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文档简介

3格林 Green 公式 一 格林公式 二 简单应用 一 区域连通性的分类 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 复连通区域 单连通区域 二 格林公式 定理1 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 证明 1 同理可证 证明 2 两式相加得 G F 证明 3 由 2 知 L 1 简化曲线积分 三 简单应用 2 简化二重积分 解 注意格林公式的条件 3 计算平面面积 解 其中L是曲线 x y 1围成的区域D的正向边界 格林公式的应用 格林公式 从 证明了 练习1 计算积分 解 练习2 求星形线 所界图形的面积 解 D L 1 1 1 1 重要意义 1 它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2 它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3 从它出发 可以导出数学物理中的许多重要公式 四 曲线积分与路径无关的定义 如果对于区域G内任意指定的两点A B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L1 L2有 2020 1 29 25 可编辑 0 所以 于是 在内 应用格林公式 有 与路径无关 L 与路径无关 解 因此 积分与路径无关 则P Q在全平面上有连续的一阶偏导数 且 全平面是单连通域 取一简单路径 L1 L2 解 因此 积分与路径无关 则P Q在全平面上有连续的一阶偏导数 且 全平面是单连通域 取一简单路径 L1 L2 原函数概念 定理5 若在单连通区域G内函数u x y 是Pdx Qdy的原函数 而A x1 y1 与B x1 y1 是G内任意两点 则 例1 计算 例2 计算 沿着不与oy轴相交的途径 解 例4 计算 沿着不与oy轴相交的途径 已知二元函数的全微分 求其原函数的方法 1 凑微分法 2 曲线积分计算法 例5验证 在xoy面内 是某个函数u x y 的全微分 并求出一个这样的函数 1 连通区域的概念 2 二重积分与曲线积分的关系 3 格林公式的应用 格林公式 五 小结 与路径无关的四个等价命题 条件 等价命题 若区域如图为复连通域 试描述格林公式中曲线积分中
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