江苏数列通项与求和强化训练.doc

高一数学必修五江苏省高三二轮复习强化训练10数列通项与求和一、填空题：1数列的前n项和为Sn，若，则等于 2设等差数列的前项和为，若，则 3已知数列的前项和，第项满足，则k= 4已知an是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d = 5的值为 6已知数列的前n项和为，满足，令，则= 7设数列是首项为m，公比为的等比数列，是它的前n项和，则对任意N*，点 所在的轨迹方程是：8数列的前99项之和为 9由给出数列的第34项是 10数列中，当时，恒成立，则 11已知数列的前n项和为N*，现从前项中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为，则抽出来的是第 项12已知正数列的前n项和为，且，则为 13有限数列，为其前n项的和，定义为的“凯森和”；如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为 1464个正整数排成8行8列，如图示：在符号中，表示该数所在的行数，表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，（且每列公比都相等），则的通项公式=二、解答题：15 设数列满足（）求数列的通项；（）设 =，求数列的前n项和16设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)17已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk，且SkN*），其中a1=1（）求数列ak的通项公式；（）对任意给定的正整数n（n2），数列bk满足（k=1，2，n-1），b1=1 求b1+b2+bn18等差数列的前项和为，（I）求数列的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列19某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房面积占了一半当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%的住房增长率建设新住房，同时每年拆除x m2的旧住房，又知该地区人口年增长率为49（1）如果10年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积x是多少？ （2）依照(1)拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房？ 下列数据供计算时参考：119=238100499=1041110=2601004910=1051111=2851004911=10620在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数n，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项，为公差的等差数列求点的坐标；设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，求的通项公式一填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分)1、设数列an的首项且，则a4= .2、在数列an中，a1=1,a2=2，且an+2an=1+(1)n(nN*)，则S100= .3、已知数列an的前n项和为Sn=n24n+2，则|a1|+|a2|+|a10|的值是_.4、已知直线l上有一列点P1(x1,y1),P2(x2,y2)Pn(xn,yn),其中nN*,x1=1，x2=2，点Pn+2分有向线段所成的比为.请写出xn+2与xn+1, xn之间的关系式_.5、某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为_.6、数列an的前n项和为Sn=npan(nN*)且a1a2，则常数p的值为_.7、已知数列an，构造一个新数列a1,a2a1,a3a2,an-an-1此数列是首项为1，公比为的等比数列，则an= .8、在小于100的正整数中被3除余2的所有数的和是_.9、一艘太空飞船飞往地球，第一次观测时，发现一个正三角形的岛屿(边长为)，如图1；第二次观测时，发现它每边中央处还有正三角形海岬，形成了六角的星形，如图2；第三次观测时，发现原先每一小边的中央处又有一处向外突出的正三角形海岬，如图3，把这个过程无限地继续下去，就得到著名的数学模型柯克岛.若把第1,2，3，n次观测到的岛的海岸线长记为a1,a2,an则an(nN*)的表达式为_.10、设a1,a2,a50是从1,0,1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+a50=9且(a1+1)2+(a2+1)2+(a50+1)2=107，则a1,a2,a50中有0的个数为_.11、对任意实数x,y，函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y)xy1，若f(1)=1，122343477451114115 则对于正整数n,f(n)的表达式为_.12、如下图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n2)第2个数是_.13、已知数列an为等差数列，公差d0an的部分项组成的数列ak1,ak2,akn恰为等比数列，其中k1=1,k2=5,k3=17，则kn= .14、已知，观察下列运算， 定义使为整数的k(kN*)叫做企盼数.试确定当时，企盼数k=_.二.解答题15. 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式16. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？高中数学必修五数列求和 第19页 【知识要点】主要方法：1、基本公式法：（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）（4）（5）2、错位相消法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前项和.一般适应于数列的前项求和，其中成等差数列，成等比数列。3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和。4、拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：（1）若是公差为的等差数列，则；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）5、倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的。【典例精析】例1、例2、例3、已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求例4、求的值例5、求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.例6、数列an的前n项和，数列bn满足。 (1) 求证：数列an是等差数列； (2) 求数列bn中的最大项和最小项。【巩固提高】1 等差数列an中，a6 + a35 = 10，则S40 =_。2 等比数列an中，a1 = 2 , a2a6 = 256，则S5 =_。3数列：，前项和 4 数列1 ,的前n项和Sn = 。5数列，的前n项和Sn =_ 6 数列an中，a1 = 1，则an =_。7 数列 ，的前n项和Sn =_8 数列an中，, Sn = 9，则n =_。9 数列an中，a1 = 2 ,，则Sn =_。10数列an中，a1 = 1 , a2 = 2 , an+2 an = 1 + (1)n，则S100 =_。11数列前n项之和为 ( )A. B. C. D.12数列1，2，3，4，前n项和为 ( )A.2- B.2-C.(n2+n-2)- D.n(n+1)-13数列的前n项之和为 ( )A.+1 B.-1 C. D.14已知数列前n项和Sn=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为 ( )A. (2n+1-1) B. (2n+1-2) C. (22n-1) D.(22n-2)15已给数列an的通项如下，分别求其前n项和.(1)an=3n-2n+1；(2)an=；(3)an=(n+2).16求和：S=1234n.17如果数列an中，an=，求前n项之和Sn.18如果an=1222n2，求数列的前n项之和.19求数例1，3a，5a2，7a3，(2n1)an-1，(a1)的前n项和20求和：21求数列前n项的和.22求数列，的前项和23求数列，的前项和.24已知，求数列an的前n项和Sn。参考答案1、 2、2600 3、66 4、 5、14 6、 7、 8、1650 9、 10、11 11、 12、13、 14、15. 解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a2()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 16. （1）. （2）， ， 当时，. （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.研究的结论可以是：由，依次类推可得 当时，的取值范围为等.10.数列通项与求和一、填空题：1数列的前n项和为Sn，若，则等于解： ，裂项相消， 2设等差数列的前项和为，若，则 81 解： ，根据，成等差数列可求得结果813已知数列的前项和，第项满足，则k= 8 4已知an是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d = 5的值为6已知数列的前n项和为，满足，令，则解：根据绝对值定义脱绝对值，7设数列是首项为m，公比为的等比数列，是它的前n项和，则对任意N*，点 所在的轨迹方程是8数列的前99项之和为 9由给出数列的第34项是解：等式两边取倒数得为等差数列，从而得到10数列中，当时，恒成立，则11已知数列的前n项和为N*，现从前项中抽出一项（不是，也不是），余下各项的算术平均数为，则抽出来的是第 8 项12已知正数列的前n项和为，且，则为 2n 13有限数列，为其前n项的和，定义为的“凯森和”；如有99项的数列的“凯森和”为1000，则有100项的数列的“凯森和”为991 1464个正整数排成8行8列，如图示：在符号中，表示该数所在的行数，表示该数所在的列数，已知每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，（且每列公比都相等），则的通项公式=二、解答题：15 设数列满足（）求数列的通项；（）设 =，求数列的前n项和【点拨】本题第一问考察通项方法,左边相当是一个数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.【解】（I）验证时也满足上式，（II），,，.【点评】本题从基本的方法：已知前项和n求通项入手变形升华同时要注意n满足的条件第二问考察错位相减求前n项和【变式1】【变式2】【点拨】当时有:反思：对比变式1和变式2能得到解类似问题的方法,但值得注意的是数列这个特殊函数的定义域,即n的范围16设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列lgan的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04)【点拨】突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列Sn是n的二次函数，也可由函数解析式求最值 【解】解法一 设公比为q,项数为2m,mN*,依题意有，化简得 设数列lgan前n项和为Sn,则Sn=lga1+lg（a1q2）+lg（a1qn1）=lg（a1nq1+2+(n1)）=nlga1+n(n1)lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()n2+(2lg2+lg3)n可见，当n=时，Sn最大 而=5,故lgan的前5项和最大 解法二 接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,数列lgan是以lg108为首项，以lg为公差的等差数列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30，n=5 5 由于nN*,可见数列lgan的前5项和最大 【点评】本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 【变式】等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它前3m项的和为_ 【点拨】本题可以回到数列的基本量，列出关于的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解反思：“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果17已知各项全不为零的数列ak的前k项和为Sk，且SkN*），其中a1=1（）求数列ak的通项公式；（）对任意给定的正整数n（n2），数列bk满足（k=1，2，n-1），b1=1 求b1+b2+bn.解答：（）当，由及，得当时，由，得因为，所以从而，故（）因为，所以所以故18等差数列的前项和为，（I）求数列的通项与前项和为；（II）设（），求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解答：（I）由已知得，故（）由（）得假设数列中存在三项(互不相等）成等比数列，则即，与矛盾19某地今年年初有居民住房面积为a m2,其中需要拆除的旧房