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各种粒子的量子方程作者： 施水荣各种粒子的量子方程施水荣 广东省惠州市惠阳电视台，广东惠阳 (516211) Email：2006.10.8 摘要：本文详细研究了常数张量及其性质，并应用常数张量的方法，探讨了电磁场、引力 场、YM 场的经典形式与各种量子形式及其相互转换关系，对各种形式是否等价给出了证 明，并将电磁场、引力规范场、YM 场纳入任意整自旋广义 YM 规范理论进行统一处理，进一步引出任意自旋量子方程，充分展示了常数张量分析方法的威力。应用张量的方法有以下好处：保证每一步协变性 ( 包含内部对称性与外部对称性 )，保证结果的协变性，不再 需要额外证明其协变性，即只要采用广义张量写法，则群规范对称性、洛伦次对称性与广 义协变性是自然满足的。本篇比较全面地列出了电磁场、引力场、YM 场、中微子、电子 及任意自旋场量子方程的各种形式，并基于以上结果提出了自旋模型与中微子振荡模型。关键词：常数张量、经典、量子、自旋、对称性。1. 前言本文运用常数张量的方法，统一将电磁场、引力规范场、Yang-Mills 场及任意自旋场写成类中微子的量子方程形式。对于电磁场的类中微子的量子方程形式，历史上很多人都1 -5 作过研究，如朗道、Oppenheimer、Weinberg、Moses、Majorana 等，本文在此基础上运用新的方法常数张量分析方法，将电磁场情形推广运用于 Yang-Mills 场与引力场规范 理论及一般情形，得到了所有粒子的量子方程形式，并进一步写出了各种粒子方程的多种 等价形式。2. 数学准备2.1 约定符号约定：直积； ：直和；：叉乘；：点乘；*：霍奇星算子 ;采用正交标架：g ab = d i ag ( 1 , 1 , 1 , 1) , 这样可以不区分协变、逆变指标 ; 对易与反对易指标约定：T ab = T ab - T ba T ( ab ) = T ab + T ba ; 坐标指标符号：小写阿拉伯字母u , v , s , t , p , q ； 标架指标符号：除坐标指标符号外的小写阿拉伯字母a , b , c , d ,. ； 旋量指标符号：大写阿拉伯字母A , B , C , D ,. ；7自旋指标符号：希腊字母2.2 泡利矩阵, , , , , ,. 。s = 0 11 0 ，0 - ii 0 ，1 00-1 001000000-1 00100-1 a , b = 2 ic2ab c(s/ 2) 0-1 0010000000000000000000000100-1 0c= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) a , b = 2 ab (2.2.1)2.3 SO(4) 群生成元2.3.1 空间旋转生成元与 洛仑兹旋转生成元000000-1 00100000000100000-1 00000000000000100000-1 00R = i ， i， i 000100000000-1 000L = i， i ， i c R a , R b = i R a , L b = iab R c L a , L b = icab L c L a , R b = iab L c0-1 001000000100-1 0cab L c (2.3.1)00100001-1 0000-1 002.3.2 空间旋转生成元与洛仑兹旋转生成元的混合表象000100-1 00100-1 000s+ = R + L = i，i ，i000-1 00-1 001001000s - = R - L = i，i ，ic2 + a , + b = 2 iab + c(s+ / 2) = 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) + a , + b = 2 ab - a , - b = 2 i + a , - b =0 c2ab - c(s- / 2) 0010000-1 -1 0000100= 1 / 2 ( 1 / 2 + 1) - a , - b = 2 ab s+ = (- y x , - I y , y z ) s- = ( x y , - z y , y I ) (2.3.2)2.4 光子自旋矩阵= i0 0 000-1 0 1 00 0 1， i 0 0 0-1 0 00 -1 0， i 1 0 0 0 0 0 a , b = icab c g2 = 1 ( 1 + 1) (2.4.1)2.5 转换矩阵-1 0 0 10010010000011 0 0 01S em =2- i 0 0 - i0 1 1 00 i - i 0S ex =+ +s+ = S em IS em s- = S em I S em (2.5.1)2.6 矩阵约定a = (- , i ) + a = (- + , i ) - a = (- - , i ) (2.6.1)3. 常数张量分析3.1 常数张量性质的物理证明 注：本节证明属于说明性的，数学上不够严格，但结论是正确的。本节讨论的是最一般的 Yang-Mills 理论，包括引力场与经典YM 场。底流形采用自然基，底流形指标与群指标在 引力场与经典YM 场情形下变换都是独立的，以下保持底流形指标不变，对群指标进行变 换。3.2 广义 Yang-Mills 理论情形3.2.1 YM 理论T 线性无关，且满足 T , T = if T 则可以得到以下 YM 理论。U ( ) = exp i T 注：群参数 可以是实数也可以是复数。UD u UD u D u = u + iA u T-1 A u T UA u T -( u U ) Uuvuv F TUF T U -1 3.2.2 命题证明Fuv = u A v - v A u + if A u A v (3.2.1)F A A命题一：证明：u vB ( = Fuv T B ) 是混合张量。()由 Yang-Mills 理论得变换关系F AA-1 以得AA exp i T uv ( B ) = UF uv ( B ) U ，所 exp - i T T A , B u , v F A = F T Au , v A , B所以是协变旋量标，结合是坐标矢量标，所以标的混合张量，证毕。u vB uv B 是关于,指命题二：Fuv 是混合张量。()证明：F A A无穷小变换uv ( B ) = ( 1+ i T ) Fuv ( B ) ( 1- i T )Fuv T = i F uv T T A AFuv T B = i F uv if T BFuv = iifF uv Fuv= iif 可得FT uv exp i if T exp - i if 由上得 是旋量标，结合u , v 是坐标矢量标，所以Fuv 是关于u , v ,证毕。指标的混合张量。T命题三：群基证明：AB 是混合常数张量。()F A A A由 u vB ( = Fuv T B ) 是混合张量及Fuv 是混合张量，可得T B 是关于A , B ,指标的混合常数张量。 证毕。 命题四：结构常数f证明：是常数张量。()T A B A A由结构方程证毕。 B T C = if T C 及T B 是张量，可得fT A是关于 , ,指标的常数张量。命题五：群基协变导数证明：由 Yang-Mills 理论得B ; s = 0 。()( F uv T ) ; s = s ( Fuv T )+ i A s T , F uv T ( F uv T ) ; s = s ( Fuv ) T + iA s Fuv if T 因为Fuv ; s = s Fuv + iA s Fuv if ( F uv T ) ; s = F uv ; s TA A( F uv T B ) ; s = Fuv ; s T BA得Fuv T B ; s = 0T AB ; s = 0证毕。命题六：结构常数协变导数f ; s = 0 。()证明：T A B A A由结构方程 B T C = if T C 及T B ; s = 0( TT)A B B C ; s= if TA; s C = 0f ; s = 0证毕。命题七：一组线性无关的基T ，只要满足结构方程T T = if T ，则必定满足以上六 个命题。()证明：利用以上基T ，可以构造 Yang-Mills 理论，则自然有命题一到命题六的结论。 命题八：正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。() 证明：任意旋量的变换为A = exp i T B则A = g AB - T = exp - i T T g AB AB = g AB A B =不变量T g = g -1 g- T = gT T g + g T = 0 T g + gT T = 0T A CB B AC C CC g + T C g= 0 TA g CB + T B g AC = 0AB D c gAB = c g- iA c TgTA CB C- iA c TgTB AC CAB D c g= c gc CAB - iA T A gc CCB - iA T B g AC AB = c g = 0C CD c g AB = c g AB + iA c TA g CB + iA c T B g AC = c g AB = 0c B cAC D g A = D ( gg CB ) = 0所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。证毕。3.2.3 正交标架正交标架下以上结论同样成立：F A u v Au v Aa bB ( = e a e b F uv T B ) 是混合张量；Fab ( = e a e b Fuv ) 是混合张量；群基T B 是混合常数f T A= 0 f = 0张量；结构常数是常数张量；群基协变导数3.3 引力场型 YM 情形B ; c；结构常数协变导数; c 。3.3.1 引力场型YM 理论ab = - ba ,ab , a b 线性无关，且满足洛仑兹群表示ef ab , cd = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cdef 则可以得到以下引力场型 YM 规范理论。U ( ) = exp ab Uab ab D u UD u D u = u +uab ab uab U-1 ab uab -1 -( u U ) UR ab Uab-1 abab ab ac b ac buv ab UR uv ab U3.3.2 命题证明R A ab AR uv = uv - v u + uvc - vuc (3.3.1)命题一：证明：u vB ( = R uv a bB ) 是混合张量。()由 Yang-Mills 理论得变换关系R AA-1 以得uv ( B ) = UR uv ( B ) U ，所A exp ab ab ab A exp - ab T A , B u , v R A = R T Au , v A , B所以是协变旋量标，结合是坐标矢量标，所以标的混合张量，证毕。R ab u vB uv B 是关于,指命题二：证明：uv 是混合张量。()洛仑兹群表示 ab , cd = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) /2 无穷小变换R ab uv ab =R , ab cd uvabcd R ab uv ab =R , ab cd uvabcd R ab a cb acb uv ab = c R uv - R u vcab R ab a cb acb uv = R c R uv - R u vc uv = ( 1+ ) R uv ( 1- )a , b exp = exp i wR + L a , bu , vR ab u , v , a , b由上得是标架矢量标，结合是坐标矢量标，所以量。证毕。uv 是关于指标的混合张命题三：群基证明：Aa bB 是混合常数张量。()R A ab A ab A由 u vB ( = R uv a bB ) 是混合张量及R uv 是混合张量，可得a bB 是关于A , B , a , b 指标的混合常数张量。证毕。fef 命题四：结构常数证明：a b cd 是常数张量。()由结构方程fef A a bB ,Bef cd C = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cd Ae fC 是张量，可得数 a b cd 证毕。是关于a , b , c , d , e , f 指标的常数张量。A命题五：群基协变导数证明：a bB ; s = 0 。()由引力场型 Yang-Mills 理论得( R ab ababcd uv ab ) ; s = s ( R uv ab ) + s ab , R uv cd ( R ab abacbacb uv ab ) ; s =( s R uv ) ab + sc R uv - R u vc s ab ( R ab abacbacb uv ab ) ; s =( s R uv ) ab + sc R uv - R u vc s ab ( R abab uv ab ) ; s =( R uv ; s ) ab ( R ab Aab Auv a bB ) ; s =( R uv ; s )Aa bB a bB ; s = 0证毕。fef 命题六：结构常数协变导数 a b cd ; g = 0证明：()由结构方程A a bB ,Bef cd C = if a b cd Ae fC 及Aa bB ; s = 0 得 A Bef A a bB ,fef cd C ; g = if a b cd ; ge fC a b cd ; g = 0证毕。命题七：一组线性无关的基ab ，a b ，只要满足结构方程A a bB ,Bef cd C = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) / 2 = if a b cd Ae fC ，则必定满足以上六个命题。()证明：利用以上基ab ，可以构造引力 Yang-Mills 理论，则自然有命题一到命题六的结论。证毕。命题八：正交标架下任意旋量的常数度规的协变导数都为零。()证明： 任意旋量的变换为12ab A = exp ab 则A = g AB - T = exp - ab Tab g AB A BA B =g AB = 不变量T g = g -1 gB- T = gTab g + gab = 0 ab g + g Tab = 0Aa bC gCB += 0AC Bga bC Ca bA g CB +Ca bB g AC = 0AB D c g= c gAB -gab TA Aca bC CB -gab TBAC ca bC AB D c g= c gAB -ab gca bC CB -BgabAC ca bC AB = c g = 0D c g AB = c g AB +Cab c a bA g CB +Cab c a bB g AC = c g AB = 0c B cAC D g A = D ( gg CB ) = 0所以只要度规为常数张量，则其协变导数为零。证毕。3.3.3 正交标架正交标架下以上结论同样成立：R A u vcd Acd u v cd Aa bB ( = e a e b R uv T c dB ) 是混合张量；R ab = e a e b R uv 是混合张量；群基a bB 是混合常数f ef A张量；结构常数fef a b cd ; g = 0 。3.4 小结a b cd 是常数张量；群基协变导数a bB ; c = 0 ；结构常数协变导数以上结论在一般李群与广义Yang-Mills 规范理论下成立，SO(3,1) 群、SL(2,Z) 群与SU (2) 群情形只是它的特殊情形。由于群基、结构常数是不变常数张量，所以在任何参考系下 群基、结构常数都是一样不变的，这明显增加了李群理论与 Yang-Mills 理论的美感。3.5 自旋矩阵3.5.1 自旋矩阵张量引理1：矩阵( s ) 满足自旋关系 ( s ), ( s ) = i ( s ) 2 ( s ) 0则自旋矩阵 ( s ) 必定是复线性无关的，即若c ( s )证明：= 0 ，c C，则c = 0。()c ( s )= 0 ，c C c ( s ), ( s ) = 0ic ( s ) = 0若c 1 x ( s )+ c 2 y ( s )+ c 3 z ( s ) = 0 c 1 x ( s )+ c 2 y ( s )+ c 3 z ( s ), z ( s ) , x ( s ) = 0c 1 z ( s ) = 0 c 1 z ( s ), x = 0 c 1 z ( s ), y = 0c 1 y ( s ) = 0 c 1 x ( s ) = 0c 221 x ( s )+ 2y ( s )+ 2z ( s ) = 0c12 2 ( s ) = 0c 1 = 0 同理可得c 2 = 0 c 3 = 0所以自旋矩阵 ( s ) 必定是复线性无关的。证毕。由以上引理及 YM 命题七可以得到以下常数张量，并且其协变导数为零。B A ( s ) ; c = 0AB ( s ) ; c = 0 ; c = 0 ; c = 0 exp ( iw- ) exp ( iw+ ) AA exp ( iw- ) ( s ) A exp -( iw- ) T ( s ) exp ( iw+ ) ( s ) A exp -( iw+ ) T ( s ) c exp i wR + L c exp i wR + L ()引理2：矩阵ab ( s )满足自旋关系 ab , cd = ( g cb ad + g db ca - g ca bd - g da cb ) /2 则矩阵 ab ( s )必定是线性无关的，即若(1)：c ab ab ( s )= 0 ，c ab = - cba ，cij R , ci 4 I ，则c ab = 0。 (a)(2)：c ab 证明：ab ( s )= 0 ，c ab = - cba ，cij I , ci 4 R ，则c ab = 0。 (b)ab = - X R / 2+ Y L / 2 = - 1 / 4( a + + b - ) = i / 2( + ab a +ab b ) a , a = i a b , b = i b a , b = 0若a 0 则a 2 0若b 0 则b 2 0c ab ab ( s )= 0 ，c ab = - cba ，cij R , ci 4 Ic ab ( c ab (+ ab a +a +- ab b ) = 0b ), a = 0 c ab (a + b ), b = 0ic ab + ab - ab + ab ab - ab + aba = 0ic - ab b = 0由于c ab ab ( s ) 0 ，故a , b 必有一个不为 0，所以根据引理 1 有ab + ab = 0 或c- ab = 0ab c ab + ab = 0 或c- ab = 0对（1）、（2）两种情况都有以下结果c ab = 0所以矩阵 ab ( s )必定是线性无关的。证毕。由以上引理及引力场型 YM 命题七可以得到以下常数张量，并且其协变导数为零。B Aab A ( s ) ; c = 0 ab B ( s ) ; c = 0B AS ab A ( s ) ; c = 0 S ab B ( s ) ; c = 0 (a)在自对偶与反自对偶情形有A exp ( iw- ) ( s ) A exp -( iw- ) T ( s ) AA exp ( iw+ ) ( s ) exp -( iw+ ) T ( s ) a exp i wR + L a exp i wR + L B A ( s ) = - iab B ab - a bA ( s )ab AB ( s ) = - iAab + a bB ( s ) (b)由上可知ab - ; c = 0- ，+ 是常数张量，并且其协变导数也为零。ab + ; c = 0 (c)3.5.2 自旋矩阵具体表示 I0 n 0 0 01 0 n -1 0 00 -ni 0 0 0i 0 -( n -1) i 0 0n 0 0 0 00 n -2 0 0 0( n / 2 ) = 120 2 0 0 ， 120 0 0 10 0 0 n 00 2 i 0 0 ， 120 0 0 -i0 0 0 ni 00 0 0 0 0 0 0 -( n -2) 0n0 0 0 0 -n( n / 2 ),( n / 2 ) = i( n / 2)2 ( n / 2 ) = n / 2( n / 2 + 1) B A ( n / 2) ; c = 0AB ( n / 2) ; c = 0 ; c = 0 ; c = 0 (a)其度规如下：n0000C 0n0000C -0 A B nn000- C 1 0nn000- C -1 0AB AB =00C 2 00A B =00C -2 000. .0000. .000nA( - 1) n C n0000( - 1) n C - n0000AC =CB BA A C B ，A =C B B AB A B 。A B 度规协变导数为零AB ; c = 0 ,; c = 0, A B ; c = 0 ,; c =0 。(b)A exp ( iw- ) ( n / 2 ) A exp -( iw- ) T ( n / 2 ) A exp ( iw+ ) ( n / 2 ) exp -( iw+ ) T ( n / 2 ) exp ( iw- ) exp ( iw+ ) (c)3.5.3 自旋矩阵具体表示IIs( s ) = 0A 1 0000A 1 00000A k 00，00A k 00000A 2 s10000A 2 s 0A0- iA 1 0000iA 1 00000- iA k 00,00iA k 00000- iA 2 s0000iA 2 s 0s00000000002 A 2 000000000000s + 1- k000002 A 2 -2 A 2000k k -1 000000000000000- s00000000002 s00000-2 A 2A k = k (2 s + 1- k ) / 2 ，1 k 2 s A k = A 2 s + 1- k ，1 k 2 s ( s ), ( s ) = i ( s ) 2 ( s ) = s ( s + 1) ( s ) = + ( s )B A ( s ) ; c = 0AB ( s ) ; c = 0 ; c = 0 ; c = 0 (a)00001000-10AB AB = A B =A B 001000. .000( - 1) n 0000AC =CB BA A C AB ，C B =AB A A =B B 。A B 度规协变导数为零AB ; c = 0 ,; c = 0, A B ; c = 0 ,A; c =0 。(b)A exp ( iw- ) ( s ) A exp -( iw- ) T ( s ) exp ( iw+ ) ( s ) A exp -( iw+ ) T ( s ) exp ( iw- ) exp ( iw+ ) (c)3.5.4 自旋矩阵具体表示 III000i00- i00i00- i000s m ( 1 / 2 ) = 0 0 i 00 0 0 i0- i00i000000i00- i0， ， - i 0 0 00 - i 0 0s m ( 1 ) = 0 0 00 0 - i0 i 00 0 i， 0 0 0- i 0 00 - i 0， i 0 0 0 0 0sm ( 2 ) = 000- i000i000- i00- i 3i000000i 30000- i00000- i0， i00000i00- i 3000i 300-2 i0002 i0000， 000- i000i0000000 ( s ), ( s ) = i ( s ) 2 ( s ) = s ( s + 1) ( s ) = + ( s ) T ( s ) = - ( s )B A ( s ) ; c = 0AB ( s ) ; c = 0 ; c = 0 ; c = 0 (a)AB g AB = g= g A B = gA B = IAB A B 度规协变导数为零g AB ; c = 0 , g ; c = 0, g A B ; c = 0 , g ; c =0 。 (b)A exp ( iw- ) ( s )A exp ( iw+ ) ( s ) exp ( iw- ) exp ( iw+ ) (c)3.5.5 自旋矩阵具体表示IV2 自旋矩阵的一个特殊表象0 0 0 0 00 0 - i 0 0G = 0 i 0 0 0 ,0 0 0 0 -2 i i 0 0 2 i 00 0 2 i 0 00 0 0 0 i-2 i 0 0 - i 0 ,0 0 0 0 00 - i 0 0 00 -2 i 0 0 0i 0 0 - i 00 0 0 0 - i0 2 i 0 0 00 0 i 0 0 G , G = i G G 2 = 2 ( 2 + 1) G + GG B AA ( s ) ; c = 0 G B ( s ) ; c = 0 ; c = 0 ; c = 0 (a)五分量 2 自旋波函数 = exp ( iw ) G (b)3.5.6 自旋矩阵各种具体表示之间的酉变换自旋矩阵的各种具体表示之间相差一个酉变换：( s ) = S T ( s ) ( I I- s ) S ( s ) S T ( s ) S ( s ) = S ( s ) S T ( s ) = I ()( I I- s ) 为自旋矩阵具体表示 II 下的度规。3.6 联系不同自旋的常数张量 ( 这里的指标是一般意义上的 )13关联光子与任意自旋粒子的常数张量：( s )A s B sab ，A s B s( s ) 。A s B s ( s , s ) =A s B s ( s ) ab ( s ) 定义：A s B s ab A s B s ，其为常数张量， 协变导数为零。A s B s ( s , s ) 则 A s B s 是联系任意自旋粒子的常数张量。在自对偶与反自对偶情形有A s B s ( s , s ) =A s B s ( s ) ab A s B s( s ) = ( s )( s ) A s B s ab A s B s ( s , s ) A s B s A s B s (3.6.1)常数张量A s B s 必定在粒子相互转换过程中大有用处，此常数张量的存在表明了任何自旋粒子都有转换成其它自旋粒子的内禀结构基础。4. 最广泛 Yang-Mills 理论4.1 引力规范理论与经典 Yang-Mills 理论的统一与区别Yang-Mills 引力规范理论与经典Yang-Mills 理论是可以统一处理的，两者的合并可以 称为广义Yang-Mills 理论。区别：引力场的群参数与底流形的正交标架的群参数一致相 等；经典Yang-Mills 场的群参数与底流形的正交标架的群参数独立无关，这是两者本质