【RUNHE】高中数学必修1-5+选修1-1_2-1_4-4.pdf

RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 1 高中数学必修 1 知识网络 集合 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA 元素与集合的关系 属于 和不属于 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合与元素 集合的分类 按集合中元素的个数多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 自然语言描述 特征性质描述 图示法 区间法 子集 若 则 即 是 的子集 若集合 中有 个元素 则集合 的子集有个 注 关系 集合 集合与集合 00 2 1 2 3 4 n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个 任何一个集合是它本身的子集 即 对于集合如果 且那么 空集是任何集合的 真 子集 真子集 若且 即至少存在但 则 是 的真子集 集合相等 且 定义 且 交集 性质 运算 U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B 定义 或 并集 性质 定义 且 补集 性质 UUU CABC AC B 函数 一 函数的定义域的常用求法 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数大于等于零 3 对数的真数大于零 4 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1 5 三角函数正切函数tanyx 中 2 xkkZ 余切函数cotyx 中 6 如果函数是由实际意义确定的解析式 应依据自变量的实际意义确定其取值范围 二 函数的解析式的常用求法 1 定义法 2 换元法 3 待定系数法 4 函数方程法 5 参数法 6 配方法 三 函数的值域的常用求法 1 换元法 2 配方法 3 判别式法 4 几何法 5 不等式法 6 单调性法 7 直接法 四 函数的最值的常用求法 1 配方法 2 换元法 3 不等式法 4 几何法 5 单调性法 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 2 五 函数单调性的常用结论 1 若 f xg x均为某区间上的增 减 函数 则 f xg x 在这个区间上也为增 减 函数 2 若 f x为增 减 函数 则 f x 为减 增 函数 3 若 f x与 g x的单调性相同 则 yf g x 是增函数 若 f x与 g x的单调性不同 则 yf g x 是减函数 4 奇函数在对称区间上的单调性相同 偶函数在对称区间上的单调性相反 5 常用 函数单调性 解答的题型 比较大小 求值域 求最值 解不等式 证不等式 作函数图象 六 函数奇偶性的常用结论 1 如果一个奇函数在0 x 处有定义 则 0 0f 如果一个函数 yf x 既是奇函数又是偶函数 则 0f x 反之不成立 2 两个奇 偶 函数之和 差 为奇 偶 函数 它们之积 商 都为偶函数 3 一个奇函数与一个偶函数的积 商 为奇函数 它们之和 差 都为非奇非偶函数 4 对于由两个函数 yf u 和 ug x 复合而成的复合函数而言 只要其中有一个是偶函数 那么该复合函数就是偶函数 当两个函数都是奇函数时 该复合函数是奇函数 5 若函数 f x的定义域关于原点对称 则 f x可以表示为 11 22 f xf xfxf xfx 该式的特点是 右端为一个奇函数和一个偶函数的和 任意一个定义域关于原点对称的函数可以拆成一个 奇函数与一个偶函数的和 七 图象变换规律 1 平移变换 左上加 右下减 2 对称变换 yf xyfx yf xyf x yf xyfx yf xyfx yf xyf x RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 3 函数的基本性质 ABAx ByfBAB x yx fyyxy 映射定义 设 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应关系 使对于集合 中的任意一个元素 在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应 那么就称对应 为从集合 到集合 的一个映射 传统定义 如果在某变化中有两个变量并且对于 在某个范围内的每一个确定的值 定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应 那么 就是 的函数 记作 函数及其表示 函数 1212 12 fx a ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfxa ba b 近代定义 函数是从一个数集到另一个数集的映射 定义域解析法 函数的三要素值域函数的表示方法列表法 对应法则图象法 单调性 函数的基本性质 传统定义 在区间上 若如 则在上递增 是 递增区间 如 则在上递减 是的递减区间 导数 1 2 00 0 0 y fxIM x IfxM xIfxMMy f a bfxfxa ba b fxfxa ba b 长 或缩短 到原来的 倍 横坐标不变 即 关于点对称 关于直线对称 对称变换 关于直线对称 2 0 2 10 1 1 1 x yy fx yyy x x y xy fx y y 关于直线对称 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 4 函数与方程 0 0 0 0 yf xfxxyfx yfxa bfaf b yfxa bca bf cc fx 零点 对于函数 我们把使的实数 叫做函数的零点 零点不是点 定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 零点与根的关系 那么 函数在区间内有零点 即存在使得这个 也是方 程的根 反之不成立 关系 方程 函数与方程 函数的应用 0 1 0 2 3 0 0 0 0 fxyfxyfxx a bfaf b a bc f c f cc faf cbcxa b f cf bac 有实数根函数有零点函数的图象与 轴有交点 确定区间验证给定精确度 求区间的中点 计算 二分法求方程的近似解 若则 就是函数的零点 若则令 此时零点 若则令 0 4 24 xc b abab 根 式 为 根 指 数 为 被 开 方 数 分 数 指 数 幂 指 数 的 运 算 指 数 函 数 性 质 基 本 初 等 函 数 开 口 方 向一 般 式 二 次 函 数零 点 式 性 质对 称 轴 顶 点 零 点 轴 交 点顶 点 式 0 0 01 1 lo g lo g lo glo g lo glo glo g lo glo g 0 1 0 0 lo g a s babrQ x yaaa xNaN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa 定 义 一 般 地 把 函 数且叫 做 指 数 函 数 指 数 函 数 性 质 见 表 对 数 为 底 数 为 真 数 对 数 的 运 算 性 质 对 数 函 数 换 底 公 式 lo g 01 1 lo g 0 1 0 lo g c c yxaa a b bacacb a yxx 定 义 一 般 地 把 函 数且叫 做 对 数 函 数 对 数 函 数 性 质 见 表 幂 函 数 且 定 义 一 般 地 函 数叫 做 幂 函 数 是 自 变 量 是 实 常 数 性 质 见 表 2 重 点 图 象 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 5 表 1 指数函数 0 1 x yaaa 对数数函数 log0 1 a yx aa 定义域 xR 0 x 值域 0 y yR 图 象 过定点 0 1 过定点 1 0 减函数 增函数 减函数 增函数 0 1 0 0 1 xy xy 时 时 0 0 1 0 1 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 0 1 0 1 0 xy xy 时 时 性 质 ab ab 表 2 幂函数 yxR p q 0 01 1 特征 p q 为奇数 为奇数 奇函数 p q 为奇数 为偶数 p q 为偶数 为奇数 偶函数 第一象限 性质 减函数 增函数 过定点01 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 6 高中数学必修 2 知识点 一 直线与方程 1 直线的倾斜角 定义 x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平行或重合时 我们规定它的倾 斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 k 表示 即tank 斜 率反映直线与轴的倾斜程度 当 90 0 时 0 k 当 180 90 时 0 FED时 方程表示圆 此时圆心为 2 2 ED 半径为 FEDr4 2 1 22 当04 22 FED时 表示一个点 当04 22 相切与Clrd 相交与Clrd 2 设直线0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 先将方程联立消元 得到一个一元二次方程之后 令 其中的判别式为 则有相离与Cl 0 3 过圆上一点的切线方程 圆 x2 y2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 课本命题 圆 x a 2 y b 2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 课本命题的推广 4 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 与圆 心距 d 之间的大小比较来确定 当rRd 时两圆外离 此时有公切线四条 当rRd 时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 当rRdrR 时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 当rRd 时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 当rRd 或者UntilLoop D I S S intPr 99 I ISS 2II o 1 1 UntilLoop D I S S intPr 2II ISS 100 I 99 I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 S intPr ISS 2II 99 I 97 I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 RUNHE 友情提醒 1 一定要看清题意 看题目让你干什么 有的只要写出算法 有的只要求写出伪代码 而有的题目则是既写出算法画 出流程还要写出伪代码 2 在具体做题时 可能好多的同学感觉先画流程图较为简单 但也有的算法伪代码比较好写 你也可以在草稿纸上按 照你自己的思路先做出来 然后根据题目要求作答 一般是先写算法 后画流程图 最后写伪代码 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 16 3 书写程序时一定要规范化 使用统一的符号 最好与教材一致 由于是新教材的原因 再加上各种版本 可能同学 会看到各种参考书上的书写格式不一样 而且有时还会碰到我们没有见过的语言 希望大家能以课本为依据 不要被 铺天盖地的资料所淹没 高中数学必修 4 知识点 正角 按逆时针方向旋转形成的角 1 任意角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 不作任何旋转形成的角 2 象限角 角 的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 终边落在第几象限 则称 为第几象限角 第一象限角的集合为 36036090 kkk 第二象限角的集合为 36090360180 kkk 第三象限角的集合为 360180360270 kkk 第四象限角的集合为 360270360360 kkk 则 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 17 P x y A OM T sin y r cos x r tan0 y x x 10 三角函数在各象限的符号口诀 一全正 二正弦 三正切 四余弦 11 三角函数线 sin cos tan 12 同角三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 倒数关系 22 1sincos1 平方关系 2222 sin1 cos cos1 sin sin 2tan cos 商数关系 sin sintancos cos tan 1 3 cot tan 倒数关系 13 三角函数的诱导公式口诀 奇变偶不变 符号看象限 1 sin 2sink cos 2cosk tan 2tankk 2 sinsin coscos tantan 3 sinsin coscos tantan 4 sinsin coscos tantan 5 sincos 2 cossin 2 6 sincos 2 cossin 2 14 先相位变换 再周期变化 函数sinyx 的图象上所有点向左 右 平移 个单位长度 得到函数 sinyx 的图象 再将函数 sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的 1 倍 纵坐标不变 得到函数 sinyx 的图象 再将函数 sinyx 的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的 倍 横坐 标不变 得到函数 sinyx 的图象 先周期变换 再相位变换 函数sinyx 的图象上所有点的横坐标伸长 缩短 到原来的 1 倍 纵坐标不变 得到函数sinyx 的图象 再将函数sinyx 的图象上所有点向左 右 平移 个单位长度 得到函数 sinyx 的图象 再将函数 sinyx 的图象上所有点的纵坐标伸长 缩短 到原来的 倍 横坐 标不变 得到函数 sinyx 的图象 重点 函数 sin0 0yx 的性质 振幅 周期 2 频率 1 2 f 相位 x 初相 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 18 函数 sinyx 当 1 xx 时 取得最小值为 min y 当 2 xx 时 取得最大值为 max y 则 maxmin 1 2 yy maxmin 1 2 yy 2112 2 xxxx 时 a 的方向与a 的方向相同 当0 则90C 若 222 abc 7 数列 按照一定顺序排列着的一列数 8 数列的项 数列中的每一个数 9 有穷数列 项数有限的数列 10 无穷数列 项数无限的数列 11 递增数列 从第2项起 每一项都不小于它的前一项的数列 12 递减数列 从第2项起 每一项都不大于它的前一项的数列 13 常数列 各项相等的数列 14 摆动数列 从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 15 数列的通项公式 表示数列 n a的第n项与序号n之间的关系的公式 16 数列的递推公式 表示任一项 n a与它的前一项 1n a 或前几项 间的关系的公式 17 等差数列 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 则这个数列称为等差数列 这 个常数称为等差数列的公差 18 由三个数a b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列 则 称为a与b的等差中项 且 若 2 ac b 则称b为a与c的等差中项 19 若等差数列 n a 的首项是 1 a 公差是d 则通项公式 1 1 n aand 20 等差数列通项公式的变形 nm aan m d 1 1 n aand 1 1 n aa d n 1 1 n aa n d nm aa d nm 21 若 n a是等差数列 且mnpq m n p q 则 mnpq aaaa 若 n a是等差数列 且2npq n p q 则2 npq aaa 22 等差数列的前n项和的公式 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 23 等差数列的前n项和的性质 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 22 若项数为 2n n 则 21nnn Sn aa 且S Snd 偶奇 1 n n Sa Sa 奇 偶 若 项 数 为 21nn 则 21 21 nn Sna 且 n SSa 奇偶 1 Sn Sn 奇 偶 其 中 n Sna 奇 1 n Sna 偶 24 等比数列 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 则这个数列称为等比数列 这 个常数称为等比数列的公比 25 等比中项 在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 则G称为a与b的等比中项 若 2 Gab 则称G为a与b的等比中项 26 若等比数列 n a的首项是 1 a 公比是q 则通项公式 1 1 n n aa q 你知道如何推导吗 27 等比数列通项公式的变形 n m nm aa q 1 1 n n aa q 1 1 n n a q a nm n m a q a 28 若 n a是等比数列 且mnpq m n p q 则 mnpq aaaa 若 n a是等比数列 且2npq n p q 则 2 npq aaa 29 等比数列 n a的前n项和的公式 1 1 1 1 1 1 11 n n n na q S aq aa q q qq 30 等比数列的前n项和的性质 若项数为 2n n 则 S q S 偶 奇 n n mnm SSqS n S 2nn SS 32nn SS 成等比数列 31 0abab 0abab 0abab abacbc 0ab cacbc 0ab cacbc 0 0abcdacbd 0 1 nn ababnn 0 1 nn abab nn 33 一元二次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的最高次数是2的不等式 34 二次函数的图象 一元二次方程的根 一元二次不等式的解集间的关系 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 23 判别式 2 4bac 0 0 0 的图象 一元二次方程 2 0axbxc 0a 的根 有两个相异实数根 1 2 2 b x a 12 xx 0a 12 x xxxx或 2 b x x a R 一元二次不等式的 解集 2 0axbxc 12 x xxx 00 0 xyC 则点 00 xy 在直线0 xyC 的上方 若0 00 0 xyC 则0 xyC 表示直线0 xyC 上方的区域 0 xyC 表示直线0 xyC 下方的区域 若0 表示直线0 xyC 下方的区域 0 xyC 0b 则2abab 即 2 ab ab 43 常用的基本不等式 22 2 abab a bR 22 2 ab aba bR 2 0 0 2 ab abab 2 22 22 abab a bR 44 极值定理 设x y都为正数 则有 若xys 和为定值 则当xy 时 积xy取得最大值 2 4 s 若xyp 积为定值 则当xy 时 和xy 取得最小值2p 高中数学选修 1 1 1 2 知识点高中数学选修 1 1 1 2 知识点 第一部分 简单逻辑用语 1 命题 用语言 符号或式子表达的 可以判断真假的陈述句 真命题 判断为真的语句 假命题 判断为假的语句 2 若p 则q 形式的命题中的p称为命题的条件 q称为命题的结论 3 原命题 若 p 则q 逆命题 若q 则 p 否命题 若 p 则 q 逆否命题 若 q 则 p 4 四种命题的真假性之间的关系 1 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 5 若pq 则p是q的充分条件 q是p的必要条件 若pq 则p是q的充要条件 充分必要条件 利用集合间的包含关系 例如 若BA 则A是B的充分条件或B是A的必要条件 若A B 则A是B的充要条件 6 逻辑联结词 且 and 命题形式pq 或 or 命题形式pq RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 25 非 not 命题形式p p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7 全称量词 所有的 任意一个 等 用 表示 全称命题 p xpMx 全称命题 p 的否定 p xpMx 存在量词 存在一个 至少有一个 等 用 表示 特称命题 p xpMx 特称命题 p 的否定 p xpMx 第二部分 圆锥曲线 1 椭圆的第一定义 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之和等于常数 大于 12 F F 的点的轨迹称为椭圆 即 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的第二定义 焦半径公式 3 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围 axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 0a 2 0a 1 0 b 2 0 b 1 0 a 2 0 a 1 0b 2 0b 轴长 短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 26 焦距 222 12 2FFc cab 对称性 关于x轴 y轴 原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 4 双曲线的第一定义 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之差的绝对值等于常数 小于 12 F F 的点的轨迹称为双 曲线 即 2 2 2121 FFaaMFMF 22 22 10 0 yx ab ab 范围 xa 或xa yR ya 或ya xR 顶点 1 0a 2 0a 1 0 a 2 0 a 轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性 关于x轴 y轴对称 关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 7 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线 8 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线 定点F称为抛物线的焦点 定直线l称 为抛物线的准线 9 抛物线的几何性质 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 27 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴 x轴 y轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率 1e 范围 0 x 0 x 0y 0y 10 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段 称为抛物线的 通径 即2p 11 焦半径公式 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 0 2 p Fy 第三部分 导数及其应用 1 函数 f x从 1 x到 2 x的平均变化率 21 21 f xf x xx 2 导数定义 f x在点 0 x处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 3 函数 yf x 在点 0 x处的导数的几何意义是曲线 yf x 在点 00 xf x 处的切线的斜率 4 常见函数的导数公式 C0 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数运算法则 RUNHE 高中数学必修 1 5 选修 1 1 2 1 4 4 28 1 f xg xfxgx 2 f xg xfx g xf x gx 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 6 在某个区间 a b内 若 0fx 则函数 yf x 在这个区间内单调递增 若 0fx 右侧 0fx 那么 0 f x是极大值 2如果在 0 x附近的左侧 0fx 那么 0 f x是极小值 8 求函数 yf x 在 a b上的最大值与最小值的步骤是 1求函数 yf x 在 a b内的极值 2将函数 yf x 的各极值与端点处的函数值 f a f b比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小 值 9 导数在实际问题中的应用 最优化问题 第四部分 复数 1 概念 1 z a biR b 0 a bR z z z2 0 2 z a bi是虚数 b 0 a bR 3 z a bi是纯虚数 a 0且b