函数的单调性1.doc

函数的单调性1 数科院-杨燕平教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入： 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2. 引入：从函数的图象（图1）看到：图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数=在0,+ )上是增函数. 图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说， 当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取（-，0），得到=,=,那么当.这时我们就说函数=在(-,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： 增函数与减函数定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图3）；若当,则说在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当0,+)时是增函数，当(-,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“, ”改为“ 或,”即可；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在区间-5，-2)，1，3)上是减函数，在区间-2，1)，3，5上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则=(3+2)-(3+2)=3(), 由x,得0 ,于是0,即 .在R上是增函数.例3 证明函数在(0,+)上是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且0,又由0 ,于是0,即 在(0,+ )上是减函数.例4讨论函数在(-2,2)内的单调性.解：，对称轴 若,则在(-2,2)内是增函数；若则在(-2,a)内是减函数,在a,2内是增函数若,则在(-2,2)内是减函数.四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：的单调区间有-2,-1，-1,0，0,1，1,2；在区间-2,-1，0,1上是增函数，在区间-1,0，1,2上是减函数.的单调区间有-,-，-,，, ；在区间-,-，上是减函数，在区间-，上是增函数.说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设,R，且，=(-3+2)-(-3+2)=3(-), 又0,即 .在R上是减函数.3判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.解：设,(-，0)，且0,又由0 ,于是0,即 .= 在(0,+ )上是减函数.能否说函数= 在(-，+)上是减函数？答：不能. 因为=0不属于= 的定义域.说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 判断函数在R上的单调性，并说明理由. 课本P60练习：4.解：设,R，且0，又,0,即 .在R上是增函数.若k0，又0,即 .在R上是减函数.设,(0,+)，且，=(+1)-(+1)= -=(+) (-) 00，-0，0,即，=+1在(0,+)上是增函数. 五、小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设,是给定区间内的任意两个值，且；作差，并将此差式变形（要注意变形的程度）；判断的正负（要注意说理的充分性）；根据的符号确定其增减性.六、课后作业：课本第60习题2.3：1，2，3补充：=是以(,)为顶点、对称轴平行于y轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-,与,+ );它在(-,上是减函数，在,+ )上是增函数. 证明：设,则=-5(-)=(+-5) (-) ,+5，-0,即 .=-5+6在(-,上是减函数.类似地，可以证明在,+)上是增函数.=-+9的图象是以(0,9)为顶