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线性代数 辅导书 杭州电子科技大学数学教研室 2003 年 8 月 线性代数辅导书 1 编写本书的目的是为了我校学生在 线性代数 的学习中提供 一些帮助和辅导 本书在内容安排上是以高等工科院校 线性代数 的教学 大纲为基准的 因此在次序上与所用教材不一定相同 本书对每一部分内容 首先给出大纲要求 使学生能明确所 应达到的目标和学习的重点 然后对每一部分主要内容 难点 重点作了简单分析和讲解 最后以较大篇幅给出了一些典型例 子 对每个例子尽可能给以多种解法 有的还给出了学生容易 出现的错误之分析 我们建议读者在使用本书时 对例子能自己先想一想 并 动手算一算 然后再看所给解答 这样会有更大帮助 在编写本书的过程中 我们得到了学校 理学院领导及教 研室同事们的许多支持和帮助 在此我们表示衷心感谢 同时 由于我们水平所限 错误或不当之处在所难免 恳请大家批评 指正 以便今后修正 编者 2003 8 线性代数辅导书 2 目 录 第一章 行列式 3 第二章 矩 阵 24 第三章 n 维向量和线性方程组 41 第四章 向量空间 73 第五章 特征值 特征向量 实对称阵的对角化 82 第六章 二次型 93 线性代数辅导书 3 第一章 行列式 一 基本要求 1 理解 n 阶行列式的概念 2 掌握行列式的性质 会应用行列式的性质和行列式按行 列 展开定理熟练计算 3 4 阶行列式 会计算较简单的 n 阶行列式 二 基本概念与要点揭示 1 行列式概念 i n 阶行列式 D aaa aaa aaa n n nnnn 11121 21222 12 等于 n 项的代数和 每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 aaa pp n p n 1 1 2 2 这 里pppn 12 是 1 2 n 的一个 n 元排列 当p ppn 12 为偶排列时 该项带正号 当 p ppn 12 为奇排列时 该项带负号 记为 n n ppp n nppp ppp aaaD 21 21 21 21 1 其中 p ppn 12 表示对 1 2 n 的 n 个全排列求和 上式右端称为 n 阶行列式的展开式 ii 转置行列式 若记 D aaa aaa aaa D aaa aaa aaa n n nnnn T n n nnnn 11121 21222 12 11211 12222 12 则称行列式DT为行列式 D 的转置行列式 iii 代数余子式 在 n 阶行列式中 把元素aij所在的第 i 行和第 j 列划去后 留下来 的 n 1 阶行列式称为元素aij的余子式 记作Mij 余子式Mij连同符号 1 ij 的乘积 AM ij ij ij 1 称为元素aij的代数余子式 元素aij的代数余子式Aij与aij的位置有关 而与aij本身数值无 线性代数辅导书 4 关 2 行列式的性质 i 行列式与它的转置行列式相等 ii 互换行列式的任意两行 列 行列式变号 iii 行列式中某一行 列 元素的公因子可以提到行列式外 或者说 用一个数乘行列 式等于用该数乘行列式的某一行 列 iV 若行列式中的某两行 列 对应元素成比例 或有一行 列 元素全为零 行列式的 值为零 V 若行列式的某一行 列 元素都是两个数之和 则此行列式等于两个行列式之和 即 aaa ababab aaa aaa aaa aaa n iiiiinin nnnn n iiin nnnn 11121 1122 12 11121 12 12 aaa bbb aaa n iiin nnnn 11121 12 12 vi 将行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数加到另一行 列 对应的元素上去 行 列式的值不变 3 行列式按行 列 展开 i n阶行列式D中的任意一行 列 的各元素aij与其对应的代数余子式Aij的乘积之和 等于 D 的值 而任意一行 列 的各元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积之和等于 零 即 a Aa Aa Aa AD ijijinjnikjkij k n 1122 1 D ij ij 0 1 或 a Aa Aa Aa AD ijijninjkikjij k n 1122 1 ji jiD 0 2 其中 ij ij ij 1 0 称 1 式为按行展开 2 式为按列展开 ii行列式的拉普拉斯 Laplace 展开 k阶子式定义 n阶行列式D中 任取k行k列 1 kn 位于这些行和列的交点上k 2 个元素按原来次序所构成的 k 阶行列式 N 称为 n 阶行列式 D 的一个 k 阶子式 k 阶子式的代数余子式定义 在 n 阶行列式 D 中划去某 k 阶子式 N 所在的 k 行 k 列后剩 下的元素按原来次序所构成的 n k 阶行列式 M 称为 k 阶子式 N 的余子式 假如 k 阶子式 N 所 在 行 的 序 号 是i iik 12 所 在 列 的 序 号 是jjjk 12 那 么 线性代数辅导书 5 1 1212 iiijjj kk MA 称为 k 阶子式 N 的代数余子式 拉普拉斯 Laplace 定理 设在 n 阶行列式 D 中任意取定了 k 个行 11 kn 由 这 k 个行元素所构成的一切 k 阶子式与它们所对应的代数余子式乘积的和等于行列式 D 的 值 即 若在 D 中取定 k 行后得到的一切 k 阶子式为NNNt 12 它们所对应的代数余 子式依次为A AAt 12 则 DN AN AN AN A ttii i t 1122 1 其中 tC n nnk k n k nk n k 11 拉普拉斯展开的两个特殊情况 aa aa ccbb ccbb aa aa bb bb n nnn nm mmnmmm n nnn m mmm 111 1 111111 11 111 1 111 1 00 00 mmm m nnn n mn mnmmmm nm nnn n bb bb aa aa ccbb ccbb aa aa 1 111 1 111 11 111111 1 111 1 00 00 4 一些特殊行列式 i aaa aa a a aa n n nn nn 11121 222 1122 0 00 注 主对角线以上元素全为零的行列式结论同上 ii aaa aa a a aa n n n n nnn 11121 2122 1 1 2 1211 0 00 1 线性代数辅导书 6 注 次对角线以上元素全为零的行列式结论同上 iii 范德蒙 Vandermonde 行列式 111 12 1 2 2 22 1 1 2 11 1 aaa aaa aaa aa n n nn n n ij j i n 2时 D aabab aabab aabab babab babab babab n n nnnn n n nnn 1121 2222 2 1121 1222 12 aaabab aaabab aaabab n n nnnnn 11131 22232 3 ababab ababab ababab n n nnnn 12131 22232 23 baabab baabab baabab n n nnnn 11131 12232 13 bbabab bbabab bbabab n n nnn 12131 12232 123 bbb a a a b aa aa aa n nnn 23 1 2 1 11 22 11 11 11 1 1 1 0 综合上述 所求行列式D n aabbn abn 02 2 1 1221 11 注 此题也可不用分裂法 而利用行列式性质 vi 化简 计算将会更简单 例 9 计算 D aaa bbb ccc bbba 123 123 123 1111 1111 1111 解 将最后一列改写为两项之和 即 线性代数辅导书 17 D aaa bbb ccc bbbabb 123 123 123 11101 11101 11101 再将最后一列分裂为两个行列式之和 得 D aaa bbb ccc bbbab 123 123 123 1110 1110 1110 aaa bbb ccc bbbb 123 123 123 1111 1111 1111 111 1111 1111 1111 111 111 111 321 321 321 321 321 321 ccc bbb aaa b ccc bbb aaa ba 第一个三阶行列式再继续折成行列式之和 而第二个四阶行列式第四行乘以 1 分别加到第 一 二 三行上 得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 21 21 31 31 31 32 32 32 321 321 321 cc bb aa cc bb aa cc bb aa ccc bbb aaa baD 321 321 321 ccc bbb aaa b a aaa bbb ccc ab aa baba caca aa baba caca aa baba caca 123 123 123 23 2233 2233 13 1133 1133 12 1122 1122 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2211 2211 3311 3311 3322 3322 333 222 111 acac abab acac abab acac abab ba cba cba cba a a a b ca b ca b ca b ca b ca b cabbaca 12323 13 123212131322233 bacabacabacabaca 3322113333111122 baca 2211 5 利用范德蒙行列式计算 线性代数辅导书 18 例 10 解方程 1 1248 13927 1525125 0 23 xxx 解 将行列式转置便知它是一个 4 阶范德蒙行列式 即 1 1248 13927 1525125 1111 235 4925 827125 23 2 3 xxx x x x 23532 52 530 xxx 方程的解为xxx 235 例 11 计算 D aaba bb aaba bb aababb nnnn nnnn n n n n nnn n n n 11 1 11 1 1 1 22 1 222 1 2 11 1 111 1 1 解 将行列式的第 1 2 n 1 行分别提取aaa nn n n 121 得 Da aa b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n nn nn n n n n n n n n 121 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 再将行列式转置 可得 Da aa b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n n nn n n n nn n n n 121 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 111 线性代数辅导书 19 a aa b a b a n ni i j j j i n 121 11 例 12 计算 D xxx xxx xxx xxx n n n nn n n nn n n 111 12 1 2 2 22 1 2 2 22 12 解 此行列式与范德蒙行列式很相似 如果在第 n 1 行与第 n 行中间添加一行xin 1 i 1 2 n 再添加第 n 1 列 即得如下形式的范德蒙行列式 n n n nn n nn nn n nn nn n nn n y xxxy xxxy xxxy xxxy xxxy 1 12 1 2 2 22 2 1 2 2 222 1 1 2 111 12 1 1111 xxxxxxyx xxxxyx n n 213111 3222 xxyx nnn11 n xy yxxx iij j i ni n 11 1 再考察原行列式Dy nn 与 1 的关系 而Dn恰好是 ny 1 中元素y n 1 的余子式 MD n nn 1 若将 ny 1 按最后一列展开 则y n 1的系数为 1 1 1 nn n nn MD 再由 ny 1 的表达式 1 可求得y n 1的系数为 x xx iij ij i ni n 1 线性代数辅导书 20 于是 原行列式Dn的值为Dxxx niij j i ni n 11 6 利用数学归纳法 一个与自然数n有关的命题 如果能证明当n s时命题成立 s为自然数 它根据具体问题 所确定的初始值 再假设在nk ks 时命题也成立 若能证明当nk 1时命题成立 则命题对所有大于或等于 s 的自然数都成立 那么以上所阐述的方法 称为第一数学归纳 法 若将假设nk ks 改为nk ks 时 则称上述的方法为第二归纳法 例 13 证明 D n n 21000 12100 01200 00021 00012 1 cos cos cos cos cos sin sin 证明 用第二归纳法 当 n 1 时 D12 22 cos cos sin sin sin sin 等式成立 假设 nk 1时 等式成立 证明当nk 时 等式也成立 Dk按第一行展开 得 Dk k 2 2100 1210 0002 0001 0 0 1 2 1 cos cos cos cos cos cos cos cos 1 11000 02100 01200 00012 2 1 1 k 2 210 120 002 1 2 cos cos cos cos Dk k 线性代数辅导书 21 2 12 cos DD kk 由归纳法假设得 D kk k 2 21 cos sin sin sin sin sin sin k1 由归纳法知等式对于任何 n 均成立 7 利用递推法计算行列式 利用行列式的性质 把行列式表示为具有相同结构的较低价的关系式 称为递推关系式 根据递推关系式及某初始行列式的值便可递推求得所需要的结果 这种计算行列式的方法 称为递推法 应当指出 数学归纳法与递推法本质上是相一致的 例 14 用递推法计算行列式 D x x x x x 5 1000 1100 0110 0011 0001 解 将行列式按最后一行展开 得 DxD x x x 54 5 4 1 100 110 010 0011 于是得递推关系式 DxDD 543 以此类推可得 Dx xDDxDD 53221 x DxDxDD 2 3221 xxDDxDD 2 2121 2 x Dx DxDD 3 2 2 121 2 xxxx xx 3232 121 xxx34 35 一般地 对 n 阶行列式 n D如果有递推关系 21 nnn qDpDD 设 为方程 0 2 qpxx的根 则 qp 因此 21 nnn DDD 12 2 211 DDDDDD n nnnn 1 同理 12 2 1 DDDD n nn 2 线性代数辅导书 22 当 时 由 1 2 即可求得 n D 当 时 由 1 式可得 12 2 211 DDDDDD n nnnn 设ADDDDA n nn 2 112 依此类推 我们有 AnDADD nnn nn 2 1 12 2 2 1 2 8 利用拉普拉斯展开式计算行列式 拉普拉斯展开式常常说成是行列式按 k 行 或列 展开 也就是说在 n 阶行列式中任取定 i iik 12 的 k 个行 11 kn 而这 k 个行中所组成的所有 k 阶子式与它对应的代数 余子式乘积之和 等于行列式的值 例 15 计算 D 765432 978943 749700 536100 005600 006800 解 将行列式按最后两列展开 即得 D 1 32 43 7497 5361 0056 0068 1 2 5 6 7497 5361 0056 0068 再按最后两行展开 得 D 1 56 68 74 53 4 14 3 4 3 4 例 16 计算 D ww abc abwcw abwcw ww 110010 1000 111 1 1 1000 2 111 22 2 2 333 2 2 线性代数辅导书 23 解 用拉普拉斯定理按第 1 2 6 行展开得 Dww w ww ww 1 111 1 12 111 1 1 1 2 6 1 2 52 2 2 2 111 011 011 111 011 011 2 2 2 2 ww ww ww ww w w w w w 1 11 11 11 11 4 wwww ww 1221 42224 例 17 计算 D ab ab ab b a ba ba n2 解 将D n2 按第 n n 1 行展开 得 D ab ba ab a b b a aa n n nn n 2 11 1 abD n 22 22 D n22 再按第 n 1 n 行展开 得 DabD nn22 22 24 依此类推 得 Dab ab ba ab n nn 2 22122 拉普拉斯展开式也可以说它属于降阶计算行列式的一种方法 对于有些行列式的计算 是更加有效 更加简捷 n行 n1 n行 n1 线性代数辅导书 24 第二章 矩 阵 一 基本要求 1 熟练掌握矩阵的各种运算及其运算规律 2 理解矩阵可逆的定义 及判定矩阵可逆的方法 掌握求逆阵的几种方法 3 理解初等矩阵及其与初等变换的关系 初等矩阵与可逆矩阵的关系 掌握用初等变换 求逆阵的方法 熟练地运用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵 4 初步会使用分块矩阵讨论问题 着重四块矩阵 5 几种重要的特殊矩阵及运算特点 二 重点及难点及主要内容 一 重点 1 矩阵的运算 尤其是乘法运算 2 可逆矩阵的判定 及求逆方法 二 主要内容 1 矩阵运算的基本规律与性质 其中 A B C 为矩阵 k l 为常数 1 加法 A B B A 交换律 A B C A B C 结合律 A 0 A A A 0 2 数乘 kAkaA k k lAl kAlk A ijm n kBkABAk lAkAAlk kA 0 则 k 0 或 A 0 3 乘法 A BC AB C BABAAB A B C AB AC B C A BA CA 注意 一般情况下 ABBA ABAB 000推不出或 ABACBC 推不出 4 转置 AA TT ABAB TTT kAkA TT ABB A TTT 5 求逆 AA 11 ABBA 111 kA k Ak AA TT 11 11 1 0当时 线性代数辅导书 25 6 方阵的行列式 AA T AA 1 1 kAkA n ABA B 2 判定 n 阶方阵 A 可逆的方法 1 若存在与 A 同阶的方阵 B 使 AB I 或 BA I 则 A 可逆且AB 1 2 若AA 0 则 可逆 3 若 A 可表示为若干初等矩阵的积 则 A 可逆 3 求A 1的方法 1 对于数字方阵 A 且阶数较低 常用公式法 或称伴随阵法 即 A A A 1 其中 A AAA AAA AAA n n nnnn 11211 12222 12 且Aij是 A 中元素aij的代数余子式 2 用初等变换方法 A II A 初等行变换 1 或 A I I A 初等列变换 1 3 对于矩阵多项式 f A 形式给出的矩阵 求逆常寻找 f B 使 f A f B I 则 f B f A 1 4 特殊矩阵特殊方法 例如对角阵或准对角阵 A A A Ar 1 2 且每个子块A ir i 12 均可逆则A A A Ar 1 1 1 2 1 1 4 分块矩阵 目的将高阶矩阵运算化为低阶矩阵运算 1 常用分块法 按行分块 A A A A m n m 1 2 其中Aaaa iiiin 12 i 1 2 m 按列分块 AB BB m nn 12 其中B b b b jn j j j mj 1 2 12 线性代数辅导书 26 对角块 仅对方阵 A A A A nn r 1 2 其中As ii 是阶方阵 且Sn i i r 1 四分块 A AA AA 12 34 2 分块阵的运算 在加 减运算时两矩阵分块法应完全相同 在做乘法时 左边矩阵列的分法与右边矩阵 行的分法相同 然后将每一个子块做为数 按矩阵乘法法则运算 5 几类特殊矩阵 列表如下 名 称 定 义 性 质 零矩阵 0 000 000 000 m n 0 A A 0 A 0A A0 0 A A 0 单位矩阵 In n nn 100 010 001 IA AI A 1 1 I IIII k 数量矩阵 K k k k kI nn 00 00 00 KAkaAk ijn n 数量矩阵是与任意方阵可交换的矩 阵 nnn IkkIk 11 0 对角矩阵 与准对角 矩阵 A a a a diag aa nn n n 1 2 1 A A A A nn r 1 2 其中Ai是Si阶方阵 且Sn i i r 1 将 Ai看成数 有与对角阵相同的运算规 则 若 A B 均为 n 阶对角阵 则 kB A B A B 均为对角线上元素的 运算 结果均为对角阵 Aa aan 12 A 可逆 ai 0 i 1 2 n 且 Adiag aaan 1 1 1 2 11 若 21n aaadiagA BbAB ijn1 则a b iij in 12 BAb a ijj jn 12 线性代数辅导书 27 上 下 三 角矩阵 A aaa aa a n n n n nn 11121 222 nnnn nn aaa aa a A 21 2221 11 若 A B 为上 下 三角矩阵 则 A B A B K A 及A 1均为上 下 三角矩阵 A可逆的充要条 件 aii 0 in 12 且 Aaii i n 1 对称矩阵 反对称矩 阵 AAaai jn T ijji 或 12 AAaaij T ijji aa iijj 0 i j 对称 反对称 阵 A 与 B 的和 数 积 仍是对称 反对称 矩阵 A 若可逆且 A 对称 则A 1也对 称 奇数阶反对称阵 A 有A 0 三 典型例题分析 在处理矩阵概念及其运算问题时要注意它与其他代数运算特别是行列式运算的区别 例 1 说明下列各命题是否成立 假设以下矩阵均为 n 阶方阵 1 AA 2 ABAB 3 AAAA 0000 则而则 4 AIAIAI 2 则或 5 AB AC 且ABC 0 则 6 ABAC ABCABB kk k k k kkk 1111 7 AIACACACAI kk k k k k k kkk 1122211 解 1 此 式 一 般不 成 立 一 般 地 有kAkAk A n 因 此 当 n 为 奇 数 时 AAA n 1 而 n 为偶数时 AA 2 此式一般不成立 例如AB 10 01 10 01 则 A B 00 00 ABABABAB01 而故 事实上 AB 可按行列式性质拆成2n个行列式之和 而非简单的AB 3 A 0时 未必有 A 0 如A 11 00 但是当 A 0 时 必有A 0 4 AI 2 未必有 A I 或 I 例如A 10 01 AI 且AIAI 但 2 这里要 特别注意与数字运算的差别 线性代数辅导书 28 5 此命题一般也不成立 AB AC 则 A B C 0 在矩阵中可以有两个非零阵之积为零矩 阵 因此不能从积为零推出必有一个因子为零的结论 例如 ABC 11 00 01 00 00 01 则AB 01 00 AC 01 00 但 ABC 0 且 6 当k 2时 此式一般不成立 这是因为一般情况下 AB 与 BA 是两个不同的矩阵 因 此不能简单地套用数字运算规律 例如 K 2 时 ABABABAABBAB 222 当 AB BA 时 才能有 ABAABB 222 2 7 此式能成立 因为 A 与 I是可交换的 则根据前述讨论即可得到结论 例 2 已知BC 012 340 132 412 140 152 求 CYZ BYZ YZ 3 使 解 由条件方程组 解得4zBC ZBC 1 4 ZBY 120 001 100 231 043 210 120 001 101 480 004 404 4 1 YZ Y 111 240 111 这例综合了矩阵的线性运算 易错处 一步 与行列式乘法应区别 例 3 计算矩阵的高次幂A 10 01 00 求An 解法 1 用数学归纳法 这先要对 n 2 3 等低次幂直接计算寻找元素关于次数 n 的规律 nA 2 10 01 00 10 01 00 21 02 00 2 2 2 2 线性代数辅导书 29 nAAA 3 21 02 00 10 01 00 33 03 00 32 2 2 2 32 32 3 观察 随 n 增大 方幂仍是上三角 且沿主对角线方向幂从 n 递减 且系数随 n 变化 n 2 3 4 系数为 1 2 1 1 3 3 1 4 6 联想杨辉三解形的系数规律 猜想 n n n n n n n n n n C CC A 11 2211 结论正确与否用归纳法证明 1 对 n 2 上面已验算 成立 2 假设 n k 时成立 即 k kk kkkkk k k k A 1 2 2 1 3 再证 n k 1 时成立 即 AAA k k k k kk kkk kk k 1 12 1 1 2 10 01 00 kkk kk k k k k k 11 1 1 1 1 2 01 00 故结论对一切 n 成立 解法 2 根据矩阵特点加以变形 简化再进行计算 即 CI A 记 000 100 010 1 1 1 00 10 01 其中 C2 010 001 000 010 001 000 001 000 000 CnCn 3 001 000 000 010 001 000 000 000 000 30 即对 线性代数辅导书 30 而AICInC n n C nnnnn 122 1 2 CnA n n n n nn n n n n n n 03 00 00 000 00 1 2 000 000 1 1 2 故 nnn nn n n n n n 12 1 1 2 分析 方法 2 将 A 分解为对角阵与简单阵的和使高次幂运算简化是常用的方法 这里用到特 殊矩阵 kI 与任何同阶方阵可交换的性质 例 4 1 已知 A 10 11 求与 A 可交换的一切矩阵 2 是否存在一个 n 阶矩阵 B 它与一切 n 阶矩阵可交换 若存在 求出 B 解法 1 由与 A 可交换的定义知 其应是一个二阶方阵 设 B bb bb AB bb bb bb bbbb 1112 2122 1112 2122 1112 11211222 10 11 且 BA bb bb bbb bbb 1112 2122 111212 212222 10 11 令 AB BA 得方程 bbbbb bbbbbbb 1111121212 11212122122222 bbb b 121122 21 0 任意 故 B b bb 11 2111 0 解法 2 AIC 1 1 00 10 若ABBA 即 I C B B I C 因 IB BI 故只需找 CB BC 于是 设B bb bb CB bb bbbb 1112 2122 1112 21221112 00 10 00 BC b b 12 22 0 0 令 BC CB b bb 12 1122 0 b21任意 线性代数辅导书 31 故 B b bb 11 2111 0 为所求 分析 解法 1 是基本方法 解法 2 中利用单位阵可与任何阵交换的性质 减少了计算量 2 与任何一个方阵可交换的矩阵肯定是有的 IA AI A 至少有一个单位阵 由此想 到与 I 很接近的数量矩阵 KI kI A kA Ak A kI 所以数量矩阵与任意一个方阵可交 换 还有吗 下面证明说明只有数量矩阵 证明与任何一个 n 阶方阵可交换的矩阵 可从最 简单的矩阵入手 设 B bbb bbb bbb n n nnnn 11121 21222 12 与一切 n 阶方阵可交换 所以必须能与Eij交换 其中 列 行 j iEij 000 010 000 是只有第i行 第j列位置上元素是aij 1 其余元 素是零的 n 阶方阵 000 0100 000 11 22221 11211 nnnn n n ij bbb bbb bbb EB 列j b b b ni ii i 0 0 0 0 0 00 00 00 1 行ibbb bbb bbb bbb BE jnjj nnnn n n ij 000 000 0000 0100 000 0000 21 21 22221 11211 比较 BEE B ijij 左右两个矩阵的对应元素 得到 bb iijj 且 bkjkn bkikn jk ki 012 012 当时 当时 线性代数辅导书 32 这里Ei jn ij中的 12 故 B k k k 即主对角元相等 其它元素全为零 即 B KI 为数量矩阵 例 5 已知 AA 1111 0111 0011 0001 1 求 解法 1 A 10 用伴随矩阵法 AAAA 11121314 111 011 001 10 A AAA 21222324 111 011 001 1 111 011 001 1 111 001 001 00 AAAA 31323334 111 111 001 0 111 011 001 110 AAAA 41424344 0011 取 A A A 1 1100 0110 0011 0001 解法 2 初等行变换法 11111000 01110100 00110010 00010001 10001100 01000110 00100011 00010001 12 23 rr rr r3 r4 线性代数辅导书 33 解法 3 用定义 设 B xxxx xxxx xxxx xxxx BA 11121314 21222324 31323334 41424344 1000 0100 0010 0001 且 解 xxxx xxxx xxxx xxxx 11121314 21222324 31323334 41424344 1111 0111 0011 0001 1000 0100 0010 0001 得 x x x x 11 21 31 41 1 0 0 0 0 0 1 0 4241 3231 2221 1211 xx xx xx xx 0 1 0 0 434241 333231 232221 131211 xxx xxx xxx xxx 1 0 0 0 44434241 34333231 24232221 14131211 xxxx xxxx xxxx xxxx x x x x 11 2 31 21 1 0 0 0 x x x x 12 22 32 42 1 1 0 0 x x x x 13 23 33 43 0 1 1 0 1 1 0 0 44 34 24 14 x x x x 故 B 1100 0110 0011 0001 解法 4 分块法 A AA A 1111 0111 0011 0001 0 12 1 且A1 11 01 10 A 可逆 由三角块求 逆法 A AAA A A 11 1 1 1 21 1 1 1 0 其中 10 11 1 1 A 10 11 11 11 10 11 1 12 1 1 AAA 00 10 线性代数辅导书 34 故 A 1 1100 0110 0011 0001 这里展现 4 种不同方法求逆 其中法 1 采用了基本公式 而法 3 采用解方程组的方法 计算 量较大 所以适用计算机求解 手算时一般不用此方法 法 2 是计算数字行列式手算求逆的 常用的方法 应熟练掌握 方法 4 对高阶矩阵求逆不失是一种有效的降价求逆法 例 6 已知 k 阶矩阵 A 满足 AAI 2 230 1 证明 A 可逆并求A 1 2 求证 A 4I 可逆 并求其逆 3 问 A nI n 是整数 是否可逆 若可逆求其逆 解 对于矩阵多项式f A 求逆常用寻找f B 使f A f B I 则二者均可逆 且f A 与f B 互为逆矩阵 1 由AAIA AII 2 23023 得 故AAI 1 1 3 2 2 AAIAIAIII 2 23042830 即 AIAII 425 AIAI4 1 5 2 1 3 按上方法 AAIAnIAnIn nII 2 232230 AnIAnInn I21 3 故当 nnAnI 13 时可逆且 AnI AnI n n 1 2 31 当 032 3 3 2 IAAIAIAn时 若 AIAIAIIAII 0343 1 4 1 即则 若 0 3 0 IAIAIA时 上式 相当于 A 3I X 0 有非零解 由齐次线性方 程组有非零件的充要条件知有AI 30A 3I 不可逆 同理当 n 1 时 n 2 3 A I A 3I 0 若 A 3I 0 A 3I A I 4I AII 1 1 4 若AI 30 而 AIAIAI 300相当于有非零件 则AI 0 A I 不可逆 解毕 分析 若有AB n nn m 及0及关系式 AB 0 可看成齐次线性方程组AXi 0有非零解 其中 BX XX n mm 12 而由齐次线性方程组有非零件的充要条件 知A 0 这是用 来证明A 0的方法之一 线性代数辅导书 35 例 7 求 X 使 XA B 这里AB 501 132 521 800 530 260 分析 根据矩阵乘法规则 X 应为 3 阶方阵 若 A 可逆 则 XA B 两侧同乘A 1 即可得 XBA 1 解法一 先求A 1 A I 501100 132010 521001 行变换行变换 1320 1 0 0221 0 1 01390 5 1 1320 1 0 01575 8 0221 0 1 132010 015758 008131015 100 1 8 1 4 3 8 010 9 8 5 4 11 8 001 13 8 5 4 15 8 A 1 1 8 123 91011 131015 则XBA 1 1 8 800 530 260 123 91011 131015 123 456 789 注意 这里因为 A 乘 X 右侧 因此XBA 1 而不是 A B 1 实际上相当于 XA B 等式 两边同时右乘A 1 解法二 XA B 则XBA 1 A 1可以看成一些初等矩阵之积 它们右乘 B 相当于对 B 进 行列变换 而这些初等矩阵右乘 A 即得 I 即对 A 和 B 施行同样的列初等变换 把 A 变为 I 时 即把 B 变为XBA 1 因此 A B I BA I X 列初等变换 1 线性代数辅导书 36 A B 501 132 521 800 530 260 100 9311 9210 808 535 262 100 031 322 808 14317 20626 列变换列变换 列变换列变换 100 010 328 8824 141748 202672 100 010 001 123 456 789 123 456 789 X 例 8 设AB 300 011 014 36 11 23 求 X 使 AX 2X B 解法一 AX 2X B 则 A 2I X B 若 A 2I 可逆 则XAIB 2 1 先求 AI 2 1 因为 AI 2 100 011 012 为准对角矩阵 则只需求C 11 12 的逆 1110 1201 1021 0111 行变 C 1 21 11 说明 对二阶方阵用伴随陈求逆也很方便 AI2 100 021 011 1 x 100 021 011 36 11 23 36 41 32 解法二 XAIB 2 1 因为 AI 2 1 相当于一些初等阵之积 它们右乘 B 相当于 对 B 进行行初等变换 因此 线性代数辅导书 37 AI BI X 2 行初等变换 10036 01111 01223 10036 01111 00132 10036 01041 00132 x 36 41 32 例 9 设 A a aa aa a nn n nn 121 222 为上 下 三角矩阵 1 讨论 A 可逆的充要条件 2 证明 A 可逆 时A 1也是上 下 三角形 解 1 由方阵 A 可逆的充要条件是A 0 而Aain ii i n 12 1 所以要 A 可逆充分必要件是ain ii 012 2 解法一 要证明一个上 下 三角矩阵的逆是上 下 三角形 只要证明它的伴随矩阵也是上 下 三角形就可以了 从 A aaa aa a a n n ij nn 11121 222 知当ij时 Aji 0 A 也是上 下 三角矩阵 A A A 1 1 是上 下 三角矩阵 注意讨论目标是上 下 三角形时只要讨论当 ij ji 时 元素aij 0 无需讨论ij 时情况 解法 2 证明A 1为上 下 三角 直接用定义设A xxx xxx xxx n n nnnn 1 11121 21222 12 线性代数辅导书 38 满足 xxx xxx xxx aaa aa a n n nnnn n n nn 11121 21222 12 11121 222 100 010 001 得方程组 a x a x a x a xa x a xa x a xa x a xaxa x a xaxa x a xaxa x nnnn nnnnn nnnnn nnnnnnnn 1111 1121 1 12112212 12212222 121222 1112121 1212222 1122 1 0 0 0 1 0 0 0 1 注意 ain ii 012 故有 xa x x x a a a xa x x a xa x axa x a x n n nnnnn nnnn nnnn 1111 1 21 1 12 1211 1 22 2222 1 32 2 11 2222 0 0 0 0 0 0 1 从方程组的情况看出当ij 时 xij 0 因此 A 1为上三角矩阵 分析 1 在证明有关逆矩阵的结论时 常用到 A A A 1 2 若证明有关逆矩阵的结论时 已知矩阵为特殊矩阵 如对角矩阵 上 下 三角矩阵也常用定义设 Bxij 从 BA I 解出xij 例 10 设 A 为 n 阶可逆方阵 试证 AAAA n 1 111 AAA n 2 证 设Aaij 其中aij 的代数余子式为Aij 则 Aaaa ij n ijij 1且的代数余子式为 1 1n ij A 于是 AAAA n ij Tn ji n 111 111 证法 1 由定义 AAAAAAI 1121 111 故 AA 11 证法 2 由公式 A A A A A A A A n n 1 1 1 1 1 当 A 可逆时 AA A 1 故 AA AA AA A 1111 AA A A n 111 1 线性代数辅导书 39 A A A n1 2 AA n2 说明 这里几个等试证明中用到了以下结论 1 k BkB n 2 k BkB 111 3 BB 1 1 也可有如下解法 AAA IABBBB I 设则 由AAAI 有AAA IA n A 可逆 A0 AABA nn 11 0即 即 BBAIBAB nn 11 1 而BA A A AAA I A A AI 11 1 BA A AAA nn 121 即 AAA n 2 例 11 已知 A 为三角块矩阵 Aa B CD ijm nm n 0 其中 B 为mm 可逆矩阵 C 为nn 可逆矩阵 求证 A 可逆 并求A 1 解 AB CBC mn 100而 故A 0即 A 可逆 下面用两种方法求A 1 方法 1 设 A ZZ ZZ 1 1112 2122 满足 ZZ ZZ B CD I I m n 1112 2122 00 0 Z CIZ BZ D Z CZ BZ DI n n 121112 222122 0 0 故 ZCZCZB ZCDB 12 1 22 1 21 1 11 11 00 即 A CDBC B 1 111 1 0 方法 2 利用初等行变换法 00 0 0 00 0 00 1 11 1 BI CDI CDI BI ICDC IB m n n m Cn m 左乘 线性代数辅导书 40 故 CD n m ICDBC IB A CDBC B 1 0 000 111 1 1 111 1 注意 处 CD 1 是左乘第 2 行的每一块 因为CD 1 是nm 阶矩阵 而IB m和 1为 m 阶 则右乘无法进行 线性代数辅导书 41 第三章 n 维向量和线性方程组 一 基本要求 一 n 维向量 1 理解 n 维向量概念 掌握向量的加法和数乘运算法则 2 理解向量组线性相关 线性无关的概念 掌握向量组线性相关 线性无关的有关性质 和判定方法 3 了解向量的线性组合的概念 能够正确地判断一个向量能否用给定向量组线性表 示 4 理解向量组的极大线性无关和向量组的秩的概念 会求向量的极大线性无关组及 秩 5 了解向量组等阶的概念 了解向量组的秩及矩阵的秩的关系 掌握用初等变换求矩 阵秩的方法 二 线性方程组 1 理解克莱姆法则 2 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必 要条件 3 理解齐次线性方程组的基础解系 通解的概念 会求齐次线性方程组的基础解系 明 确它的全部解是如何构成的 4 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念 5 掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法 二 主要内容 一 n 维向量 1 向量的概念和运算 1 向量的概念 由 n 个数a aan 12 构成的一个有序数组 a aan 12 称为一个 n 维向量 2 向量的相等 两个n维向量 a aab bb nn1212 当且仅当ab in ii 12 时 称两向量相等 3 向量的数乘运算 k a aaka kaka nn 1212 4 向量的加法和减法 a aab bbab abab nnnn12121122 注意 只有维数相同的向量 才能进行比较 才能施行运算 2 向量的线性相关性 1 线性相关 线性无关的概念 线性代数辅导书 42 线性相关 m 个 n 维向量 m 21 若存在一组不全为零的数k kkm 12 使得 kkkm m1122 0 成立 则称向量组 12 m线性相关 线性无关 向量组k kkm 12 不是线性相关 就称为线性无关 即只有当 kkkm 12 0 时才有 kkkm m1122 0 成立 2 线性相关 线性无关的性质 1 n 维单位向量组必线性无关 2 含有零向量的向量组必线性相关 线性无关的向量组必不含零向量 3 两个向量线性相关的充要条件是对应分量成比例 4 多于 n 个的 n 维向量组必线性相关 5 如果向量组中一部分向量所组成向量组线性相关 那么整个向量组线性相关 如果 整个向量组线性无关 那么由它的部分向量构成的向量组也线性无关 6 设有两个向量组 1 11121 aaa r 1 1112111 aaaa rr 2 21222 aaa r 与 2 2122221 aaaa rr m mmmr aaa 12 m mmmrmr aaaa 121 若 r 维向量组 12 m线性无关 则 r 1 维向量组 12 m也线性无关 若 r 1 维向组量组 12 m线性相关 则 r 维向量组 12 m也线性相关 3 线性相关 线性无关的判定 1 设 1 11121 aaa n 2 21222 aaa n m mmmn aaa 12 向量组 12 m线性相关的充要