PCT变换的量子形式.doc

PCT变换的量子形式上节我们讨论了连续对称变换的量子形式，得到了量子场论的Noether定理，守恒量是连续对称变换的生成元。这一节，我们将讨论经典场论中不连续的PCT变换的量子形式。1.空间反射变换空间反射变换的定义为：，由2.5节的讨论知，在上述变换下，标量场，狄拉克场，电磁场分别作如下变换。（1）量子化后，场量变成算符，场算符的本征变换可以用一个粒子空间的幺正算符P来实现其中，则（1）中诸式可写成：（2）据此，我们可以导出粒子产生与消灭算符及粒子的态失量在空间反射下的变换规律。a）标量场标量场算符在空间反射下的变换规律为：场算符的平面波展开式为：由此可得：而两式相等，要求，（3）取厄米共轭得：，（4）这就是标量粒子算符在空间反射下的变换规律，动量为的粒子消灭或产生算符，空间反射后，变为动量为的消灭或产生算符。反粒子也一样，号取决于粒子的宇称，正反粒子宇称相同。对于态失，如（5）这里假定，即真空是空间反射不变的。上式表明，动量为的粒子、反粒子态，在空间反射变换下，变成动量为的粒子、反粒子态。b）狄拉克场。在空间反射变换下，狄拉克场的变换规律为：场算符的平面波展开为：由此得：（6）在标准表示中，则这样，（7）与（）式相等要求（8）取厄米共轭得：（9）这就是狄拉克粒子算符在空间反射变换下的变换性质，动量为的粒子，反粒子的产生与消灭算符在空间反射变换下，变成动量为的产生与消灭算符，正反粒子的宇称相反。由此可导出粒子态失的变换规律为：（10）即动量为的粒子、反粒子态，在空间反射下，变成动量为的粒子反粒子态。c）光子场在库仑规范下，场算符的变换为：，。场算符的平面波展开为：由此可得：（11）极化矢量，在空间反射下，保持右手螺旋关系不变，如下图示。可见，这样，（12）与相等，要求：（13）这是光子算符在空间反射变换下的变换规律，动量为的光子产生或消灭算符，在空间反射变换下，变为的产生或消灭算符。态失的反射规律为：（14）以上是线偏振=1，2的情况，定义圆偏振算符则由（13）得：（15）（16）即在该情况下，光子的动量变成，右旋极化光变成左旋极化光，反之左旋极化光变成右旋极化光。2.电荷共轭变换在电荷共轭变换下，各种场量作如下变换，（17），。量子化后，变为算符，其本征变换可用幺正算符q来实现，即（18）则（17）诸式可以变写成，由此可导出粒子算符和态失的变换规律。a）标量场在电荷共轭变换下，场算符的变换为：（19）场算符的平面波展开为：由此可推知：，（20），可见，在电荷共轭变换下，正粒子变成反粒子，反粒子变成正粒子正反粒子变换。b）狄拉克场在电荷共轭变换下，场算符的变换为：（21）用平面波展开有：（22）在标准表示中，则（23）其中表示自旋的两种不同取向。上式的证明如下：（注：）则，故，这样。同理。故这样（24）与相等，要求：（25）（26）这表明，电荷共轭变换使正费米子变成反费米子，而反费米子变成正费米子。而且自旋取向反转。c）光子场在电荷共轭变换下，场算符的变换为：在洛仑兹规范下，场算符的平面波展开为：与相等可推得：（27）这表明，光子态是电荷共轭变换的本征态，本征值为-1，光子没有反粒子，其电荷共轭宇称为负。3.时间反演变换时间反演变换定义为：，场量的变换为：（2.5节）（28）作为算符，时间反演变换可由一反幺正算符来实现。其中u是粒子表示空间的幺正算符，l是变数之算算符。即，如：时间反演的算符，是反幺正的。而不是幺正的。原因在于正则对易关系，如。在时间反演变换下应是不变的。由上式有：（）因此若要求对易关系在时间反演下不变，就要求。亦即这样在时间反演变换下，（28）诸式将变为：由此可以推出粒子算符和态失的变换规律。a）标量场在时间反演变换下，标量粒子的场算符变为：场算符的平面波展开为：则有：由此可推知：，即在时间反演下，粒子的动量变成了。b）狄拉克场在时间反演变换下，狄拉克场算符的变换为：其平面波展开为：则：在标准表示中则故，其中，则，这样同理：亦即：这样。与相等可推得：，这表明，在时间反演变换下，费米子的动量改变方向，自旋取向也倒转。c）光子场在时间反演变换下，光子场算符的变换为：而平面波展开为则而由于即：故与相等可推得： 可见在时间反演变换下，光子的动量改变方向，而偏振方向不变。不同极化的光子，时间宇称是不同的。=1的光子是正时间宇称，=2的光子是负时间宇称。在圆偏振的情况下，则可见在时间反演变换下，光子的动量要改变方向，极化状态不变，而左旋，右旋光子的时间宇称是相同的。3.9 相对论性的对易关系正则量子化时，正则坐标和正则动量的对易关系为：对于玻色子场，对于费米子场，上式中的对易关系要换成反对易的，即：，这些对易关系的一个重要特点是：它们都是等时的，即对易式中，两正则变量中的时间是相等的。从相对论的观点来看，等时是非相对论性的。在一个坐标系中是等时的客体，在另外的坐标系中就会是不等时的，所以，上述的等时对易子是非相对论的，是不够完美的。因此我们需要讨论非等时的，相对论性的对易关系，为此，我们定义标量场，旋量场，电磁场的对易子为：（1）下面我们来具体求一下，上述对易关系的表达式。1.标量场标量场算符的平面波展开为：代入（1）式得：（可取正，负）其中，阶跃函数下面来证明：由于：则这样，标量场算符的对易关系为：（2）2.旋量场旋量场的平面波展开式为代入（1）式得：由此可知，旋量场算符的对易关系为：（3）3.矢量场。矢量场的平面波展开式为：代入（1）式得：由此可知，电磁场算符的对易关系为：（4）4.对易子的性质和特点。由（3），（4）两式可知，旋量场与矢量场算符的对易子与标量场对易子有线性联系，所以它们对易子的性质和特点是相同的。都由标量场算符的对易子（5）决定。上式右边有四个因子。其中指数因子中的是两四维矢量和的标积，是洛仑兹变换下的不变量，函数中的是矢量与的标积，也是洛仑兹变换下的不变量，而使，亦即，所以是类时空间的四维矢量，这样，在洛仑兹变换下（正时，用右洛仑兹变换），的正，负不变，因此的正，负在洛仑兹变换下也不变。另外在洛仑兹变换下，其中J是雅克比行列式，它等于，其中，A为洛仑兹变换矩阵。所以，用右洛仑兹变换，这样对易子是洛仑兹变换下不变的