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复变函数论期末考试试题-A卷答案一、 选择题(每小题4分,共20分) 表示的轨迹为( B)A、有界闭区域 B、有界开区域 C、无界开区域 D、无界闭区域 右半平面0 在映射 下的象为( D )A、0 B、0 C、1 D、1 = (C )A、 B、C、 D、 的支点为( D )A、 B、 C、 D、 = 0 为函数 的( A )A、可去奇点 B、本性奇点 C、一阶极点 D、二阶极点二、填空题(每小题4分,共36分) 设,则( ) 设 ,则 3. = 04. = 05. = 6.将函数展成的幂级数,则其收敛圆为().7.在闭圆上的最大值为( )8. 级数 绝对收敛(发散,收敛,绝对收敛)9. 函数 在 处的伸缩率为2三、(8分)求函数的所有奇点,并确定它们的类型;如果是孤立奇点,计算其留数四、(7分) 将函数 在环域 r(r1) 内展成级数,并由此计算积分 。 解:在环域内,由于,从而,因此当n=1时, 五、(8分)计算积分 。解: 由于 为偶函数,因此-(1) 为的实部,-(2) 在上半平面有两个一级极点和 -(3)且 ,-(5) -(7)利用留数定理在实积分中的应用定理有 =-(9)从而 = -(10)六、(7分)验证函数 为调和函数,并求,使 为解析函数,且 。证明: 即为调和函数.-(3) 解: -(6) 由, 可得 -(7) -(8)七、(7分)设 在区域D 内解析,且在D 内为常数,证明在D 内为常数。证明:设 即 上式两边分别对x,y 求导,有 在D内解析,又有 由 解得 故 为常数,分别记为 所以,为一复常数.八、(7分) 试证:当 时,方程在单位圆 内有n个根。证明:在单位圆周上,有 -(4)而函数
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