数列求和方法汇编及典题训练.doc

数列求和方法汇编【教学目标】一、知识目标1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学方法进行求和运算； 3熟记一些常用的数列的和的公式二、能力目标培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识，渗透运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想三、情感目标通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质，使学生体会知识之间的联系和差异，激发学生的学习兴趣【教学重点】1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识点梳理】1直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的比如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和常见拆项公式： ； 5分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减6并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.7倒序相加法：如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的8其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法，导数法等【典型例题】题型一、公式法求和 例题1：已知数列an是首项a14，公比q1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，2a3成等差数列(1)求公比q的值；(2)求Tna2a4a6a2n的值【解析】(1)由题意得2a54a12a3.an是等比数列且a14，公比q1，2a1q44a12a1q2，q4q220，解得q22(舍去)或q21，q1.(2)a2，a4，a6，a2n是首项为a24(1)4，公比为q21的等比数列，Tnna24n.【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式变式1：已知数列满足，（1）证明是等差数列；（2）求【点评】对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决题型二、分组求和例题2：求和： 【解析】：（1）当时，（2）当【点评】：1、通过分组，直接用公式求和。2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。变式2：已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求：(1)p，q的值；(2)数列xn前n项和Sn的公式【解析】(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以Sn(2222n)(12n)2n12.【点评】 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和题型三、裂项相消法求和例题3 ：数列的通项公式为，求它的前n项和【解析】： = 【点评】：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同. 变式3：求和【解析】变式4在数列an中，an，又bn，求数列bn的前n项和Sn.【解析】an.bn8.Sn88.变式5等比数列的各项均为正数，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】设等比数列的公比为，依题意，有即所以由于，解之得或又，所以，所以数列的通项公式为（）（2）解：由（1），得 所以所以故数列的前项和【点评】有时候需要根据实际情况自己去拼凑。题型四、错位相减法求和例题4：已知数列，求前n项和。 【解析】 当 当【点评】1、已知数列各项是等差数列1，3，5，2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。2、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。3、错位相减法的求解步骤：在等式两边同时乘以等比数列的公比；将两个等式相减；利用等比数列的前n项和的公式求和.变式5已知 ，求数列an的前n项和Sn.【解析】 得【点评】注意识别数列形式，运用相应的方法题型五、倒序相加法求和例题5：求证：【解析】令则 等式成立【点评】解题时，认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.变式6：已知函数（1）证明：；（2）求的值.【解析】： 两式相加得： 所以.题型六、并项求和例6：Sn10029929829722212【解析】Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【点评】一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解题型七、其它求和方法（归纳猜想法，奇偶法等供参考）例7：已知数列。【解析】：，若若【点评】：，通过分组，对n分奇偶讨论求和。变式7：已知数列的通项，求其前项和【解析】：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项， ，所以，例8：借助导数求和【解析】【点评】本题可以用错位相减法完成，用导数法求和也可以。变式8：借助导数求和【解析】由二项式定理。求导得，令得【方法与技巧总结】1 数列求和需注意方法的选取：关键是看数列的通项公式，根据通项选择适当的方法； 2求和过程中注意分类讨论思想的运用；【巩固练习】1求下列数列的前项和：（1）5，55，555，5555，； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）（7）1，2、已知等差数列an的前3项和为6，前8项和为4.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(4an)qn1(q0，nN*)，求数列bn的前n项和Sn.3、已知等差数列，求4、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（I）求，的通项公式；（II）求数列的前n项和5、已知，求（1）；（2）【课后作业】1.等比数列的前项和S2，则_.2.设，则_.3. .4. =_5. 数列的通项公式 ，前n项和 6 的前n项和为_7、在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.8、已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和9,、设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.10、已知数列的通项为：，求数列的前n项和Sn11、求证：（1）点P的纵坐标为定值；，【拓展训练】1数列an满足：a11，且对任意的m，nN*都有：amnamanmn，则 ( )ABCD2数列an、bn都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1b15，a1b1，且a1，b1N*，则数列前10项的和等于 ( )A100B85C70D553设m=12+23+34+(n-1)n，则m等于 ( )A. B.n(n+4) C.n(n+5) D.n(n+7)4若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S3350等于 ( )A.1 B.-1 C.0 D.25设an为等比数列,bn为等差数列，且b1=0,cn=an+bn,若数列cn是1,1,2,则cn的前10项和为 ( )A.978 B.557 C.467 D.97961002-992+982-972+22-12的值是 ( )A.5000 B.5050 C.10100 D.202007一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .8若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= .9、已知数列an是首项为a1，公比q的等比数列，设bn23logan(nN*)，数列cn满足cnanbn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前n项和Sn.10、设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.11、已知等差数列an的首项a11，公差d0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项(1)求数列an与bn的通项公式；(2)设数列cn对任意自然数n均有成立求c1c2c3c2003的值12、已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an+(-1)n,n1.(1)求证数列an+(-1)n是等比数列;(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对任意的整数m4,有13、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；【参考答案】巩固练习答案1、解：（1）（2），（3）（4）， 当时， 当时， ， ， 两式相减得 ，（5）， 原式（6）设， 又， ，（7）和式中第k项为ak12.Sn2222n22、(1)设an的公差为d，则由已知得即解得a13，d1，故an3(n1)4n.(2)由(1)知，bnnqn1，于是Sn1q02q13q2nqn1，若q1，上式两边同乘以q.qSn1q12q2(n1)qn1nqn，两式相减得：(1q)Sn1q1q2qn1nqnnqn.Sn.若q1，则Sn123n，Sn3、4、5、课后作业答案1、 2、 3、 4、5、 6。7、解(1)San，anSnSn1(n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.8、解(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列的前n项和为Sn，Sn.记Tn1，则Tn，得：Tn1，Tn.即Tn4.Sn444.9、解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.当n1时，a1也适合上式，an.(2)bnn3n，Sn13232333n3n，则3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.Sn(13n).10、11、3、拓展训练答案1解：amnamanmn，an1ana1nan1n，利用叠加法得到：，答案：A.2解：ana1n1，bnb1n1a1bn1a1(b1n1)1a1b1n25n2n3则数列也是等差数列，并且前10项和等于：答案：B.3解：因为 an=n2-n.，则依据分组集合即得.答案;A.4解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn=答案：A5解 由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则q2-2q=0,q0,q=2,an=2n-1,bn=(n-1)(-1)=1-n,cn=2n-1+1-n,Sn=978.答案：A6解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B7 解： 设此数列an,其中间项为a1001,则S奇=a1+a3+a5+a2001=1001a1001,S偶=a2+a4+a6+a2000=1000a1001.答案: 8解： 原式=答案：9、(1)由题意，知ann(nN*)，又bn3logan2，故bn3n2(nN*)(2)由(1)，知ann，bn3n2(nN*)，cn(3n2)n(nN*)Sn14273(3n5)n1(3n2)n，于是Sn124374(3n5)n(3n2)n1，两式相减，得Sn3(3n2)n1(3n2)n1，Snn(nN*)10、(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得：3n1an，an.当n1时，a1也适合上式，an.(2)bnn3n，Sn13232333n3n，则3Sn32233334n3n1，得：2Sn332333nn3n1n3n1(13n)n3n1.Sn(13n).11、解：(1)由题意得(a1d)(a113d)(a14d)2(d0)解得d2，an2n1，可得bn3n1(2)当n1时，c13；当n2时，由，得cn23n1，故故c1c2c3c20033232322320023200312、(1)证明 由已知得an=Sn-Sn-1=2an+(-1)n-2an-1-(-1)n-1(n2),化简得 an=2an-1+2(-1)n-1(n2),上式可化为 an+(-1)n=2an-1+(-1)n-1(n2),a1=1,a1+(-1)1=.故数列an+(-1)n是以为首项，公比为2的等比数列.(2)解 由（1）可知an