市场需求下的进货策略分析模型.doc

市场需求下的进货策略分析模型承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 天津师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 韩倩 2. 孙婵 3. 陈永秋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日市场需求下的进货策略分析模型摘要我们以季度作为划分，分别求出每个季度A、B、C三种产品的销售量的情况并画出柱形图，从图中我们可发现A、B、C三种产品的销售量中：C的销售市场很大，B适中，A的销售市场不是很开阔。进而利用excel和matlab应用程序对A、B、C三种产品的数据进行处理和图像生成，可知销售量符合泊松分布（，其中的为泊松分布的期望），由A,B,C数据求得，A销量的期望为2.7564，B销量的期望为4.6267，C销量的期望为7.4945。同时对于所求结果利用假设检验、matlab程序检验和模型代入实际情况来进行验证，进一步确保模型的准确性。针对于问题一：通过建立模型并计算得，对于物品A，每次订货量，对于物品B,每次订货量，对于物品C，每次订货量为。总的订货量为。则订货次数为，则进货周期为，即每隔16天进一次货，每次进货总量为240件（其中A物品45件，B物品75件，C物品120件）。针对问题二、三:当需求量小于储存量时缺货量为零，需求量大于储存量时缺货量为需求量-储存量，所以在任一周期内出现缺货量的期望值为：，经计算出825天A、B、C总的缺货量分别为114.9、153.2、222.9。由于需求量=储存量+缺货量，故A、B、C的日均需求量可分别修正为2.79、4.86、7.72。针对于问题四：我们利用（s,S）进货策略，设为进货下限，为进货上限，若问题一中所得进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，即问题一中所得三种产品每次进货量即为进货上限，则,而对于进货下线，则按照进货次数尽可能少的标准，不进货自然比进货次数少，既不进货的条件是：，则当需求量达到最小时，即为物品的进货下限。又因要使缺货损失减半，即，则可求得通过计算可得出最终答案。关键字：泊松分布 拟合 （s,S）进货策略 假设检验 最大似然估计问题提出某商店取得了某物在该区域的市场经销权，销售该物的三类产品，附表1给出了该店过去连续800多天的三类产品销售记录。根据附表1数据，解决如下问题：（1）该店三类产品的进货策略是什么？800多天内共进了多少次货？（2）该三类产品在该区域的市场需求如何？（3）分析现有进货策略下，该店的缺货情况（包括缺货时间及缺货量）。（4）如果现有进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，如何改进进货策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少？模型假设1、 假设销售的时间是平均的（该店每天的营业时间是固定的）。2、 货源供给能力无限大（相对于需求量），进货可视为瞬间完成。3、假设定价与所定产品的数量无关。4、假设运输价格与所运货物数量无关。5、假设运输过程中0损耗。6、假设一个季度有90天。字符说明1、 P表示概率分布（泊松分布）；2、 表示泊松分布中的均值和方差；3、 825天总期望需求量为D，计划期为，每次的订货量为Q，缺货时间为L，需求量为，均值为，库存为s；4、 分别表示A、B、C三类产品在x=k处的概率；5、 表示在任一周期内出现缺货量的期望值；6、 分别表示A、B、C三类产品每次的订货量；7、 分别表示A、B、C三类产品的的断货天数，而则表示三类产品的缺货天数。8、 任一周期内出现缺货量的期望值为，第天的缺货量为9、 第天的对物品的贮存量为，则对商品的贮存量为10、 第天的对物品的需求量为建立模型首先，我们以季度作为划分，大致分为九个季度，分别求出每个季度A、B、C三种产品的销售量的情况，作出所对应的柱形图从图中我们可发现A、B、C三种产品的销售量中：C的销售市场很大，B适中，A的销售市场不是很开阔。其次，我们利用Excel对A、B、C三组数据进行数据处理，得到三类产品的销售量的频数及频率。频数、频率分布表及其图像如下所示：A频数频率0700.08484848511480.17939393921650.231880.22787878841280.1551515155710.0860606066330.047150.018181818840.004848485910.0012121211010.0012121211110.001212121总计8251B汇总频率0500.0606060611330.042770.09333333331100.13333333341310.15878787951370.16606060661070.129696977910.110303038370.0448484859280.03393939410140.0169696971150.0060606061220.0024242421410.0012121211510.0012121211610.001212121总计8251C汇总频率0210.025454545180.009696972140.0169696973310.0375757584550.0666666675770.09333333361070.1296969771130.13696969781020.1236363649810.09818181810770.09333333311570.06909090912320.03878787913300.0363636361460.00727272715100.0121212121620.0024242421720.002424242总计8251由上面三种产品频率分布图像分析可知，三类商品销售频率分布图像与泊松分布图像近似，不妨假设A、B、C的销售量均服从泊松分布。其中的为泊松分布的期望，由A,B,C数据求得，A销量的期望为2.7564，B销量的期望为4.6267，C销量的期望为7.4945。我们根据任意30天的销售量数据作出所对应的柱形图，图像如下所示：由上图可知：三类商品在两年内的日均销售量均在一定数值内随机变化。可将此模型定义为供求平衡状态。则可得到如下等式：平均需求量平均销售量即A、B、C的需求量的期望可近似为2.7564、4.6267及7.4945。则可用matlab拟合出对应A、B、C需求量的泊松分布的曲线，并与频率分布图像作比较得： 结合图形和理论数据，我们可以很容易的看出，A、B、C的出售数量与频率的分布图象均与对应泊松分布的图象十分相近。则可得结论，A、B、C需求量均近似服从泊松分布A近似服从的泊松分布为，B近似服从的泊松分布为C近似服从的泊松分布为针对于问题一，我们可按两种进货策略考虑该商店的进货情况：一种是固定周期进货，另一种是固定贮存量进货。三类物品均有连续销售零点的日期出现，我们可认为这一时刻为该商品的缺货点。因供应不足未及时补充货品而导致缺货的出现，由此我们可认为该商店的进货方式为，固定周期进货。假定在计划期内，总需求量的期望值为D，在缺货时间L内，需求量为，其频率为，均值为，显然有关系式.结合上文中得到的泊松分布折线图及实际销售量频率分布散点图，发现C类物品的泊松分布图中需求量为0的点的分布概率比A,B物品的更接近于0，即可认为C类物品销售零点表示当日缺货的概率大于A,B类物品，因此把C的销售零点作为我们分析的重要依据。现在我们分析数据中销售零点的特殊含义：一是当日销售量为零，二是如果销售零点连续出现则表示该商品缺货。商家的进货时间应在C的销售零点处上下波动，我们不妨直接认为C类物品销售量由0变至非0那一天为商家进货时间。如下表格所示为所有C物品的销售零点序号ABCC销售零点相隔天数64350165140126191020119232001933701194150126320620333533501354510433971401398260174153303244721028475620162503250822013964741076540702167533016761201677250其中黄色标记为预计进货日期，将其进行差分为（如下表所示）对应日期时间段长A的销售总量B的销售总量C的销售总量66-194129357571946195-320126340590957321-3543488150240355-39844116225342399-415174565120416-4473285150231448-4762990146216477-5083281150239509-6471393916531056648-6547234859655-677236296181观察其中红色标记的销售总量45，90；150，225；120，240；与对应时间短长近似成比例，又45,120以及150,240成对出现，A、B、C的储存上限分别为45、75和120。对于物品A，每次订货量，对于物品B,每次订货量，对于物品C，每次订货量为。总的订货量为。则订货次数为，则进货周期为，即每隔16天进一次货，每次进货总量为240件（其中A物品45件，B物品75件，C物品120件）。针对于问题二和问题三：设一个周期初始时有库存，假定这个周期内的需求量为，显然，当时，缺货量为0，当时，缺货量为。在任一周期内出现缺货量的期望值为：通过计算得，A每个周期（16天）的缺货量的期望为2.2287件；B 每个周期（16天）缺货量的期望为2.9716；C每个周期（16天）缺货量的期望为4.3222。由此可以计算出825天A、B、C总的缺货量分别为114.9、153.2、222.9。通过对折线图(商品A、B、C的销量与泊松分布)的分析发现，奇异点出现在销售零点处，且在零点处的差别具有一致性，即销售量零点的频率均大于需求量零点的概率，可解释为：在实际销售过程中出现日销售为零有两种可能，一是产品当日需求量为0，无人购买；二是产品在当日需求量不为0但库存断货，无法销售。因此我们可以通过销售分布与需求分布在零点处的差值来寻找在原始数据的若干零项中储存量为零的天数，并考虑到随机性可以有一两天的浮动空间。故可以推算出三类产品的断货天数：同理，我们可以将三类产品的缺货天数，即因为货物供应量小于需求量的天数，近似为销售分布与需求分布在1点处的差值：（故可近似认为缺货天数近似为零）故产品缺货总天数为缺货天数与断货天数之和，代入数据计算可得A、B、C的缺货总天数分别为21、41、25。总体的销售量与缺货量之和同总天数之比可作为修正后的日需求量，故最终：A的市场日需求量为：；B的市场日需求量为：；C的市场日需求量为：。针对于问题四：若将进货周期调整为15天，再次利用公式易计算得三类产品缺货量均可减半，如以下表格所示:产品单位周期缺货量总缺货量周期15天A1.168964.2912B1.279470.3678C1.510483.0711但这不符合进货次数尽可能少的原则，因此改为固定存储量进货的策略。我们利用（s,S）进货策略，设为进货下限，为进货上限，若问题一中所得进货策略已经充分考虑了该店的产品存贮能力，即问题一中所得三种产品每次进货量即为进货上限，则,而对于进货下限，则按照进货次数尽可能少的标准，不进货自然比进货次数少，既不进货的条件是：，则当需求量达到最小时，即为物品的进货下限。又因要使缺货损失减半，即，则可求得模型求解问题一： 通过计算得，对于物品A，每次订货量，对于物品B,每次订货量，对于物品C，每次订货量为。总的订货量为。则订货次数为，则进货周期为，即每隔16天进一次货，每次进货总量为240件（其中A物品45件，B物品75件，C物品120件）。问题二：我们将这三个产品的800多个数据以季度划分，计算出每个季度每个产品的销售量情况。A、B、C均近似服从泊松分布，我们求出每组所对应的均值、方差。所求日需求量为日销售量与日缺货量之和。其中，A类产品的日销售量为2.76件左右，B类产品的日销售量为4.63件左右，C类产品的日销售量为7.49件左右。通过对图形的拟合对比，发现实际销售量为0和1的天数明显大于泊松分布拟合出的需求量为0和1的天数，我们可以认为这是由于断货或者缺货造成的。进一步求出该三类产品的缺货量分别为经计算出825天A、B、C总的缺货量分别为114.9、153.2、222.9。由于需求量=储存量+缺货量，故A、B、C的日均需求量可分别修正为2.79、4.86、7.72。问题三：我们所求的市场需求量修正为销售量与缺货量之和。其中A的日均销售量为2.7564；B的日均销售量为4.6267；C的日均销售量为7.4945。利用单位周期内的缺货量期望计算公式： 得：A每个周期（16天）的缺货量的期望为2.2287件；B 每个周期（16天）缺货量的期望为2.9716；C每个周期（16天）缺货量的期望为4.3222。由此可以计算出825天A、B、C总的缺货量分别为114.9、153.2、222.9。问题四：若将进货周期调整为15天，再次利用公式易计算得三类产品缺货量均可减半，如以下表格所示:产品单位周期缺货量总缺货量周期15天A1.168964.2912B1.279470.3678C1.510483.0711结果分析与检验 对于所给三种产品销售量是否符合泊松分布，我们利用matlab进行程序检验（详见附录一），通过程序的运行我们可知，销售量符合泊松分布。我们对所拟合的A,B,C三种产品销售频率分布的拟合优度进行检验。对于A物品的销售频率近似服从的泊松分布为检验设原假设每类出现的概率为这里的未知参数采用最大似然估计，将代入可以估计出诸，则0700.063552.38755.92126311480.175031144.40090.08970521650.241228199.01335.81321131880.221641182.85340152732126.00430.0316085710.08419869.463660.033986330.03868131.91160.0371227150.01523112.565880.471511840.0052484.3295730.025088910.0016071.3260040.080151010.0004430.36551.101481110.0001110.0915889.010098总计8251824.71339.97E-05设检验统计量为，则在成立时近似服从自由度为的分布，于是检验拒绝域为若取，则，因，故接受原假设，即A物品销售频率分布服从泊松分布对于B物品的销售频率近似服从的泊松分布为检验设原假设每类出现的概率为这里的未知参数采用最大似然估计，将代入可以估计出诸，则0500.0097878.074277217.69951330.04528237.357260.508222770.10475286.420421.0268931100.161552133.28044.06645741310.186863154.16223.48000951370.172912142.65240.22396961070.133335110.00170.0819077910.08812972.706384.602858370.05096842.048830.6062159280.02620221.616371.88518110140.01212310.001241.5988061150.0050994.2066140.1496361220.0019661.6218950.0881461300.00070.5772330.5772331410.0002310.1907633.432871517.13E-050.0588415.054021612.06E-050.01701556.78956总计8250.999992824.9938311.8715设检验统计量为，则在成立时近似服从自由度为的分布，于是检验拒绝域为若取，则，因，故拒绝原假设。但观察数据发现，统计量差值的奇异点出现在零点处，而我们又知该数据为实际出售量，出现零点可能由缺货所导致，除零点以外考虑数据是近似服从泊松分布的。C近似服从的泊松分布为设原假设每类出现的概率为这里的未知参数采用最大似然估计，将代入可以估计出诸，则0210.0005560.458811919.6386180.0041683.438566.0510022140.01561812.885140.096463310.03901732.189240.0439374550.07310460.310560.4676145770.10957590.39951.98614661070.136868112.91650.31000871130.146537120.89330.51535981020.137278113.25431.1183649810.11431494.309381.87828210770.08567370.680170.56508511570.05837148.155681.62435612320.03645530.075230.12318213300.02101617.338379.2463631460.011259.2816011.16024215100.0056214.6373976.2012171620.0026332.1721860.0136491720.0011610.9576151.1346618250.999216824.3535952.1745设检验统计量为，则在成立时近似服从自由度为的分布，于是检验拒绝域为若取，则，因，故拒绝原假设。但观察数据发现，统计量差值的奇异点出现在零点处，而我们又知该数据为实际出售量，出现零点可能由缺货所导致，除零点以外考虑数据是近似服从泊松分布的。 而上述在零点处出现的偏差，也恰好验证了我们在接下来问题求解中，以零点日期为切入点的正确性。模型评价优点：此模型考虑了题目中的所有考虑因素，制订了相应条件的订购方案、存储方案和运输方案，规划合理，并运用matlab和概率论，数理分析得出了结果，应此结果准确性高，误差小；同时，运用excel对数据进行了多次处理，反复对数据进行拟合，将其应用到更大规模的商业链中同样合理，具有相同的适应性和可操作性，准确性也有所保障。3.模型最大优点在于对原始数据拟合时, 采用多种方法进行, 使之愈来愈完善, 具有很高的拟合精度和适度性。缺点：假设条件很多，这就直接导致与实际情况仍有一定的差距，同时，对各种突发因素（财物损坏、产品质量问题）尚未纳入考虑的范围之内，因此将其应用到实际中去时可能会有很多因素（节假日、进出货价格的变化、商店运行成本费用、交通费用）没有考虑周全，因此导致一系列计算数据误差较大。因为缺乏某些现实统计数据的支持，导致人为主观因素在模型的建立计算过程中的影响举足轻重，因此在选择处理方法时也受到条件上的众多限制。故此模型并不完全贴合实际，不利于实际的应用。参考文献1.姜启源.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2003.8.2.张立新，李海霞，牟红青.进货策略及检验.SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION.2010(1)3.谷根代 张文文 均匀销售库存模型的（s,S）进货策略 华北电力大学 20024.魏宗舒等. 概率论与数理统计教程M . 高等教育出版社.1983. 10.5. 茆诗松 程依明 濮晓龙 概率论与数理统计 高等教育出版社 2004.7附录附录一：概率分布检验matlab程序function f=p_judge(A,alpha) mu,sigma=normfit(A);p1=normcdf(A,mu,sigma); H1,s1=kstest(A,A,p1,alpha) %检验函数 n=length(A); if H1=0 disp(该数源服从正态分布) else disp(该数源不服从正态分布) end phat=gamfit(A,alpha); p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2); %本题中用的是该部分算法用以检验泊松分布 H2,s2=kstest(A,A,p2,alpha) if H2=0 disp(该数源服从Y分布) else disp(该数源服不从Y分布) end lamda=poissfit(A,alpha); p3=poisscdf(A,lamda); H3,s3=kstest(A,A,p3,alpha) if H3=0 disp(该数源服从泊松分布) else disp(该数源不服从泊松分布) end mu=expfit(A,alpha); p4=expcdf(A,mu); H4,s4=kstest(A,A,p4,alpha) if H4=0 disp(该数源服从指数分布) else disp(该数源不服从指数分布) end附录二%商品A的销量与泊松分布clearA=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11;X=70,148,165,188,128,71,33,15,4,1,1,1;%A产品每日销售量对应的频数Y=X/825;% A产品每日销售量对应的频率Z=poisspdf(A,2.7564);plot(A,Y,A,Z)xlabel(产品A的销售量);ylabel(频率/分布);legend(商品A,泊松分布);title(商品A的销量与泊松分布);%商品B的销量与泊松分布clearB=0,1