向量解答题选.doc

向量解答题选讲1、设，是两个垂直的单位向量，且，.若，求的值； （2）若，求的值。解（1） =m 即 解得：m=-2， （2）， =0，即 -2+=0 2、如图，在RtABC中，BAC=90，A（，1）、B（，1），SABC=（平方单位），动点P在曲线E（y1）上运动，若曲线E过点C且满足|PA|+|PB|的值为常数.（）求曲线E的方程；（）设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解（）解：|AB|=2，SABC=|AC|AB|=，|AC|=1.但|BC|2=|AC|2+|AB|2，从而|BC|=3 .又|PA|+|PB|=|AC|+|BC|=42，P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y1）上. 曲线E的方程为6分（）设直线l：y=x+m ,代入E的方程，消x ,可得3y2-2(m+2)y +m2-2 =0 .令f(x)= 3y2-2(m+2)y +m2-2 .方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有解之，得. 9分设PQ的中点为M（x ,y ），P、Q两点的坐标分别为P（x1 ,y1）,Q（x2 ,y2）,将m=3y-2代入y=x+m得y =即为M点的轨迹方程.12分3、设有向量，与的夹角为1， 与的夹角为2，且的值.解： 4分7分10分因，从而12分4、如图，已知RtPAB的直角顶点为B，点P（3，0），点B在y轴上，点A在x轴负半轴上，在BA的延长线上取一点C，使|AC|=2|AB|. （1）当点B在y轴上移动时，求动点C的轨迹C； （2）若直线l：与轨迹C交于M、N两点，设点D（1，0），当MDN为锐角时，求k的取值范围.解（1）设，2分，所求轨迹为抛物线（去掉原点）.5分（2）设，由条件D（1，0），为锐角， . 又 代入整理得8分由 . 10分又 综上有12分5、已知，且与之间满足关系：，其中k0.（1） 用k表示（2）求的最小值，并求此时与夹角的大小.解：（1） 两边平方，得 (3分)即：= ，= (6分) （2）k0，从而，的最小值为， (9分)此时，即与夹角为 (12分)QlPF6、如图，定直线l是半径为3的定圆F的切线，P为平面上一动点，作PQl于Q，若|PQ|=2|PF|.（）点P在怎样的曲线上？并求出该曲线E的标准方程；（）过圆心F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且， 求点A、B的坐标.解：（）F为定点，l为定直线，由椭圆第二定义可知，P点在以F为左焦点，l为左准线的椭圆上.2分依题意知4分曲线E的标准方程为.5分（）设8分又A、B都在椭圆上，11分12分7、已知向量;求函数的最小值.若解：2分 6分 当且仅当取得最小值12分当时，当县仅当时，取得最小值1，这与已知矛盾；当时，取得最小值，由已知得；当时，取得最小值，由已知得解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.12分8、抛物线方程，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边. （1）求证：直线与抛物线总有2个交点；（2） 设直线与抛物线交点为A、B，且OAOB，求P关于t的函数f(t)的表达式（3） 在（2）的条件下，若t变化，使得原点O到直线AB的距离不大于，求P的取值范围.解（1）证明：抛物线的准线(1分)由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线的右边得： 即4t+p+40 （2分） 由 p0 4t+p+40 =（2t+p）24（t2p）=p（4t+p+4）0 （4分）故直线与抛物线总有2个交点 （5分）（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程的2个根，由根与系数关系得：（7分） OAOB KOAKOB=1 即x1x2+y1y2=0 （8分）又A、B在直线x+y=t上 y1=tx1 y2=tx2 x1x2+y1y2=t2（t+2）p=0 由P0，及4t+p+40 得：（9分） f(t)的定义域为（2，0）（0，+） （10分）（3）解：由已知得：由知x2且t0 （11分）又（12分）令u=t+2 则在1、2上是减函数，在（2，3上是增函数 从而或 当 当(13分)综上所述，P的取值范围是（14分）9、已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（）（I）若求角的值；（II）若的值解：（I）， ，. 由得. 又.（II）由又由式两分平方得 10、已知向量，其中O为原点，实数满足：，求实数的取值范围。解：2分= 8分由已知得：又即10分所以或 12分11、在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设向量，且向量为单位向量。（）求A的大小； （）求的值.解：（）由题设：， 3分，所以. 6分（）由（）得： 原式 9分=2 12分12、已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一交点分别为，求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标解：设，因为三点共线，所以，即，即，求出-4分同理可求出，-6分又因为设直线过定点，则点共线，所以，即，即，即，-10分所以由削去-12分上式对任意恒成立，所以得到所以所求的直线恒过定点-14分13、设、是两个不共线的非零向量（tR） 若与起点相同，t为何值时，t，（+）三向量的终点在一直线上？若|=|且与夹角为60，那末t为何值时|t|的值最小？解设t=m(+)(mR) 化简得=与不共线 t=时，、t、(+)终点在一直线上 |t |2=（t）2=|2+t2|2t，| |cos 60=（1+t2t）|2, t=时，|t|有最小值14、已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足（）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；（）过点T（-1，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，求x0的值.解（）设点M的坐标为(x,y)，则（）设直线15、已知向量（x，x4），向量（x2，x），x4，2试用x表示求的最大值，并求此时、夹角的大小。解：= （3分）设f（x）=，则f （x）=3x2+3x6 令f （x）=0 得x=1或2。当x（，2）时，f （x）0，f（x）为增函数，x（2，1）时，f （x）0，f（x）为减函数，x（1，+）时，f （x）0，f（x）为增函数。故f（x）极大值为f（2）=10 又x4，2，f（4）=16 f（2）=4 当x=2时，的最大值为10 （9分）此时，=（2，6），=（4，3），|=，|=5 设夹角为，cos=，、的夹角为arccos （12分）16、已知向量（cos，sin），（cos，sin），且x，.（I）求及；（II）求函数f(x)-的最小值。解：（）=coscos+sin (sin)=cos(+)=cos2x （3分）=(cos+cos,sinsin) （4分）= （5分）x， , =2cosx （6分）（）f(x)=cos2x(2cosx)=cos2x+2cosx=2cos2x+2cosx1= （10分）x， , 1cosx0当cosx=时，f(x)min= （12分）17、已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120.（）求证：（ab）c； （）若|ka+b+c|1（kR），求k的取值范围.解（）且a、b、c之间的夹角均为120，3分.4分（） 6分8分10分 12分18、在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，3）为OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标； （2）求圆关于直线OB对称的圆的方程； （3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.解（1）设得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，1），半径为.设圆心（3，1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则故所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=10.（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则故当时，抛物线y=ax21上总有关于直线OB对称的两点.19、已知常数a0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. i=(1,0),c=(0,a), 因此，直线OP和AP的方程分别为 y=ax和ya=2ax . 消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y (ya)=2a2x2 , 整理得 因为a0，所以得： （i）当a=时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （ii）当0a时，方程表示椭圆，焦点E和F）为合乎题意的两个定点.20、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点且方向向量为的直线l通过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，又（1） 求直线l的方程； （2）求椭圆C的方程.解：（1）直线l过点（3，）且方向向量为（4分）（2）设直线，由（7分）将，整理得由韦达定理可知： （9分）由2/知 （12分）又因此所求椭圆方程为：（14分）21、已知点H（6，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足 （1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C； （2）过点T（2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得AEB是以