1） （2）后，Hardy把这些结果扩展，他得出了如下不等式 （3） （4）在这里， ， 0， 1，且p q1。不等式（3）（4）被成为HardyHilbert重级数不等式，且等号成立当且仅当 、 恒为零。多年以来，很多数学家对Hilbert不等式进行了研究，得到了一系列的成果。下面简单回顾一下这些研究的历程。先介绍在Hilbert最原始的不等式基础上取得的成果，然后再展示在Hardy-Hilbert不等式上的一系列成就。1990年，L.C.Hsu et al仔细分析Hardy最初的方法技术，引入一个权函数w(n)= ，得到了改进后的不等式: (5)不久，Hsu和王把权函数精简为 ，寻找能使式(5)成立的最大可能值的问题被提及。稍后，L.C Hsu和高明哲使用不同方法得出的下确界，=1.281+接着得到了的上确界(=1.4603545+)，从而使问题得到解开。至于不等式(2)，高明哲作了改进, w(n)= (n)q0(n=1,2,)。然后高应用了Euler公式对权函数w作出估计:w(n) ,=17/20类似地，在Hardy-Hilbert不等式上得到一些新结果。在研究Hardy-Hilbert不等式(3)的过程中，含参数n的求和式的值被估算，如 同是1990年,Hsu和Guo率先引入权函数: 不等式(3)拓展为 然后，权函数被Hsu和高明哲改进为 ，两年以后，高再给出权函数的精确形式: 再不久，杨和高得到 的一个下界，也就意味着，在权函数方面取得一个更好的结果： c是Euler常数，而(1-c)被证明为使不等式成立的最佳常数，高明哲证明了 的一个上界是: (t)=t-t-1/2而 被估计为 若 ，不等式不再成立，问题得到完全解开。有关不等式(4)，杨必成得到如下较好的结果: ，r=p,q,c是常数。1998年，杨必成和Debnath给出了另一形式的带权函数的Hardy-Hilbert不等式： 除了上面所述以外，杨还有以下结果: 若把s(n,r)在上述表达式变为 ，会得到另一些结果.21世纪初，谭立通过引入一个形如 的权系数改进了不等式(3)，若， 那么， /1920(0x=ln2-13/48+q当中x1)，它是与r无关的最佳常数。并得到下面推论：设 ，当q充分大时，有 当中 引进适当的参数会使学习和研究对象更具概括性，也是常用的一种方法。在此部分，总结一下具广义性的含参数形式的Hilbert不等式.最近，就关于离散形式的Hilbert不等式，杨必成先引入参数A,B及从而不等式(1)得以拓展，他建立了如下新的不等式： 0,02,B(p,q)是beta函数而常数 是最佳，杨更得到如下结果： 0, ,02， 也被证明为最佳。对不等式(4)，杨和Debnath给出一个推广： ,常数 = 为最佳,其中，2min(p,q)1,1/p+1/q=1,1/2min(p,q),2/1,+0)的齐次函数。若在(0,+)上有四阶连续微商，当n=1,2,3,4, ，当m=0,1,y p，q,+那么 0,r=p,q。更新的是，考虑不等式(3)和(4)，杨和Debnath建立了含参数A,B,的新不等式： 常数因子3 为最佳。特别的，(1) =1,A,B0 (2) =2,A,B0 (3) 2-minp,q2,A=B=1, 以上的常数因子都是最佳。以另外方式引入参数，杨得出以下结果: 常数因子/(sin/p)为最佳。特别地，(1) =1, (2) p=q=2, 以上不等式的常数因子都是最佳。再新，匡继昌建立一个新的Hilbert不等式的一般形式 1/p+1/q=1,对每个正整数N+,N=+,定义： 若1p+，则 若0p1，不等式就反置。基于以上结论，得到一些重要的推论：推论1 假设如上述，则 推论2 假设如上述， 类似定义，若1p+，则 若0p1，不等式就反置推论3， 定义： 如果01, 被 替代，则不等式反号。特别的，当 ，以下不等式成立： 有关应用新不等式再推广：1992年，胡克建立一个形式美观的不等式: 此为Hilbert不等式理论的一个新延拓。胡克利用一些他得到的基本的不等式再得出一些好的结论，例如 证明了 A是一个实数1996年，胡克得出带参数的一般性的结论。特别的，当=1/2，有 当=1，有 若0且为非负整数，胡给出以下结果： 这同时是Hilbert不等式和Ingham不等式的推广。当是正整数，胡给出 当0,1,2,，胡最近证明了 这为Polya-Szego不等式的一个推广1999年，高明哲利用正定矩阵得到新的不等式： 再利用此不等式得到一个更强的新不等式： 不久，他又用此式证明了下面的不等式： 函数s(x)定义为 21世纪初，姚金斌利用了改进后的Cauchy不等式，对杨必成给出的一个结果： 作了改进。为了方便，先作以下的符号假设： (n)q-pw(n)=是单位向量且具有以下性质：g 线性无关g,b,a他有以下结果：若 则， 为g定义函数=1g 当m=n=1,=0g nN,m当m,n同是21世纪初，杨乔顺利用改进了的Holder不等式和权函数的方法，给不等式(4)一个新的推广，为方便起见，介绍一些符号： 如果 那么 当中 g定义函数=1,当, m=n=0g=0,当 ,m,n不同时为0g也可以由此得出下面推论：若 那么 当中 值得特别注意的是胡克的推广，二十几年前，胡克建立一重要的不等式： 最近，他再得到一个新的不等式：令 若有 则有 当中， 特别的，如果 ，则 当p=2，上面就为Holder不等式的推广。显然，用这些结论去对不等式(1)-(4)进行估计会得到一些新的结果。我们相信将来更多Hilbert不等式的推广延拓将继续出现。3 总 结本文主要介绍了不等式理论发展历史和Hilbert不等式，完成了以下工作：第一， 本文回顾了不等式理论发展的历史，并介绍了中外数学家在不等式理论发展中进行的研究和贡献。第二， 本文介绍了Hilbert不等式的形式并给出了一个初等证明。第三， 本文总结了中外数学家对Hilbert不等式进行的推广。参考文献:1 J. KUANG，常用不等式，Applied inequalities. Second edition. 1993.2HARDY G H,LITILEWOOD J E,POL YA G.InequalitiesM.Cambridge,UK:Cambridge Univ.Press,19523HE Le-ping,GAO Ming-zhe,WEI Shang-rong.A Note on Hilberts Inequality,Mathematical Inequalities &ApplicationsJ.CroaTia,2003,6(2)4YANG Bi-cheng.A New Inequality Similar to Hilberts Inequalities in Pure and Applied Mathematics,2002,3(5)5GAO Ming-zhe,WEI Shang-rong,HE Le-ping,On the Hilbert Inequality with WeightsJ.Zeitschrift fur Analysis Und ihre Anwendungen,2002,21(1)6GREUB W H.Linear AlgrbraM.Berlin:Springer Velag Press,1963.7ZHANG Nanyue.Euler-Maclaurin Summation Formula and Its ApplicationJ.Math.in Practice and Theory,19858HE Le-ping,GAO Ming-zhe JIA Wei-jian.O