解析几何真题训练.doc

解析几何强化训练（一）1、（10年安徽）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。 ()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。2、（09广东理）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若曲线与有公共点，试求的最小值3、（09山东理）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。4、（09天津）椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求直线AB的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m5、如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（I）设点P满足:，证明:；（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程. 6、（10年湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有连个交点A，B的任一直线，都有0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由7、（09福建理）已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k8、（10年天津）已知椭圆 (0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。()求椭圆的方程：()设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B。已知点A的坐标为(a，0)，点Q (0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且。求y0的值。9、(10年上海)已知椭圆的方程为，点P的坐标为（）.（1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.10、（09全国2）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为。() 求a，b的值；() C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由11、（09湖北理）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当时，求证：；（）记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。12、（10年浙江）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 13、（09海淀一模理）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形. （）求椭圆的方程； （）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 14、（09西城一模理）已知椭圆C ，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.（）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；（）设P为椭圆上一点, 且 (O为坐标原点). 求当时，实数的取值范围.15、（09海淀二模理）已知抛物线C:，过定点，作直线交抛物线于（点在第一象限）. （）当点A是抛物线C的焦点，且弦长时，求直线的方程； （）设点关于轴的对称点为，直线交轴于点，且.求证：点B的坐标是并求点到直线的距离的取值范围.解析几何强化训练（一）1、（10年安徽）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。()求椭圆的方程；()求的角平分线所在直线的方程；()在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。解、（I）设椭圆E的方程为，由e=，即，a=2c，得b2=a2c2=3c2， 椭圆方程具有形式，将A(2，3)代入上式，得，解得c=2， 椭圆E的方程为；（II）解法1：由（I）知F1(2，0)，F2(2，0)，所以直线AF1的方程为：y=(x+2)，即3x4y+6=0，直线AF2的方程为: x=2，由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数，设P(x，y)为l上任一点，则，若3x4y+6=5x10，得x+2y8=0 (因其斜率为负，舍去)，于是，由3x4y+6=5x+10，得2xy1=0，所以直线l的方程为：2xy1=0.解法2： A(2，3)，F1(2，0)，F2(2，0)， , ， kl=2， 直线l：y3=2(x1)，即2xy1=0.（III）解法1：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)， BCl， ，设BC的中点为M(x0，y0)，则，由于M在l上，故2x0y11=0， 又B，C在椭圆上， 有，两式相减得，即，将该式写成，并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达式中，的，即3x02y0=0， 2得x0=2，y0=3，即BC的中点为点A，而这是不可能的，不存在满足题设条件的点B和C.解法2：假设存在这样的两个不同的点B(x1，y1)和C(x2，y2)关于直线l对称，则lBC， kBC=，设直线BC 的方程为y=x+m，将其代入椭圆方程，得一元二次方程3x2+4(x+m)2=48，即x2mx+m212=0.则x1与x2是该方程的两个根，由韦达定理得x1+x2=m，于是y1+y2=(x1+x2)+2m=m， B，C的中点坐标为，又线段BC的中点在直线y=2x1上， m=m1，得m=4，即B，C的中点坐标为(2，3)，与点A重合，矛盾.不存在满足题设条件的点B和C.2、（09广东理）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）若曲线与有公共点，试求的最小值解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.3、（09山东理）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 4、（09天津）椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求直线AB的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （I） 解：由/且，得，从而 整理，得，故离心率 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （II） 解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由题设知，点B为线段AE的中点，所以 联立解得，将代入中，解得.(III)解法一：由（II）可知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组 ， 由解得故当时，同理可得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法二：由（II）可知当时，得,由已知得由椭圆的对称性可知B，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为.因为，所以，解得m=c（舍），或.则，所以. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时同理可得 5、如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m0)作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点.（I）设点P满足:，证明:；（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.解：（）依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 设A、B两点的坐标分别是 、x2是方程的两根.所以 由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是（0，m），从而. 所以 （）由 得点A、B的坐标分别是（6，9）、（4，4）.由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为 设圆C的方程是则解之得 所以圆C的方程是 即 6、（10年湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1()求曲线C的方程；()是否存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有连个交点A，B的任一直线，都有0 ? 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）设是曲线上任意一点，那么点满足： 。 化简得 （）设过点的直线与曲线的交点为。 设的方程为，由得， 于是 又 又，于是不等式等价于 由式，不等式 等价于 对任意实数，的最小值为0，所以不等式对于一切成立等价于 ，即 。 由此可知，存在正数，对于过点，且与曲线有两个交点 的任一直线， 都有，且的取值范围是7、（09福建理）已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k【解析】解法一：()当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得BOT=60或120.(1)当BOT=60时, SAE=30.又AB=2,故在SAE中,有 (2)当BOT=120时,同理可求得点S的坐标为,综上, ()假设存在,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SB为直线的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且k0,可设直线AS的方程为.由设点故,从而.亦即由得由,可得即经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.解法二: ()同解法一.()假设存在a,使得O,M,S三点共线.由于点M在以SO为直径的圆上,故.显然,直线AS的斜率k存在且K0,可设直线AS的方程为由设点,则有故由所直线SM的方程为O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即. 故存在,使得O,M,S三点共线.8、（10年天津）已知椭圆 (0)的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。()求椭圆的方程：()设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B。已知点A的坐标为(a，0)，点Q (0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且。求y0的值。【解析】（1）解：由，得，再由，得由题意可知， ，解方程组 得 a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（2,0）。设B点的坐标为（x1,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由 得 设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当K时，线段AB的垂直平分线方程为令x=0，解得，由整理得综上。 9、(10年上海)已知椭圆的方程为，点P的坐标为（）.（1）若直角坐标平面上的点、满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）对于椭圆上的点 ，如果椭圆上存在不同的两个交点、满足，写出求作点、的步骤，并求出使、存在的的取值范围.解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又因为，所以，故E为CD的中点；(3) 求作点P1、P2的步骤：1求出PQ的中点，2求出直线OE的斜率，3由知E为CD的中点，根据(2)可得CD的斜率，4从而得直线CD的方程：，5将直线CD与椭圆的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，所以，化简得，又0q p，即，所以，故q 的取值范围是10、（09全国2）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为。() 求a，b的值；() C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由 11、（09湖北理）过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）当时，求证：；（）记、 、的面积分别为、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。解：依题意，可设直线MN的方程为，则有 由消去x可得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而有 于是 又由，可得 （）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线此时 可得证法1：证法2： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()存在，使得对任意的，都有成立，证明如下：证法1：记直线与x轴的交点为,则。于是有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 将、代入上式化简可得上式恒成立，即对任意成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证法2：如图2，连接,则由可得,所以直线经过原点O，同理可证直线也经过原点O又设则12、（10年浙江）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. （）解：因为直线经过，所以,得， 又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于， 故为的中点， 由，可知 设是的中点，则， 由题意可知即即 而 所以即 又因为且所以。 所以的取值范围是。13、（09海淀一模理）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形. （）求椭圆的方程； （）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 解：（）如图，由题意得，.，.所求的椭圆方程为. 3分（）由（）知，（，0），（2，0）.4分由题意可设：，（，）. ，（2，）. 5分 由