初中数学竞赛中的轮换对称式求值问题.pdf

2 中等 数学 叙嗲活劫镙超讲雇 初中数学免赛中的轮换对称式求值抑题 沈毅 四川省成都市第七中学初中学校 中图分类号 丨丨文献标识码 文章编号 丨 本讲适合初巾 所谓轮换对称式 是指将代数式中的变量按 照任意次序轮换后代数式不变 如 注意到 轮换对称式极具数学美感而与其相关的求值问 题对代数恒等变 形技巧要求颇高 已成为近年来 士 初中数学竞赛考查的热 点本文讨论这类问题求 解的 一些常用方法 常用公式 故 一 例题选讲 一 因式分解 丄 附 例已知实数 满足 例若正数 满足 酷 幸 分析 因为式 分母无公因式 是不好处理 求代数式 的一个条件 所以 选择从式 的变形入手 解由题中条件知 收稿 期 的值 2014年第 期 解 注意到 解将 视为主元 则 以 一 故 类似地 类似地 从而 点评 运用主元的本质是实现消元化三元 为二元进而达到局部分拆代数式的效果 叠加 故 例已知实数 满足 求 巧卞 的值 分析 题目中出现了连等结构 可联想到赋 由于 为正数 因此 值法的运用 解设 一 故 中必有两个数的和等于第二个数 不妨设 则 上述四式相加得 若 欠 则 故 二 若 则 点评 因式分解是代数式恒等变形常用的 一种方法 但如何在轮换对称式中运用因式分解 则需要观察代数式的对称性 构造出可重复利用 的因式 利用主元 例设士 求代数式 的值 叠乘 例 已知正实数 满足 4 中 等数学 求 的值 求 的值 分析 注意到条件的三个 等式中均有町 解如图 以 为端点 不妨将 作为参数变形 作射线 使 解 记 则 设线段 的长分 别为 上述三式相乘得 由余弦定理得 与 不合题意 舍去 将代人方程组 解得 故仙 与 么 因此 利用非负数的性质 又 例巳知头数 满足 无 求 的值 因此外尸 找 分析 题目中出现很多偶数次方 但分别配 点评 一些代数式 的结构容易使解题者联 方又不可行 故选择叠加后再配方 想到勾股定理 余弦定理 海伦公式等 一些在几何 解题中三个方程相加得 中常用的定理 公式 可试图将代数式的求值问题 转化为几何 计算 问题解决 换兀法 例若厂 求 代数式的值 一 利用非负数的性质得 解 叫 一 则 卜 厂 觀 故 或 故 利用代数式的几何意义 例 已知正实数 满足 2014年第 期 当 的变形加以换元 练 习 题 已知 若则 求 一 的值 提 由 丄 丄 玖 若 则 三式相加得 手 已知实数 满足 例已知士到 且 丄 丄 丄 的 求 的值提示 将三个条件式相乘得 解由题意得 丄丄 巳知互不相等的实数 义一满足 求的值 则式 可化力 提示 由题设式消去 得 若 则 稀 于是 与 丄 已知 满足 龙梓救才 一 一 的值 点评 换元法的本质是整体思想 解题者应 观察题目中不好处理的部分进行换元 或通过适提示 注意到 6 中 等数学 线代数观点下的 一 告竟赛別题 付云給 广州大学数学与信息科学学院 级博士研究生 中图分类号丨文献标识码 文章编号 本讲适合高中 的元素个数等于向量内积再结合题目中涉 数学竞赛题目的命制 一部分是具有高等数学 及奇数偶数可考虑数 域 上的维线性空间 背景的初等问题 近年来 高等数 学中的 一些 按此法将集合為 对应成 定理和思维方式已成为了命题者的命题源泉 本 后 问题转化为 文主要讨论 一些 与线性代数相关的竞赛问题 例设 为正整数 为数域 先来看 一道经典题 上的 维线性空间 上的 一些 向量 且每个 例设为正整数 集合奉 为 均满足 义证明 存在 各 使得 的 一些子集 且元素个数均为奇数 证明 存在 各 使得也含有 奇 根据向量内积与加法的分配律可联想到 若 数个元素 存在 一些 的和为零向量 则可将 其中 的任何 一 分析 存在性问题往往想到反证法 但对本 个向量乘以此和的内积打开结合反证法证明存 题采用反证法之后却无从下手 看起来集合次有 在题述的 由此得到下面的证明 奇数个元素与木 七 有偶数个元素不容易产生 证明由于 为 维的线性空间且其中的 矛盾可换 一 个角度考虑若将集合木 对应成 个向量必然线性相关 因此 数域上存在 维线性空间 的一个向量 其中若 木 则的 不全为零的元素 使得 第个分量为 否则 的第个分量为于 是 集合的元素个数等于 丨丨 七 今