高等学校规模经济.doc

高等学校规模经济的分析 作者： dongling摘要本文主要研究的是高等学校规模经济问题，通过对规模经济理论的理解和分析，假设出该问题的分析模型，即假设出各问题的函数方程，然后对提供的数据进行分析。在考虑到高校性质的前提下，我们将给出的数据，首先按专科院校和本科院校分类，两者分开考虑；再次就是在考虑到地域差异可能带来办学规模差异的前提下，我们又将专科院校按省份归类讨论；对于本科院校，考虑到学生类别不同所占的资源也不同，按当量本科生计算。在数据分析的基础上，我们利用Excel、Matlab软件拟合出各分析函数方程，求解出分析模型。最后利用我们求解出的分析模型对某些省份的高校进行综合规模经济分析检验，得出他们是否处于规模经济状态，并针对某些高校的具体情况提出相关的建议。通过学习规模经济、短期总成本、短期平均成本、短期边际成本、长期总成本、长期平均成本、长期边际成本的相关定义和概念，我们建立的部分模型方程为：短期总成本方程：短期边际成本方程：长期总成本方程：长期边际成本方程：通过对各个省份“最佳规模”的求解和全国范围内最小最佳规模的求解，再考虑到高校的当前规模，判断出高校目前所处于的状态，并求出可扩招或需紧缩的空间。从规模与经济的角度考虑，在对数据分析的基础上，我们对某些院校提出相关的建议。通过检验我们发现我们的模型在一定程度上可以很好的达到预期的效果。关键字：高等学校教育 规模经济 边际成本 最佳最小规模 数学建模一、问题重述自从1999年我国做出“扩大高等教育规模”的重大决策以来，10年时间里，我国高等教育实现了历史性跨越，规模先后超过俄罗斯、印度、美国，成为世界第一。2008年，我国高等教育毛入学率达到23.3%，国家中长期教育改革和发展规划纲要（20102020年）制订了2020年高等教育毛入学率达40.0%的目标，我国目前已进入国际公认的大众化发展阶段。对于高等教育而言，教育成本中大部分属于固定成本，高等学校具有一定的“非排他性”，增加一名学生不会使学校的总成本有所变化，并且也不会对其他学生上学有所影响。在一定范围内，学生数的增加不会影响教学质量，但高校生均成本随着学生规模的扩大而降低，高校办学显现出规模经济现象。但当学校规模扩大到超出现有资源水平能够满足的范围，新资源的投入又将导致办学成本上升。我国从1999年高等学校扩招到现在已经进行到一个阶段，高校规模扩大到一定程度，不同类型的高校呈现出不同的规律。根据所给数据，解决下列问题：1. 选取适当变量，建立模型，判断这些高校是否存在规模经济现象；2. 探讨这些高校是否应当进行扩招，扩招空间有多大；3. 根据1、2的结论，从规模和经济的角度；4. 提出适合这些高校的办学建议。二、问题分析对于任何的组织和公司的经营都以能够保证长期的盈利为方针，这就决定了公司或者组织要处于规模经济的经营模型中。同样对于高校的长期经营，要使学校处于一个盈利的状态才能稳定发展。而规模经济指的是在给定技术的条件下，对于某一产品，如果在某些产量范围内平均成本是下降（或上升）的话，我们就认为存在着规模经济（或不经济）。同于边际效益一样，在某一区域里才满足比规模经济性。具体表现为“长期平均成本曲线”向下倾斜，从这种意义上说，长期平均成本曲线便是规模曲线，长期平均成本曲线上的最低点就是“最小最佳规模”。因此针对高校扩张的问题，刚开始扩招时，由于扩大高等教育规模能够使高校的经济效益得到提高，此时处于经济规模状态。当扩招达到一定水平时，高校规模的扩大达到最佳规模，此时高校的经济效益达到最大化。若继续扩大高校高等教育的规模，就会使经济效益下降，此时出现规模不经济。也就是说高校如果继续扩大教育规模就会使学校的经营出现效益低于成本，最终导致学校因经营不善而倒闭。因此我们建立数学模型对所给全国各地部分高校随即抽查的主要收支数据进行了分析，对我国各地的高校相对于全国水平是否处于规模经济的问题做出了讨论。对于问题一：首先，我们将随机抽查的数据按照省份和高校类型的不同进行划分，同时将其视为高校在短期的收支情况的反应，根据数据得到不同省高校的短期办学成本（STC）、短期平均成本（SAC）和短期边际成本（SMC）。其次，由经济学理论原理，经济规模和经济不规模决定了长期平均曲线U型的特征，也就是说，通过长期平均成本曲线，我们可以通过各地高校在全国水平下的长期平均成本曲线上的位置直观的判断出其经营规模处于规模经济还是规模不经济。同时，由于长期平均成本曲线（LAC）是无数条短期平均成本曲线（SAC）的包络线，在这条包络线上连续变化的每一学生数量，都存在LAC曲线和一条SAC曲线的相切点，该SAC曲线所代表的高校教学规模就是该学生人数下的最优教学规模。再次，根据微观经济学原理，当短期边际成本和长期边际成本相等时，高校学生人数就是使高校处于最佳规模时的学生的人数。也就是说此时学生人数对应在短期平均成本曲线上的点就是其和长期平均成本曲线的切点。最后，用得到的点拟合出一条长期成本曲线，根据不同省的高校在这条长期成本曲线上的位置判断其高校规模是经济规模还是规模不经济。如果高校规模处于长期平均成本曲线下降的区域，则规模经济；如果高校规模处于长期平均成本曲线上升的区域，则规模不经济。此长期平均成本曲线就是全国水平下的平均成本。对于问题二：在对高校还能扩张多少的问题研究中，通过图像判断出处于规模经济的省份，根据图像中得到的LAC和SAC的切点，也就是高校处于最佳规模时所对应的学生规模，和实际高校所拥有的学生规模想比较，判断出来高校规模扩大的空间。而判断出高校规模不经济的省份，可以用计算出的高校最佳规模和实际规模比较，求出两者的差距。通过减少学生规模，即紧缩招生来达到规模经济，从而使学校经济效益得到改善和提高。通过对于前两个问题的分析，我们认为处于规模经济并且还没有达到最佳最小规模的省份，可以采取对学生或教师数目的扩招、增加教学设备和器材等方式，从而改善教学质量和高校规模，提高高校的经济效益，使高校更好的经营与发展；同时对于那些已经处于最小最佳经济规模的高校，要继续保持其高校规模，使其经济效益保持在较高的水平；再次对于已经处于规模不经济的高校，我们建议其紧缩招生数目，提高教学设备和器材的利用率，缩减不必要的开销等以达到减小成本的目的，最终通过改进经营的方式是其经济效益提高，从而达到规模经济。三、模型假设及符号、约定 1、 针对本问题，我们提出一下合理的假设与约定：（1）短期内高校的教师数量和教师基本工资固定不变。（2）短期内高校的教学设备和器材数量不变。（3）高校的经费支出就是这一年内的总成本，包括事业经费支出和基建经费支出。（4）经费收入项目中事业拨款和科研拨款为国家财政拨款，事业收入指高等学校开展教学、科研及其辅助活动取得的收入，不算做成本。（5）只考虑学生数量变化对高校规模的影响，而对于教师数规模的变化暂不考虑。（6）在根据学校类型对数据进行分类时，我们假定，只招收专科生的学校属于专科学校，而对于招收专科生、本科生、硕士生和博士生的学校统属于本科院校。（7）对于本科院校，考虑到学生类别不同所占的资源也不同，按当量本科生计算。假定本科生为1，则专科生为0.5，硕士生为2，博士生为3。2、符号说明在建模过程中用到的所有符号，现说明如下：实际学生规模：各省最佳规模：最小最佳模型：短期平均成本：短期总成本：短期边际成本：长期总成：长期平均成本：长期边际成本：可扩招或紧缩空间：当量本科生数 ， ， ，：均为短期总成本方程系数 ， ， ：均为长期总成本方程系数四、模型建立1、数据的分析统计问题中给出全国各地部分高校主要收支数据是在我们假定出基本模型后，求解该模型的关键。通过对数据的分析，作如下处理：（1）将全部数据按高校类型分为专科院校和本科院校；（2）对于专科高校，考虑到地域差异，把数据按省分类，共25组；。（3）因为提供的数据中本科院校数量较少，所以对本科院校不再分类；（4）统计各份数据表中的每组数据的经费支出总和及学生总数，并按学生总数按升序排序。2、数学模型的建立确定教育适度规模的主要研究方法有二次函数法、适者生存法、L模型以及生产函数法等。由于数据资料有限，我们采用了二次函数法，建立模型的具体步骤如下：（1）利用每个省的专科院校的统计数据求出每个省的短期方程。短期总成本方程： 短期平均成本方程： 短期边际成本方程： （2）求各省的总成本和总学生数，然后用每个省的总数据求解出长期方程。长期总成本方程：长期平均成本方程：.长期边际成本方程：（3）根据微观经济学原理，当短期边际成本和长期边际成本相等时，高校学生人数就是使高校处于最佳规模时的学生的人数。因此，利用.来求出每个省的最佳规模。（4）该最佳规模求出后再代入短期平均成本方程，求出短期平均成本与长期边际成本的切点（，）。（5）用各省的切点（，）拟合出一条理想状态下的长期边际成本曲线LAC,并求出理想长期边际成本曲线的最小最佳模型。（6）用上述求出的最小最佳规模减去各省的实际学生规模即可判断出各省是否处于规模经济，扩招空间即为:如果该值为正，则说明该省处于规模经济；若该值为0，则说明该省处于最佳经济规模；若该值为负，则说明该省处于规模不经济。（7）本科院校数量较少，没有按区域分析，因此，直接利用公式、进行求解。需要注意的是，计算人数时我们利用当量本科生数。五、模型求解1、专科院校的求解（1）利用每个省的专科院校的统计数据求出每个省的短期方程。我们以河北省的数据为例，其他省份的计算类似。用Excel绘制出河北省学生数与总成本之间的散点图，然后拟合成三次函数，删去明显偏离曲线的点。并得出拟合的公式如图：因此短期总成本函数为：；根据公式（2）求得短期平均成本方程： ；根据公式（3）求得短期边际成本方程：。用MATLAB绘出全部相应的函数曲线如下： 按照上述方法求出其他所有省的短期总成本函数，计算步骤一样，此处不再赘述，结果如下表：（2）求各省的总成本和总学生数，然后用每个省的总数据求解出长期方程。各省的总成本和总学生数如下:用Excel绘制出全国所有省学生数与总成本之间的散点图，然后拟合成三次函数，删去明显偏离曲线的点。并得出拟合的公式如图：所以，长期总成本方程：长期平均成本方程：长期边际成本方程：用MATLAB绘出全部相应的函数曲线如下： （3）求解各省最佳规模。以河北省为例利用得：解得=3874（4）求解各省的切点，以河北省为例。利用，代入=3874得：=7.714。所以，河北省切点为（3874, 7.714）。同理求得各省切点如下（明显偏离实际的数据不予采纳）：（5）用各省的切点（，）拟合出一条理想状态下的长期边际成本曲线LAC,并求出理想长期边际成本曲线的最小最佳模型。由上图所得公式，易求得最小最佳模型： 。(6)判断出各省是否处于规模经济。以河北省为例，说明河北省专科院校总体处于规模经济，扩招空间为5665人。同理求出其他省份数据如表4：2、本科院校的求解由于本科院校数量较少，我们没有按省份分开讨论，直接运用模型求解。(1)计算各学校的当量本科生数N，以及总经费支出。以“40上海”这所学校为例，。将数据按人数升序排列。结果如下表5：（2）用Excel绘制出本科院校学生数与总成本之间的散点图，然后拟合成三次函数，删去明显偏离曲线的点。并得出拟合的公式如图：所以，长期总成本方程：长期平均成本方程：长期边际成本方程：用MATLAB绘出LAC函数曲线如下： 求得最小最佳模型： 。(6)判断出各院校是否处于规模经济。以“40上海”这所学校为例，说明该学校处于规模经济，扩招空间为7474个当量本科生。同理求出其他学校数据如表6： 注：负数表示该校处于不规模经济，招生人数过多。六、模型分析1、结果分析：通过以上模型求解，我们得出以下结论：对于专科院校和本科院校，在给出数据的14个省份中，有11个处于规模经济，占总数的78.6%；有3个处于不规模经济，占总数的21.4%。由此可以看出，我国大部分高校可以再适当扩大高校规模，而有些学校应该适当的紧缩学生数量，使高校经济效益得到改善。针对那些处于规模经济的高校我们应该分析其办学成本、办学方针和政策，学习其优点，改进自身之不足。同时处于规模经济的高校可以根据各自不同的情况，通过适当扩大招生或者调整办学规模，使其达到最佳规模并且经济效益达到最大化。2、模型优点通过综合分析题目给出的数据和结合具体的实际情况建立起来的三次方模型，充分考虑到了学生规模在整个学校规模中所起到的重要作用，比较符合实际情况，预测效果良好。同时，由于我们的模型所涉及的变量少而精，所以我们的模型最主要的优势就是简单明了，利于实现和检验，并且能达到预期估计的效果。还有，考虑到不同学生占用的资源不同，我们引入了当量本科生数的概念，使结果更加贴近实际。3、模型缺点我们的模型在简单的同时也存在很多不足之处，譬如说我们在建模时考虑的变量比较单一，对于其他很多可以影响办学成本的问题未列入其中，像教师工资的变动，学校每年新增科研仪器设备的价格变动以及教师数的变动等等都可以在不同程度上影响高校办学成本。引发教育经济规模形成的原因有很多，比如，教学效率的提高，教学技术的进步，资源的有效利用，交易成本降低，专业数量增加，学校声誉提高，生均成本降低等。但是我们只是从生均成本的变化来考虑学校规模的变化，有片面性。此外，计算当量本科数时的加权系数有待进一步提高精确度。4、相关建议学校应当控制其规模。规模过小，教育资源不能得到充分的利用，这样单位学生平均成本偏高；同时教学效果不佳，没有学习的氛围，士气低落，易形成不利于学生身心发展的环境。规模过大，也将衍生出各种缺陷：管理不方便，降低了管理效率；内部通信联系费用增加，从而增加了成本支出；需要增设若干中间机构，增添若干工作人员，这也增大了成本支出；机构之间摩擦增加；增加人事方面的纠纷，人员之间凝聚力降低；难以随客观形势变化而做出调整。学校是培养人才的场所，其规模经济是适度、合理的规模经济，即必须是学生有一个科学合理的学习空间和资源，有益于其健全的性格和能力的养成，不能片面追求生均成本降低而忽视质量及产生人际关系疏离等现象。因此，学校在招生时应当综合考虑教育质量与教育成本两方面，从而得出最佳的招生规模。七、模型检验我们随机选取了个别高校带入模型结果进行分析1、444河北某专科院校专科学生数为5362；河北的最佳规模为3835；全国的最小最佳规模为9500。由此可看出，该院校在河北省范围内事处于规模不经济的，但是在全国范围内又处于规模经济的。这种情况主要是各省份的办学方针政策不同，各省的最佳规模也存在很大的差距。考虑到该省的具体情况，我们建议该校还是适当的减少招生。2、379北京某本科院校当量本科学生数为36090；全国的最小最佳规模为57143；由此比较可得该高校目前处于规模经济状态，可扩展空间为21053，所以为了提高该高校的办学效益，建议该高校适当增加招生数量，扩招约20000当量本科生，这样可以充分利用教育资源，实现效益最大化。经过上述检验，发现我们的模型在一定的程度上可以很好的达到我们预期的效果。当然，我们的模型也还存在着各种不足，我们会继续完善的。八、模型改进根据我们模型体现的不足，我们认为可以从以下方面进行改进：1、从多角度考虑问题，综合考虑学校的师生比、教学质量等；2、运用多种模型进行求解，把所得结果进行对比，从而得出更准确的结果；3、可以按各省经济发展实力划分学校，包括发达地区，发展中地区，贫困地区等，这样可能会更加接近于现实；4、可以通过获得更多的本科院校数据来更加准确地拟合长期成本曲线，以求得最佳的模型方程；5、通过调查等手段，进一步提高当量本科生数计算的加权系数。九、参考文献1罗万成等，大学生数学建模案例精选，成都：西南交通大学出版社，2007。2刘志民，教育经济学，北京：北京大学出版社，2007。3张志刚等，Matlab与数学实验，北京：中国铁道出版社，2008。4叶茂林，教育经济与经济增长，北京：社会科学文献出版社，2005。5戴淑芬等，新编经济与管理教程，北京：科学出版社，2008。十、附录附录一 Matlab代码：（注：由于数据量大只摘录了部分作为代表）（1）河北省专科Matlab源代码：clf;x=700:100:10000;y1=7e-8.*(x.3) -6e-5.*(x.2) +1.9603.*x + 19001;y2=7e-8.*(x.2) -6e-5.*x +1.9603 + 19001./x;y3