向量性质的思维延伸与拓展创新.doc

向量性质的思维延伸与拓展创新内蒙古杭锦后旗奋斗中学 桂科 邮编：015400 指导老师：母进先作为新课程改革，高中数学教材显著的变化就是“向量”的引入，它将“数”与“形” 融于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，决定了它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。通过对向量性质的思维延伸，可使我们更为深刻的认识向量，理解向量，更为灵活的运用向量来解决数学中其他领域的问题，达到事半功倍的效果。本课题将从向量共线性质、向量“回路”的应用、以及性质等方面进行思维延伸，来梳理和佐证这一认知，以飨读者。一、摆脱范围限制，让向量共线性质得以延伸首先，我们回顾一下有关向量共线的一些性质：当，时，有，定比分点坐标公式：在我们做有关向量的题型当中，总是局限于在向量的环境中求解有关向量问题，如已知向量、的坐标及大小，求、的夹角或已知的坐标，证明其是否共线等等，而不能够在数学的其他领域中灵活运用，这种对我们的思索过于局限、教条，使我们对数学中各领域知识与知识间产生了隔阂。如何才能将向量的共线性巧妙的运用到数学的其它领域中，解决疑难问题，使问题化繁为简、简化我们的运算量呢？我们可以思维延伸，根据向量共线的性质，巧妙的挖掘题目中的条件以及结论，把原来的某些图形向量化，或自行构造向量共线的条件，然而利用向量的某些特定的性质，就可以使解题思路更加明确，避免诸如做辅助线等不容易掌握的技巧，从而解决问题，省时省力，而且还开拓我们的解题思维，使我们的解题效率大大提高。I构造共线条件，巧解等差数列例1：（96年高考）等差数列的前项和为30，前2项和为100，它的前3和为（）解：由题易知，对比直线，故点共线即，所以解得 评注：此题巧妙构造共线条件，利用向量共线时的定比分点坐标公式，解出此题，方法独特、新颖，使人的思维得以拓展，创新。II利用共线条件，妙证三点共线例2：（2001年高考）若抛物线的焦点为，经过焦点为的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点。证明：设，FABCO则，由与共线得，整理得，又，且，所以与共线，即直线经过原点。评注：本题通过证明与共线得到直线经过原点，充分体现了平面向量与解析几何知识的整合，是应用向量解决问题的一个重要方面，也是近几年高考命题的一个热点和趋势。III求线段定比的值例3：已知平行四边形一边的中点为，一边上有一点，且分的比为，与交于点，求分的比的值。解：又与共线，所以有：。 评注：在求定比时，运用向量共线的思想，利用向量共线的充要条件，便会很快解出问题答案，此方法新颖独特，构思巧妙，通俗易懂，同时也开阔了我们的思路与视眼。IV确定点的位置例4：如图所示，在中，。点是边上靠近点的一个三等分点，试问在线段上是否存在点使得？解析：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系。，所以。则，由于点是边上靠近点的一个三等分点，所以，于是，因此上存在点使得，则设，且，即，所以，由于，所以，得，解得，由于，所以在线段上不存在点使得。评注：本题是存在性问题，若用一般的平面几何方法求解，将非常复杂，但利用共线向量，巧妙地将向量的坐标调出，从而得到的坐标，然后根据垂直关系，利用数量积为零得到问题的答案。V：证明等式例5：若，求证：。证明：所给条件即，若设，则，由于，（其中为向量的夹角），所以，而式中等号成立的条件是，即或，也就是向量共线，这时有。评注：从所给条件的特点出发，构造恰当的向量，利用向量共线的条件解决某些代数证明问题，思维独特，过程简单，充分体现了用向量解题的优越性。二、向量“回路”在空间中的妙用我们对向量“回路”很熟悉，即，但总认为它形同摆设，没有多大用处，只能用于进行简单的向量加法，很少有人能将其熟练应用于立体几何中。对于解决空间中有关距离、夹角或证明一些关系等问题时，我们一般情况都是通过添加辅助线、辅助体，或平移等方法进行求解。但这需要我们进行大量的思考，耗费时间与精力。很显然我们是局限了思维，没能将思维得以延伸拓展。如果我们稍加用心，将向量“回路”左右平方，得到，不就柳暗花明，打开另一番新的天地吗？它与实数的性质相类似：若干个向量的和平方，等于这些向量的平方和加上每两个向量的数量积。运用它的好处是可以节省大量的思考时间，简单、便捷，能够让我们以最快的速度进行求解相关问题。1求空间直线夹角：例6：如右上图，四棱锥中，底面，底面为直角梯形。，。点在棱上，且。求证：异面直线与所成的角。 解：又 在等腰直角三角形中， 代入数据，可得 又 所以，异面直线与所成的角为。2练习：求空间两点距离如图所示，长方体的棱长，求对角线的长度.3练习：证明空间直线垂直在四面体中，已知,用向量方法证明：。三、公式的延伸与拓展创新公式作为空间向量的数量积的三条性质之一，在上新授课时我们总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，没有其它两条性质用的广泛，有点像“房间里的摆设”配角。但在后来的学习和做题当中，我越发觉得它在数学前后知识的连贯中起着非常越重要的作用。教材概念的引入：已知向量和轴l，是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影，作点B在l上的射影 则叫向量在轴l上或在方向上的正射影，简称射影。 可以证明得，（证明略，图如右所示。）I思维延伸：利用，推导点到直线的距离公式如图所示，求到已知直线的距离。分析：我们容易求得直线的法向量，该方向上的单位向量，利用用可求得距离。解：，其方向向量为，O令其法向量为，则有，代入数据得，即法向量所在直线的单位向量，又 即思维拓展：如果在空间坐标系中，是否也有点到平面的距离公式，并可用向量推导呢？空间点到面的距离公式：如图所示，求到已知平面的距离分析：根据点到直线距离的推导，我们很容易得平面的法向量，该方向上的单位向量，利用便可求得距离。解：平面，其法向量为法向量所在直线的单位向量又， II思维延伸：利用，推导射影定理、正弦定理、余弦定理如图所示，记轴方向上单位向量为，我们将等式向轴方向投影得： AAAAA 由整理得： 我们知道就是正弦定理的一个部分。射影定理和余弦定理证明见。利用向量，既推导了定理，同时也揭示了三个定理间的内在联系。将延伸拓展后的二与三，有机的融合起来，便形成了本课题中最大的突破：思维的拓展与创新 “面积向量”的引入。四、思维拓展与创新：“面积向量”的定义与应用1“面积向量”的定义从中我们可以看到，运用“线向量”可以很便捷的推导出数学平面中常用的一些结论，简单而且易懂。但它有一定的局限性，所以经我创新拓展后，引入了“面积向量”（简称“面量”）的概念。运用它，我们可以推导立体几何中面与面间面与面、面与角、面与体的一些关系，从而省去了大量的证明过程。线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；向量的定义：既有大小又有方向的量，即一条带有箭头的有向线段；根据线段与向量的定义，我们可以通过面积从而定义“面量”面积的定义：平面内物体表面或平面图形的大小叫做它们的面积；面量的定义：平面内有大小又有方向的物体表面或平面图形，即一个带有箭头的有向面积面量的方向：由面积内任意一点向面积的一侧进行发散的方向面量的大小：以平行四边形为例，定义：2由于引入的“面量”没有具体的证明方法，所以我们将通过一些常理，间接的证明“面量”的正确性与存在性。已知长方体，按照常识我们知道。那么，运用“面量”能否说明这个常识呢？如果可以，那么便间接的证明了“面量”的存在性与正确性。左右平方，得： 长方体每相邻的面都互相垂直又，即等式的成立，间接说明了“面量”的存在性与可用性。3利用“面量”推导四面体中的射影面积公式(面与角间的关系)AAAAA平面射影定理的向量证法：在平面三角形中，有，令为轴方向的单位向量， 则：即：射影定理拓展创新：四面体中的射影面积公式的“面量”推导在四面体，面，有，令为面的单位面量，则面面，面面（为面与面的夹角） 即注：此结论也可用常规方法证明。4利用“面量”推导三棱柱中的勾股定理（面与面间的关系）平面勾股定理的向量证法：已知：在直角三角形中，求证：证明：，且 即拓展创新：三棱柱中的勾股定理的“面量”证法已知：三棱柱，其中面面求证：证明： 即面面 （为面与面的二面角）即常规方法证明：证明：令，则，即通过上述应用，我们大概对“面量”有了基本的了解，下面我们将“面量”拓展到较为复杂的四面体中。5利用“面量”推导空间体积公式（面与体间的关系）平面三角形“面积向量”与线向量的关系已知：平行四边形， 求证：，证明：过做，垂足为， ，且 由“面量”定义可知 拓展：在三棱柱中，是否也有关于体积与面积“向量”类似的关系呢？ 已知：平行六面体 求证： 证明：过做面，连接，与面的夹角为由平面三角形面积公式可知：又 且同理得：。6利用“面量”推导空间余弦定理（面与面与角间的关系）在上面较为复杂的情况下，我们讨论了射影面积。根据的“回路”原理，我们便可以很简单的推导出空间余弦定理。空间余弦定理定义：在任意四面体中，一个面的面积的平方，等于其他三个面的面积的平方和，减去这三个面中的每两个面的面积与他们所成的二面角的余弦值的积的和的两倍。平面余弦定理的向量证法：在三角形中，有向量“回路”左右平方，得：化简，得即：拓展创新：四面体余弦定理的“面量”推导（常规证法见附件2）在四面体中（如右下图），有“面量”“回路”： 左右平方，得化简，得即 （分别为三个侧面两两所成的角）所以，上式便为空间余弦定理。当四面体中，