线代数同步练习.doc

线性代数同步练习Ch1 行列式1、 求排列的逆序数及奇偶性解：当为偶数，为偶排列当为偶数，为偶排列当为奇数。为奇排列。2、 设，则解：设数码在排列中的逆序数为，则在中的逆序数为，数码2在排列中的逆序数为，则在中的逆序数为，依次类推，数码在排列中的逆序数为，则在中的逆序数为，于是3、BA 且 ； B 且 C 且 ； D 且 解：且，选择B4、5、一个阶行列式中，如果元素的个数大于，则解答：由于阶行列式每个行（列）都有个元素，所以根据抽屉原理，大于零元素放到个行（列）中，比有一个(行列)全都是零，所以 。 1.2根据性质计算1、2、3、 4、提取个行列的公因数得5、解：上一行乘加到下一行就是继续1.31、是关于的一次多项式，该式中一次项的系数为解：一次项的系数为2、用定理计算解：降阶3、设，计算及解：Ch2习题2.11、设，若求解：由矩阵相等定义得2、，计算，解：3、设维向量，矩阵 其中是阶单位阵，则解答：注意到所以，选择C2.2、1、设都是阶方阵，则3、 设，则3、 证明：设都是阶可逆方阵，则证明：由都是阶可逆方阵，所以可逆，并且有，于是 4、 设都是阶方阵，满足证明：（1）可逆，并求（2）若求的值证明：由得，所以可逆，由得=5、设求解： ，； ，；， ，；，6、 解方程解：6、 解方程解：7、，解矩阵方程解：由得 ，； ，；，；，8、 解方程解：9、就是第7题2.31、设，计算，解：2、求解：，所以3、，求 解：4、设，求 第三章3.11、已知求解： 2、已知求解： 4、 已知，解矩阵方程：解用行初等变换解所以4、， 求解解：用行初等变换解答：所以5、， 求解解：用行初等变换解答：所以6已知，解矩阵方程：解：，以下用行初等变换 所以 故7、已知，解矩阵方程：解：，以下用行初等变换 所以 故 3.2 1、求矩阵的秩及最高阶的非零子式解：化行最简形行最简形有两个非零行，所以，2、设是矩阵，经过初等变换得到，则（因为初等变换不改变矩阵的秩。）3、当阶矩阵的秩时，；当，4、设3阶方阵，若，则5、4阶方阵的，则6、设，则解：由于，所以就是或当得；当得 所以填。7、，则8、设都是四阶方阵，则9、设都是阶方阵，而则解答：，而推出，所以。10、设都是矩阵，是阶可逆方阵，则（ C）成立。（ 因为初等变换不改变矩阵的秩。）A B C D, 的关系依而定11、矩阵在（ C ）时，秩发生改变。A、转置 B 初等变换 C 乘以奇异矩阵 D 乘以非奇异矩阵解答：因为A，B，D都不改变的秩。12、设A，B，D都不改变的秩。12、设A是矩阵，是矩阵，是以为子块的矩阵即，则A B C 不一定相等。 D, ，则解答：不一定对，例如，有，不选择；选择13、设是，则 中必有（ A ）A至少一个阶子式不为零，没有不为零的阶子式B、有等于零的阶子式，所有阶子式全为零。C、有等于零的阶子式，没有不为零的阶子式。D、有等于零的阶子式，有不为零的阶子式。由定义选择A 14、 设是矩阵，设是矩阵，则（ B ）A、当时，必有; B、时，必有C、当时，必有; D、时，必有解答：由于是m阶方阵，所以当时，必有。可知，所以选择B15、设，当，（满秩）当，解答：可见当当，；当，（满秩）3.31、求线性方程组的通解解：得唯一一个解2、设是阶方阵，则仅有零解的，或者3、设， 其中（）（），则方程组解：注意到所以有唯一一组解，由克拉姆法则，所以 4、设是 矩阵，是的导出组，则下列结论正确的是（ D ）A、若仅有零解，则有唯一解。B、若有非零解，则有无穷多解。C有无穷多解时，仅有零解。D、有无穷多解时，有非零解。解答：大前提是有解才能讨论，所以A,B不必考虑；有无穷多解时，它的任意两个线性无关的解的差就是的非零解，所以选择D.5、 非齐次线性方程组中未知数的个数为，方程的个数为，,则（A）A、当时，有解；B、当时，有唯一组解。C、当，有唯一有组解；D、当时，有无穷多解。解答：大前提是有解，才可讨论，也就是时，才可以进行讨论。关于B,看反例未知数个数，但无解；关于C,D, 没有大前提，不能讨论，也可做出反例；关于A,由于，而，得到，的行最简形中有个非零行，从而也有个非零行（因为就是个行 ），所以得到有解正确，选择A6、若 有解，则应满足条件( B )A ; B ;C、 ; D、 ;解答：系数矩阵与增广矩阵的秩相等才有解可见，只有才有，有解，所以选择B7、设是阶方阵，是维列向量，并且，则线性方程组（D ）A、必有无穷解； B、必有唯一解；C、仅有零解 ；D、必有非零解。解答：由于（未直数的个数），所以必有非零解，选择D。8、设是阶实方阵，则对于方程组（1）与（2）必有(A)成立。A、（2）的解是（1）的解，（1）的解也是（2）的解； B、（2）的解是（1）的解，但（1）的解不是（2）的解；C、（1）的解不是（2）的解，（2）的解也不是（1）的解； D、（1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解。直接验证即可知选择A9、若是一个齐次线性方程组，是它的基础解系则它的通解为，10、求 的解解：得同解方程组于是得到公式解所以也可以这样解（以后总这样解）令得特解 ；令得，于是为导出方程组的通解（）所以该方程组的通解为11、求 的解解：得通解方程组得同解方程组令得特解 ；令得，于是为导出方程组的通解（）所以该方程组的通解为12、方程组无解？有唯一解，有无穷多解？当有无穷多解时求解解：该方程的系数矩阵是三阶方阵，于是考虑系数行列式当即或时，有唯一解；当，无解；当， ，有无穷多解；此时的同解方程组为求得特解为，导出方程组的基础解系为 ，齐通解为通解为 13、求 的通解解： 得通解方程组得同解方程组令得，为求的通解（）14、求 的通解解： 得通解方程组得同解方程组令得，为求的通解（）15、求 的通解解： 得通解方程组得同解方程组取为求的通解（）16、证明：设