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1-3 函數1-3函數的基本概念範例 1 : 定義域、值域1. 函數f：R R，f (x) =，(1)則f (6) = (2)欲使f (x)之值為實數，則變數x之範圍為。答： (1)(2) x 32. 設函數f定義為f (x) = x2 + 2x + 5，- 3 x 3，則f的值域f (D) =。答：4，20類題1：1.設f (x) =，則f(x)的定義域為。答案：xR | 1x1 解析：C-22.設 為高斯符號，則下列何者為真？(A) f (x) = x 之值域為Z (B) f (x) = 2x 之值域為 y | y = 2n，nZ (C) f (x) = 2 x 之值域為 y | y = 2n，nZ 答案：AC範例 2 : 一對一函數 與 映成函數1.判斷下列函數是否為 一對一函數 或 映成函數1 . 2. 3. 答：為一對一函數 為映成函數 為對一且映成函數2. 試判斷下列各函數，何者為一對一函數？。(A) f (x) = 3x + 1(B) f (x) = x 2 + 1(C) f (x) = | x |(D) f (x) = 1999。答：. (A)類題2 :(多選) 1.設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的一對一（嵌射）函數？(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。答： (A)(D)2. 設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的映成（蓋射）函數？(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。答：. (A)(D)範例3：合成函數： 1. (a3)=C32：設f(x)=3x+1， g(x)=2x2-3 f：RR g：RR f(g(x)=_？ f(g(x)=_？ 答：f(g(x)= f（g(x)）= f(2x2-3 )=3 (2x2-3)+1=6x2-8 g(f(x)=g(3x+1)=2(3x+1)2-3=2(9x2+6x+1)-3=18x2+12x-1類題3：1：設f(x)= g(x)= 求f(g(1) 答:+12.設f (x) = 2x2 + 1，g(x) = x + 5，試求f ( g (1) ) =，g ( f ( f (x) ) ) =。答案：73；8x4 + 8x2 + 8範例：奇偶函數 奇函數(滿足，偶函數（滿足1. 下列各敘述何者為真？(A)若 f ( 2 ) = 5，f ( 1 ) = 1，f (0) = 0，f (1) = 1，f (2) = 5，則 f 為偶函數(B)若f ( 2 ) = f ( 1 ) = 1，f (0) = 0，f (1) = f (2) = 1，則 f 為偶函數(C)若 f ( 2 ) = f ( 1 ) = f (0) = f (1) = f (2) = 0，則 f 為偶函數，且為奇函數(D)若f ( 2 ) = 5，f ( 1 ) = 1，f (0) = 0，f (1) = 1，f (2) = 5，則 f 為奇函數(E)若函數g：R R，g (x) = x2 + 4，則g為偶函數。答案：ACDE類題： 設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的偶函數？（註：若f (- x) = f (x)，x R，稱f (x)為偶函數。）(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。答：. (B)(C)(E)範例5 : 遞增遞減函數1. 設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的遞增函數？（註：若a，b R，a b恆有f (a) f (b)，稱f (x)為遞增函數。）(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。答：(A)(D)(E)類題5 : 設a表一實數，函數 f (x) = ax + 3，xR，若f為一個遞增函數，則a之範圍是答：. a 0f (x)是一遞增函數 x1 x2f (x1) f (x2)ax1 + 3 ax2 + 3a(x1 - x2) 0a 0（x1 - x2 0，試求f (x)之反函數f -1(x)。答：f -1(x) =(x +)，x R類題：. 下列各函數，何者沒有反函數？(A) f (x) = | x |，- 2 x 3(B) f (x) = x2 +1，x R，x 0(C) f (x) =，x 1(D) f (x) = x3，x R(E) f (x) = x，x R。答： (A)範例：週期函數1. 設函數f (x + 5) = f (x)對任何實數x都成立，且當3 x 8時f (x) = 2x + 7，則下列敘述何者正確？(A) f (5) = 17(B) f (- 36) = 15(C) f (1003) = 23(D) f (3) = 23(E) f (0) = 0。2.設x是自然數且f (x)表以3除x所得的餘數，則f ( 25 )=。答案：1解析：B-2類題7：1. 設f (n) 表“化成小數，小數點後第n位數字 ”，則f ( 1999 ) =。答案：0解析：C-22. 設有一函數f (x)，滿足 f (x) = 3x + 1，0 x 7； f (x + 7) = f (x)，x R，試求：(1) f (5) = 。(2) f (1999) = 。答案：(1) 16(2) 13範例8：函數的相等1.設f (x) ，g(x) = x + 2，若f = g，則x的範圍為。答案：x2解析：B-22. 設函數f (x)滿足f (x)f (y) = f (x + y) + f (x - y)，x，y R，且f (1) = 1，則(A) f (0) = 2(B) f (2) = -1(C) f (3) = - 2(D) f (4) = - 3(E) f (5) = - 41. (A)(B)(C)類題8 : 設函數f：AB，定義f(x) = 2x + 7，已知B = 13，7，15 ，且中的每一個元素都被對應到時，則集合A =。答案： 10，0，4 解析： 13 = 2x + 7x= 107 = 2x + 7x = 015 = 2x + 7x = 4B-2範例9： 下列的圖形中，何者不是y = f (x)之函數圖形？(A)(B) (C) (D) 答：(A)類題9：( )五個圖形中那些是y為x的函數圖形？ () () () () 範例10： 1. 設集合A =1，2，3，4，若f與g均為由A到A的函數，f：，g：，其中上排對應同一直行中下排的元素，將f。g表成上下排對應的型式為。答: 2. 下列兩個變量之間的對應，何者是函數關係？(A) xx的平方根( xN )(B)xx2 ( xR )(C) x(D) (E) 答案：BCDE類題10: 設A = 1，2，3，B = a，b，a b，則由A映至B之函數有種。答: 81-3 自我挑戰_1. 設函數f (x)滿足f (x)f (y) = f (x + y) + f (x - y)，x，y R，且f (1) = 1，則(A) f (0) = 2(B) f (2) = -1(C) f (3) = - 2(D) f (4) = - 3(E) f (5) = - 4_2. 設函數f (x + 5) = f (x)對任何實數x都成立，且當3 x 8時f (x) = 2x + 7，則下列敘述何者正確？(A) f (5) = 17(B) f (- 36) = 15(C) f (1003) = 23(D) f (3) = 23(E) f (0) = 0。_3. 設函數f (x)之圖形如下圖，則下列敘述何者正確？(A) f (0) 0(B) f (- 2) 0(D) f (x)為1 - 1函數(E) f (x)有最小值。_4. 設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的遞增函數？（註：若a，b R，a b恆有f (a) f (b)，稱f (x)為遞增函數。）(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。_5. 設R為全部實數的集合，則下列何者為R映至R的一對一（嵌射）函數？(A) f1(x) = x + 1(B) f2(x) = | x |(C) f3(x) = x2(D) f4(x) = x3(E) f5(x) = 2000。_6. 設R表全部實數的集合且f (x)為R映至R的函數，若f (x) =，則下列敘述何者正確？(A) f () =(B) f (- 4) = f (4)(C) f (6) f (a)，a 5(D) f (x)為1 - 1函數(E) f (x)為映成函數。_7. 設f (x) = ，g (x) = ，則下列何者正確？(A) g。f (3) = 1(B) f。g (3) =(C) g。g (0) = 5(D) f。f (-1) = 1(E) g。f (-1) = - 1。_8. 設一圓之半徑為r，圓周長為，面積為A，下列各敘述，何者為正確？(A)是r之函數(B) A是r之函數(C) r是之函數(D) r是A之函數(E) A是之函數。_9. 下列各函數，那些是奇函數？(A) f (x) = x +，x 0(B) f (x) = x3 -1(C) f (x) = 3x - x3(D) f (x) = | x |(E) f (x) = 5。_10. 設函數f：R R，定義為f (x) = ，關於下列各敘述，何者