2012年北京市中考数学一模分类汇编代数综合.doc

2012年北京市中考数学一模分类汇编代数综合题方程存在整数根问题1（顺义）已知关于x的方程（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）当方程有两个相等的实数根时，求关于y的方程的整数根（为正整数）解：（1）= 1分方程有两个不相等的实数根， 即 的取值范围是且 3分（2）当方程有两个相等的实数根时，= 4分关于y的方程为由a为正整数，当是完全平方数时，方程才有可能有整数根设（其中m为整数），（、均为整数），即不妨设 两式相加，得 与的奇偶性相同，32可分解为，或或或或或（不合题意，舍去）或当时，方程的两根为，即， 5分当时，方程的两根为，即， 6分当时， 方程的两根为，即， 7分2（昌平）已知关于x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；（3）若抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值 解：（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；当时，方程=0是一元二次方程，=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=（k-3）2 （k-3）20，即0， k为除-1外的任意实数时，此方程总有两个实数根 2分综上，无论k取任意实数，方程总有实数根（2），x1=-1，x2= 方程的两个根是整数根，且k为正整数， 当k=1时，方程的两根为-1，0； 当k=3时，方程的两根为-1，-1 k=1，3 4分（3） 抛物线y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2与x轴两个交点之间的距离为3，=3，或=3当=3时，=-3；当=3时，k=0综上，k=0，-3 6分3（怀柔）已知：关于的方程.（1）a取何整数值时，关于的方程的根都是整数；（2）若抛物线y=的对称轴为x=1，顶点为M，当k为何值时，一次函数的图象必过点M.解：（1） 当时，即时，原方程变为. 方程的解为 ；1分 当时，原方程为一元二次方程. ， 解得.3分 方程的根都是整数.只需为整数 当时，即a=2或a=0时，x=1或x=2；4分当时，即a=3或a=1时，x=1或x=1；5分 a取0，1，1，2，3时，方程的根都是整数6分（2）抛物线y=的对称轴为x=1， ，.顶点坐标为M（1，）.把M点坐标代入一次函数中，则7分当时，一次函数的图象必过点M.图象的平移、翻折问题4. （西城）已知关于x的一元二次方程的一个实数根为 2 (1) 用含p的代数式表示q； (2) 求证：抛物线与x轴有两个交点； (3) 设抛物线的顶点为M，与 y轴的交点为E，抛物线顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值 解：（1） 关于x的一元二次方程的一个实数根为 2， 1分整理，得 2分（2） ，无论p取任何实数，都有0， 无论p取任何实数，都有 3分 抛物线与x轴有两个交点 4分（3） 抛物线与抛物线图5的对称轴相同，都为直线，且开口大小相同，抛物线可由抛物线沿y轴方向向上平移一个单位得到，（如图5所示，省略了x轴、y轴） EFMN，EF=MN=1 四边形FEMN是平行四边形 5分由题意得 解得7分5（丰台）已知：关于x的一元二次方程：.（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线(b0)与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围. （1）证明1分该方程总有两个不相等的实数根. 2分（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴， ，解得4分此抛物线的解析式为.5分（3）-3b0）。（1）求：点A、点B的坐标（含m的式子表示）；（2）若OB=4AO，点D是线段OC（不与点O、点C重合）上一动点，在线段OD的右侧作正方形ODEF,连接CE、BE，设线段OD=t，CEB的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；解： （1） A(1,0)、2分（写对一个给1分）；（2）m=1(或解析式)3分 当0t2时，S=8-4t5分（各1分）当2t4时，S=4t-87分（各1分）10（通州）已知二次函数（1）求证：无论a为任何实数，二次函数的图象与x轴总有两个交点.（2）当x2时，函数值随的增大而减小，求的取值范围.Ox（3）以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（M，N两点在二次函数的图象上），请问：的面积是与a无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：（1） 无论a为何实数(1分)抛物线与x轴总有两个交点(2分)（2） (3分)由题意得，（只写或=其一，不给分）(4分)（3）解法一：以二次函数图象的顶点为一个顶点作该二次函数图象的内接正三角形（，两点在二次函数的图象上），这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。二次函数的图象可以看做是二次函数的图象通过平移得到的。如图，正三角形的面积等于正三角形的面积.因此，与a的取值无关点在二次函数的图象上，,点在的图象上， 舍去.(5分),.(6分)正三角形AMN的面积是与a无关的定值,定值为.(7分)解法二：根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则设 又= .(5分) .(6分)正三角形AMN的面积是与a无关的定值.(7分)11.（平谷）二次函数与，这两个二次函数图象中的一条与x轴交于A、B两个不同的点.（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点（写出判断过程）；（2）若A点坐标为（,0），求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，设点C是抛物线上的一点，且ABC的面积为10，直接写出点C的坐标解：令， ， 函数的图象与x轴不相交.1分令 ， ， 函数的图象与x轴有两个不同的交点. 图象经过A、B两点的二次函数为.3分（2）将A（,0）代入，整理，得 .解方程，得 .当m=0时，.令，解得 .此时，点B（1,0）.4分当m=2时，.令，解得 .此时，点B（3,0）.5分（3）点C的坐标为： ；.7分方程、不等式与函数结合12（房山）已知：关于x的方程求证：方程总有实数根；若方程有一根大于5且小于7，求k的整数值；在的条件下，对于一次函数和二次函数=，当时，有，求b的取值范围证明：=(k2)24(k3) =k24k+44k+12 = k28k+16 =(k4)20 此方程总有实根。-2分解：解得方程两根为x1=1 x2=3k方程有一根大于5且小于7 53k7 4k2k为整数 k=3-4分解：由 知k=3-5分 ，即- -6分 在时，有-7分13（密云）已知：、分别为关于的一元二次方程的两个实数根（1）设、均为两个不相等的非零整数根，求的整数值；（2）利用图象求关于的方程的解解：（1）， 由求根公式，得，要使，均为整数，必为整数当取时，均为整数 又 当时，=1，舍当时，舍的值为1和2-3分（2）将，代入方程 ，整理 得 设，并在同一直角坐标系中 分别画出与 的图象（如图所示）由图象可得，关于的方程的 解为， -7分字母系数对代数式、方程、函数的影响14（大兴）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？（2）此抛物线与x轴交于A 两点（点A在点B左侧），且，求k的值.23.解: （1）抛物线与x轴有两个交点, 1分 ，即时，此抛物线与x轴有两个交点2分（2）抛物线与x轴交于A 两点3分点A在点B左侧，即，又， 4分. ， ，即 7分15（石景山）已知：关于的方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围；（2）抛物线：与轴交于、两点若且直线:经过点,求抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，直线:绕着点旋转得到直线：，设直线与轴交于点，与抛物线交于点（不与点重合），当时，求的取值范围解：（1） .1分方程有两个不相等的实数根 .2分（2） 抛物