坐标系统的转换.doc

1 .不同空间直角坐标系之间的转换不同空间直角坐标系之间的转换有三种模型，即布尔莎模型、范士模型、莫洛金斯基模型 转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一个尺度参数。对于坐标换算而言等价，推导布尔莎公式如下： 如图所示，P在不同坐标系中的坐标 XTX0(1dK)R(e )X （1）式中 XTP在坐标系， OT XTYTZT中的坐标向量XP在坐标系O XYZ中的坐标向量X0原点平移向量， X0(X Y Z)T dK尺度变化系数， R(e )旋转矩阵 当已知转换参数X0、dK、R(e )时，可按上式将Pi点的X坐标系坐标换算为XT坐标系的坐标。按最小二乘原则求解转换参数X0、dK、R(e )如下。因旋转角e 很小，有sine=e 和cose=1，若忽略e 二阶微小量，则旋转阵 代入（10-28）式，忽略二阶微小量dKQXi得 XTiX0R(e)dKXiR(e)Xi X0(EQ)dKXi(EQ)Xi X0dKXiXiQXi 顾及 则（1）式为 （此即用于两空间直角坐标系相互变换的布尔莎七参数公式） 若上式中eXeY0，eZ0，则上式为五参数转换模型。若再有eZ0，则上式为四参数转换模型。若尺度比参数亦为零，则得三参数转换模型 三参数转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，即轴系间不存在欧勒角的条件下导出的，这在实际情况中往往是不可能的。在欧勒角不大，求得欧勒角误差和欧勒角本身数值属同一数量级时，可以近似地这样处置。此种情况在国内外一些坐标换算中屡见不鲜，如北美坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0=-22m，Y0157m，Z0=176；欧洲坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0-84m，Y0-103m，Z0-127m等。我国地心坐标系转换参数（DX-1）也属三个转换参数。 当根据多个公共点按最小二乘法求解转换参数时，对每个点有观测方程 设则误差方程 法方程 单位权方差 不同空间大地坐标系之间的转换对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同大地坐标系的换算公式由式取全微分得式中 （1）上式两端乘以并加以整理得： (2)式中 顾及（1）式及（2）式可写为： (3)上式通常称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式。根据3个以上公共点的两套大地坐标值，可列出9个以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。2. 空间直角坐标与空间大地坐标的转换图表示了空间直角坐标系与空间大地坐标系之间的关系。图2-6地球空间直角坐标系与大地坐标系在相同的基准下空间大地坐标系向空间直角坐标系的转换公式为：(2-1)式中，为椭球的长半轴，为椭球的卯酉圈曲率半径=6378.137km ，为椭球的第一偏心率，为椭球的短半轴=6356.7523141km在相同的基准下空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换公式为式中2.3 不同平面坐标系转换众所周知，坐标系之间的差异主要取决于定位与定向、椭球参数以及坐标系的尺度定义。从原理上讲，严密方法是将旧网的全部观测资料重新归算到新坐标系中，重新平差计算出各点的新坐标。对于二维转换模型，参数的选取依赖于工程项目的需要，在大多数的平面坐标转换应用中，常常使用四参数模型、直接参数法、六参数模型等。四参数模型四参数模型是从布尔莎公式演化而来的，其计算公式为: （1）式中， x、y、m 分别为平面上的平移、旋转、尺度参数。不难看出，要求出4 个参数至少需要2 个已知公共点。当有2 个以上转换公共点时，将此模型转换为线性模型用最小二乘求解： （2）式中, a= x，b= y ，c = mcos, d=msin， m= a2+b2对于n 个公共点可列如下误差方程:设所有转换点带有误差的观测值等权，则由式(3)的误差方程，通过间接平差法求得转换参数向量x的最小二乘解为：x= BTPB-1BTPL（其中P 为单位权），从而求出a、b、c、d。则平移参数为x=a，y=b，再用以下两式计算旋转参数和尺度因子m： = a2+b2，m=arctan ( -c/d)直接参数法直接参数法就是利用两套坐标系两个已知公共点的坐标（X1, Y1）、（X2, Y2）、（x1, y1）、（x2, y2）求出坐标转换平移参数、尺度因子、旋转参数。数学模型XY=X2Y2-X1Y1，xy=x2y2-x1y1S=X2+Y2,s=x2+y2,A=在此处键入公式。,=平移参数(Dx)Dy=X1Y1-x1y1,尺度因子m=S-sS，旋转参数=A-则其他点（Xi, Yi）的坐标转换公式为：XiYi=XiYi-X1Y1XiYi=(1+m)cos sin -sin cos XiYixiyi=X1Y1+xiyi-(Dx)Dy=x1y1+XiYi上式方法是直接根据两公共坐标求转换参数，然后根据转换参数求坐标增量的转换值，最后求出转换点在新坐标系下的坐标。六参数模型六参数模型是一种平面仿射变换，将两坐标轴的指向经过2个角度旋转和，并采用2 个尺度因子，即纵向尺度因子x和横向尺度因子y。在任意2 个平面坐标间的六参数仿射变换，可以用如下公式：(4)式中, x、y 为平移参数; 、为旋转参数; x、y为比例因子。显然，要求解6 个转换参数，至少需要3 个公共点的坐标。当有3 个以上转换公共点时，可用最小二乘求解转换参数。将式(4) 矩阵运算解开，可得令0= x，1=xcos，2=ysin b0=y , b1=xsin, b2=ycos则上式可以写为：由以上两式可见，X 和x、y 之间存在线性关系，Y 和x、y 之间也存在线性关系，因此以上两式完全可以由线性回归原理进行解算。用一个通用型线性回归模型代替以上两个式子，即 （5）按最小二乘原理，令（5）式可得线性回归系数k j(j=1,2,3)，即式中对于通用线性回归模型(5) 将Z 变为X，则K1、K2、K3 即分别