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数字信号处理DigitalSignalProcessing 第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计 基本内容数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器其他类型数字滤波器设计 6 1数字滤波器的基本概念 1 定义数字滤波器是指输入 输出均为数字信号 通过一定的运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件 2 数字滤波器的分类 经典滤波器 即指一般滤波器 只能滤除不与信号混叠的杂波 现代滤波器 可按统计规律 用随机处理的方法 从干扰中最佳的提取有用信号 包括 周期非正弦波 带通滤波器 各种模拟滤波器的幅频特性 从功能上分 理想低通 高通 带通 带阻滤波器幅度特性 低通 高通 带通 带阻 各种数字滤波器的幅频特性 我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器 假设数字滤波器的频率响应H ej 用下式表示 3 数字滤波器的技术要求 低通 通带截止频率 3dB截止频率 阻带截止频率 幅频特性 相频特性 幅频特性表示信号通过滤波器后各频率成分衰减的情况 相频特性表示各频率成分信号通过滤波器后在时间上的延时情况 对相同的输入信号 如果滤波器幅频特性相同 而相频特性不同 得到的输出信号也不同 若想对每个频率成分信号的延时都一样 需要采用线性相位滤波器 选频滤波器的技术指标 通带内和阻带内允许的衰减一般用dB表示 通带内允许的最大衰减用 p表示 阻带内允许的最小衰减用 s表示 p和 s分别定义为 6 1 3 6 1 4 如将归一化为1 6 1 3 和 6 1 4 式可表示成 4 数字滤波器设计方法 思考题数字滤波器的优点及与模拟滤波器的区别 低通滤波器的通带范围 阻带范围 过渡带范围 IIR滤波器 6 2模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 且有若干典型的模拟滤波器供我们选择 如巴特沃斯 Butterworth 滤波器 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 椭圆 Cauer 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器等 这些滤波器都有严格的设计公式 现成的曲线和图表供设计人员使用 各种理想模拟滤波器的幅频特性 一 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 对于单调下降的幅度特性可表示为 设计指标 p s 通带截止频率 阻带截止频率 通带最大衰减 阻带最小衰减 处幅度归一化 滤波器的技术指标给定后 需要设计一个传输函数Ha s 希望其幅度函数满足给定的指标 p和 s 图中称为3dB截止频率 注 关键问题由给定指标确定传输函数 方法 利用典型的传输函数 巴特沃斯幅度特性和N的关系 通带有最大平坦的幅度特性 阻带单调下降 N越大 幅度下降越大 过渡带越窄 通带 阻带特性均为下降趋势 针对讨论频率特性 二 巴特沃斯模拟低通滤波器的设计方法 1 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 该式说明幅度平方函数有2N个极点 极点sk用下式表示 Sk等间隔分布在半径为的圆上 间隔为 为形成稳定的滤波器 2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha s 而右半平面的N个极点构成Ha s N 3 取s左半平面的极点s0 s1 s2组成Ha s 为使设计统一 将所有的频率对归一化 归一化后的Ha s 表示为 令 归一化频率 归一化复变量 归一化极点 2 设计方法 1 根据技术指标确定阶数N 2 求归一化极点pk 将其代入归一化传输函数Ha p 3 或查表得归一化系统函数Ha p 4 确定 c 将p s c代入Ha p 得实际的滤波器传输函数Ha s 3 设计方法说明 1 由技术指标确定N 处幅度归一化 ksp sp 阻带指标有余量 通带指标有余量 2 确定 3 根据N查表得归一化系统函数 4 将代入 去归一化得系统函数 例6 2 1设计一个巴特沃斯低通滤波器 要求通带截止频率fp 5kHz 通带最大衰减 p 2dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 30dB 求Ha s 解 1 确定阶数N 取N 5 2 由确定归一化极点 归一化函数为 或由N 5查表得极点 式中 3 将Ha p 去归一化 需先求 计算出的阻带截止频率比题目给的小 因此过渡带小于要求的 或者说 在时衰减大于30dB 所以说阻带指标有富裕量 查表得 fs 12kHz 按通带确定 将 注 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线 无论在通带还是在阻带都是频率的单调函数 因此当通带边界处满足指标要求时 通带内肯定会有余量 这样 更有效的设计方法是将精确度均匀的分布在整个频带内 从而可用阶数较低的系统满足要求 这可用具有等波纹特性的切比雪夫滤波器实现 三 切比雪夫 型滤波器的设计方法 切比雪夫 型滤波器幅频特性 1 幅度平方函数 为小于1的整数 表示通带内幅度波动的程度 p称为通带截止频率 令x p 称为对 p的归一化频率 切比雪夫 型滤波器幅频特性 CN为N阶切比雪夫多项式 针对讨论频率特性 高阶切比雪夫多项式的递推公式 CN 1 x 2xCN x CN 1 x 当N 0时 C0 x 1当N 1时 C1 x x当N 2时 C2 x 2x2 1当N 3时 C3 x 4x3 3x 令 称为对的归一化频率 CN x 称为N阶切比雪夫多项式 切比雪夫多项式特性 1 切比雪夫多项式的过零点在 x 1的范围内 2 当 x 1时 CN x 是双曲线函数 随x单调上升 N 0 4 5切比雪夫多项式曲线 与三个参数有关 1 2 3 已知 可以求出 过度带窄 图6 2 7切比雪夫 型与巴特沃斯低通的A2 曲线 2 切比雪夫 型滤波器设计步骤 p 1 确定技术指标 求滤波器阶数N和参数 k 1 2 3 N 1 求归一化系统函数 即极点为一组分布在椭圆上的点 3 去归一化求系统函数 例 设计低通切比雪夫滤波器 要求通带截止频率fp 6kHz 通带最大衰减 p 3dB 阻带截止频率fs 12kHz 阻带最小衰减 s 25dB 解 1 2 求归一化系统函数 k 1 2 3 N N 3 3 去归一化求系统函数 切比雪夫滤波器分母多项式的系数表 6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器 仍是因果稳定的 一 由模拟滤波器转换成数字滤波器的要求 2 数字滤波器的频率响应能模仿模拟滤波器的频响 即 S平面的左平面应对应于Z平面的单位圆内 即 S平面的虚轴映射Z平面的单位圆 响应的频率之间呈线性关系 二 脉冲响应不变法原理 该方法是使数字滤波器的单位取样响应h n 模仿模拟滤波器的冲激响应ha t 即 h n ha nT T为抽样间隔 H z ZT h n 1 设模拟滤波器系统函数Ha s 2 将Ha s 进行拉氏逆变换得到ha t 三 设计方法 si为Ha s 的单阶极点 3 对ha t 进行等间隔采样 采样间隔为T 得到 4 对上式进行Z变换 得到数字滤波器的系统函数H z 四 转换特点 五 S平面和Z平面的映射关系 取样信号 Z S平面对应关系的具体体现 S平面 Z平面 r 图6 3 1z esT s平面与z平面之间的映射关系 六 数字滤波器和模拟滤波器频率响应的关系 图6 3 2脉冲响应不变法的频率混叠现象 如果原模拟信号ha t 的频带不是限于 则会在的奇数倍附近产生频率混叠 七 优缺点 缺点 可能产生频率混叠现象 若用此法设计高通 带阻滤波器 需要预先加保护滤波器 优点 频率坐标变换是线性的 时域特性逼近好 例6 3 1已知模拟滤波器的传输函数Ha s 为 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成数字滤波器的系统函数H z 解 将Ha s 展开成部分分式 极点为 H z 的极点为 代入H z 的表达式 选取采样间隔T 1s和T 0 1s 分别得到将的幅度特性用它们的最大值归一化后 如图6 3 3所示 T 1s时 产生失真 P182 6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 一 设计原理 是一种非线性频率压缩方法 将整个频率轴上的频率范围压缩到之间 再用转换到 平面 设Ha s s j 经过非线性频率压缩后用Ha s1 s1 j 1表示 且用正切变换实现频率压缩 当 二 S与Z平面的关系 三 模拟频率 和数字频率 之间的关系 令s j z ej 并代入 图6 4 2双线性变换法的频率变换关系 四 优缺点 优点 克服了频率混叠现象 缺点 频率非线性关系 会带来幅度响应和相位响应的失真 适于片断常数滤波器设计 P176幅频特性为常数 1 确定数字低通滤波器的技术指标 p p s s 2 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标 3 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 五 数字滤波器设计步骤 4 将模拟滤波器Ha s 从S平面转换到Z平面 得到数字低通滤波器系统函数H z 对于双线性变换法 阶数高时将H z 整理成需要的形式也不是一件容易的事 为简化设计 已将模拟滤波器各系数和双线性变换得到的数字滤波器的各系数之间关系 列成表格供设计使用 表 5 采样间隔 的选择 脉冲响应不变法避免出现频率混叠要求模拟低通滤波器带限于 而实际滤波器有一定宽度的过渡带 可选择 若先给定了数字低通的技术指标 由于以为周期 最高频率在处 按线性关系 一定满足 这样 可任意选择 一般选 双线性变换法不存在频率混叠现象 尤其对于片段常数滤波器设计 可以任意选择 例6 4 2设计低通数字滤波器 要求在通带内频率低于0 2 rad时 允许幅度误差在1dB以内 在频率0 到 之间的阻带衰减大于15dB 指定模拟滤波器为巴特沃斯低通滤波器 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计数字低通滤波器 解 用脉冲响应不变法设计 数字低通的技术指标为 模拟低通的技术指标为 设计巴特沃斯低通滤波器 a 先计算 及3dB截止频率 将代入 得此值小于 满足通带技术指标 同时给阻带衰减留一定余量 可防止混叠 N 6 查表得 b 去归一化 将代入上式 用脉冲响应不变法将Ha s 转换成H z 脉冲响应不变法适合于并联型网络结构 数字低通的技术指标为 模拟低通的技术指标为 用双线性变换法设计 设计巴特沃斯低通滤波器 a 先计算 及3dB截止频率 b 查表6 2 1得到归一化传输函数Ha p 与脉冲响应不变法结果相同 去归一化后得 将代入 得此值小于 满足阻带技术指标 同时给通带衰减留一定余量 用双线性变换法将Ha s 转换成H z 6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 模拟低通 数字化 数字各型滤波器 一 设计步骤 3 将所需设计模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 4 设计模拟低通滤波器 5 将模拟低通通过频率变换 转换成所需类型的模拟滤波器 6 将所得到的模拟滤波器转换成所需设计的数字滤波器 1 确定所需设计数字滤波器的技术指标 高通 带通 带阻 2 将所需设计数字滤波器的技术指标转换成相应类型模拟滤波器的技术指标 双线性变换法脉冲响应不变法 同类型数字到模拟的转换 其他类型模拟到模拟低通的转换 模拟低通到其他类型模拟的转换 同类型模拟到数字的转换 由于存在频率混叠问题用的较少 模拟滤波器的频率变换 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计 为了防止符号混淆 先规定一些符号如下 二 低通到高通的频率变换 和 之间的关系为 低通与高通滤波器的幅度特性 低通 高通 特性曲线的对应关系 1 确定高通滤波器的技术指标求出归一化频率 设计步骤 4 归一化高通传输函数 3 设计归一化低通滤波器系统函数 5 求模拟高通的H s 2 确定相应低通滤波器设计指标 4 5步可以合并 P189例6 5 1 带通与低通滤波器的幅度特性 通带上限频率通带下限频率通带带宽下阻带上限频率上阻带下限频率通带中心频率 三 低通到带通的频率变换 特性曲线的对应关系 对应3dB频率点 与 的对应关系 归一化频率 与 的关系 P j q j 所求的带通函数 归一化低通函数 2 设计步骤 1 确定模拟带通技术指标 归一化边界频率 2 确定归一化低通技术指标 3 设计归一化低通G p 4 将G p 转换成带通H s s与 s的绝对值可能不相等 一般取绝对值小的 P191例6 5 2 四 低通到带阻的频率变换 图6 2 11低通与带阻滤波器的幅频特性 l下通