光子学物理基础B.pdf

2 3 波动光学波动光学 Wave Optics m s103 8 0 c c c n 0 u r t 0 1 2 2 2 2 t u c u 1 波动光学的基本假设波动光学的基本假设 1 光以光以波波的形式传播的形式传播 在自由空间中在自由空间中 光波的传光波的传 播速度播速度 在均匀介质中在均匀介质中 光波的光波的 传播速度传播速度 2 光波可以用一个标量波动函数光波可以用一个标量波动函数 来描述来描述 它满足它满足波动方程波动方程 2 3 1 2 3 2 由于方程是由于方程是线性线性的的 光波满足光波满足叠加原理叠加原理 I r tur t T ur t dt T t T t T lim 2 1 2 2 22 P tI r t dA A 2 3 3 2 3 4 3 光强光强定义为定义为 基于上述基本假设基于上述基本假设 很多很多在基础物理中学习过在基础物理中学习过 的的光传播现象都得到了说明光传播现象都得到了说明 其中其中 表示对远大于光波周期的期间求平均表示对远大于光波周期的期间求平均 例探测器的响应时间例探测器的响应时间 A是垂直光波传播方向的接收面积是垂直光波传播方向的接收面积 光功率定义为光功率定义为 From Principles of Optics each element of wave front may be regarded as the centre of a secondary disturbance which gives rise to spherical wavelets the position of the wave front at any later time is the envelope of all such wavelets may be considered as 1 Monochromatic wave u r ta rtr cos 2 U r tU rjt exp 2 exp rjrarU u r tU r t Re 22 0 2 k U rk c I rU r 2 2 单色波和多色波单色波和多色波 Monochromatic waves and polychromatic waves 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 复振幅满足复振幅满足Helmholtz方程方程 复数表示复数表示 其中其中 为为复振幅复振幅 因此因此 光强也可以用复振幅来表示光强也可以用复振幅来表示 2 Polychromatic wave 可表示或若干单色波的叠加可表示或若干单色波的叠加 u r tUrjt d exp 2 2 3 9 Ur exp 2 Uru r tjt dt 是频率为是频率为 的单色分量的复振幅的单色分量的复振幅 2 3 10 定义定义解析信号解析信号表示表示 取取 2 0 0 标量衍射理论标量衍射理论 精细结构的特征尺度精细结构的特征尺度 矢量衍射理论矢量衍射理论 文献 文献 量子电子学量子电子学 13 193 1996 物理物理 21 197 1992 23 200 300 1994 光子学报光子学报 21 43 107 1992 微电子技术中的光刻微电子技术中的光刻 电子束激光束刻蚀等电子束激光束刻蚀等 较近的专业文献较近的专业文献 1 PROG OPT 40 343 2000 Diffractive Optics Electromagnetic Approach 2 J Mod Opt 47 13 2279 2000 Special issue on Diffractive Optics 3 Appl Opt 40 32 5817 2001 Diffractive Optics and Micro optics 4 Jour Opt Soc Ame A18 11 2862 2001 Diffractive Optics and Micro optics 5 SPIE press 2004 Diffractive Optics Design Fabrication and Test 6 Progress in Optics v 48 107 2005 Curved diffractive optical elements Design and applications 7 SPIE v 6832 2007 Holography and Diffractive Optics III 8 Opt Exp 15 17 10863 2007 Nonlinear Diffractive Optics Elements 9 Computer Optics 32 2 110 2008 Nanophotonics and Diffractive Optics DO Lens 衍射光学元件应用实例衍射光学元件应用实例 Multi layer Diffractive Optical Element Victor A Soifer Ed Methods for Computer Design of Diffractive Optical Elements Wiley Series in Lasers and Applications 2002 Donald C O Shea Author Thomas J Suleski Author Alan D Kathman Author Dennis W Prather Author Diffractive Optics Design Fabrication and Test SPIE Tutorial Texts in Optical Engineering Vol TT62 2004 两本实际应用的书籍两本实际应用的书籍 4 近轴波和近轴波和Gauss光束光束 平面波平面波 2 3 26 复振幅复振幅 球面波球面波 2 3 27 U rAjk r exp U r A r jkr exp 基本的波基本的波 这两种波是两个极端的情况 平面波没有波法线这两种波是两个极端的情况 平面波没有波法线 的发散的发散 但能量分布在整个空间中 球面波的波但能量分布在整个空间中 球面波的波 法线所有方向都发散法线所有方向都发散 但能量在有限传播时间内但能量在有限传播时间内 分布在有限空间中分布在有限空间中 1 近轴波近轴波 paraxial wave 设想有这样一类波 它可以用来描述波阵面设想有这样一类波 它可以用来描述波阵面法法 线近似与某一轴线近似与某一轴平行的实际的光波 我们称为平行的实际的光波 我们称为近近 轴波轴波 或旁轴波或旁轴波 它的复振幅为 它的复振幅为 exp U rA rjkz A r 其中其中 是位置的慢变函数是位置的慢变函数 称为称为复包络复包络 complex envelope 数学上看可以看成是平行数学上看可以看成是平行z 轴传播的波轴传播的波 其其 振幅随空间位置有一调制变化振幅随空间位置有一调制变化 正是这一调制变化可正是这一调制变化可 在适当情况将波的能量集中在轴附近区域在适当情况将波的能量集中在轴附近区域 2 3 28 即可得到即可得到 2 3 29 Ak z A kA z A 2 2 2 0 z A k2 jA 2 T 这个方程称这个方程称近轴近似下的近轴近似下的Helmholtz方程方程 它是讨论近轴波的基础它是讨论近轴波的基础 近轴波的复包络满足的方程可由复振幅满足的近轴波的复包络满足的方程可由复振幅满足的 Helmholtz方程推出方程推出 只须注意到慢变振幅近似只须注意到慢变振幅近似 slowly varying envelope approximation 示例 示例 由由 代入代入 近似得到近似得到 2 3 30 Spherical 近轴近似区近轴近似区 planar U r A r e jkr rz xy z z xy z 1 2 22 2 1 2 22 jkz e z jk z A rU 2 exp 2 这个复振幅描述的波称为抛物面波这个复振幅描述的波称为抛物面波 paraboloidal wave 不不 难验证难验证 它的它的复包络复包络 满足近轴近似下的满足近轴近似下的Helmholtz方程方程 A r A r 2 Gauss光束光束 实际激光器发出的光束 常常可用一实际激光器发出的光束 常常可用一 种称为种称为Gaussian beam的光束来描写 的光束来描写 它是满足近轴近似它是满足近轴近似Helmholtz方程的重方程的重 要例子 要例子 在在 2 3 30 式中 作代换式中 作代换 则则 仍满足近轴近似仍满足近轴近似Helmholtz方程方程 0 jzzzqz A r A q z jk q z exp 1 2 2 11 2 q zR z j wz 2 exp 2 0 0 22 zj zR jke zw w ArA zw 再引入表示再引入表示 则则 2 3 31 其中其中 由这个复包络构成的近轴波称为由这个复包络构成的近轴波称为 Gaussian beam w zw z z R zz z z z z z w z tan 0 0 2 1 2 0 2 1 0 0 0 1 2 1 1 2 3 32 Gaussian beam的主要特点 的主要特点 a 在垂直光束轴线在垂直光束轴线 z 轴轴 的任何截面上 光强分布为的任何截面上 光强分布为 Gaussian函数函数 b 称为光束半径 在称为光束半径 在 处光强为轴线上处光强为轴线上 的的 约 约86 的光功率集中在上述半径内的光的光功率集中在上述半径内的光 束中 束中 c 远场发散角远场发散角 2 3 32 d 在在 处波阵面为平面 处波阵面为平面 很大时 逐渐过渡到球面 很大时 逐渐过渡到球面 0 0 2 2 w w z w z e 2 0135 z 0z 0 0 w 3 其它典型的光束其它典型的光束 还有一些典型光束 它们的复包络也满足还有一些典型光束 它们的复包络也满足 近轴近似下的近轴近似下的Helmholtz方程方程 Hermite Gaussian beams Laguerre Gaussian beams 或是特殊坐标系中或是特殊坐标系中Helmholtz方程的特解方程的特解 Bessel beams 它也用来描述它也用来描述实际的激光器可能产生的光束实际的激光器可能产生的光束 在数学上 在数学上 它的横向分布上是对它的横向分布上是对Gaussian beam调制 而在调制 而在Z方向方向 增加了一个缓变的相位函数 增加了一个缓变的相位函数 2 3 34 A x y zX x w z Y y w z jZ z Ax y z G exp 22 0 z Z z kw Y 2 Y Y 1 u X u2 u X X 1 2 2 2 2 2 u x w z y w z 22 将其代入将其代入paraxial Helmholtz方程方程 2 3 29 得到得到 其中其中 2 3 35 A Hermite Gaussian beams 上述方程中三个部分是三个不同变量的函数 因之上述方程中三个部分是三个不同变量的函数 因之 每部分必为常数 令第一部分为每部分必为常数 令第一部分为 第二部 第二部 分分 第三部分为 第三部分为 则有 则有 21 2 0 0 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 dz dZ z z z Y d dY d Yd X du dX u du Xd 2 3 36 前二个方程的解是前二个方程的解是Hermite多项式多项式 第三个方程第三个方程 的解为的解为 即式即式 2 3 31 中的中的 因之 最后 因之 最后 得到得到Hermite Gaussian beam的复振幅 的复振幅 H uH lm Z zlmz Ux y zA w w z G x w z G y w z jkzjk xy R z j lmz lmlmlm exp 0 22 22 2 1 2 3 37 2 1 2 2 2 12 其中的其中的 其横向光强分 其横向光强分 布除布除Gauss函数处 还受函数处 还受Hermite函数的调函数的调 制 因之形成不同的花样 当制 因之形成不同的花样 当 时时 回到回到Gaussian beam G uH u u ll exp 2 2 lm 00 实际激光器实际激光器 的横向模式的横向模式 照片照片 B Laguerre Gaussian beams 它是在柱坐标系中求解近轴近似它是在柱坐标系中求解近轴近似Helmholtz方程得到的 方程得到的 它的横向光强分别的典型花样是它的横向光强分别的典型花样是 它也是它也是实际激光器可实际激光器可 能产生的光束能产生的光束 其最 其最 低阶时也回到普通的低阶时也回到普通的 Gaussian beams 0 0 1 0 2 0 0 1 0 3 0 2 与与 Laguerre Gaussian beams 密切有关的密切有关的 新的研究方向 新的研究方向 optical angular momentum L Allen Phys Rev A 45 8185 1992 A T O Neil Phys Rev Lett 88 053601 2002 Gregorius C G Berkhout Phys Rev Lett 101 100801 2008 L Allen optical angular momentum 2003 E Wolf Progress in Optics v 53 2009 l 4 l 0 l 1 l 3 http www physics gla ac uk Optics play photonOAM C Bessel beams Bessel beams 是柱坐标系中是柱坐标系中Helmholtz方程方程 的一组特解 的一组特解 设设 U rAe j z 代入代入Helmholtz方程后 可得到方程后 可得到 应满足的方程应满足的方程 A 0 22 AkA TT 其中其中 T 2 为横向为横向Laplacian operator 而 而 222 kkT 2 3 38 2 3 39 方程方程 2 3 39 的一组特解是的一组特解是 1 0 mekJAA jm Tmm 对于对于 的解 m 0 zj T ekJArU 00 2 3 40 2 3 41 但它的光强横向分但它的光强横向分 布在较大的空间范布在较大的空间范 围中围中 与与Gaussian beam不同不同 如如左左图图 这个复振幅描这个复振幅描 述的光束称为述的光束称为 Bessel beam 它的它的横向光强横向光强 分布是不随分布是不随z变变 化化的 即的 即不发不发 散散 如左图如左图 由于由于Bessel beam不发散的特性 近年不发散的特性 近年 来有人把它称为来有人把它称为 无衍射光束无衍射光束 diffraction free beam 而深入进行了研究 当然这个词而深入进行了研究 当然这个词 的使用尚未得到普遍的承认 的使用尚未得到普遍的承认 衍射是光波的衍射是光波的 普遍特性普遍特性 无衍射无衍射 的提法是欠妥的 但的提法是欠妥的 但 研究发散极小或衍射极弱的特殊光束还是有实研究发散极小或衍射极弱的特殊光束还是有实 际意义的 关于这方面的研究 有兴趣的可参际意义的 关于这方面的研究 有兴趣的可参 看有关文献 看有关文献 J Durnin J O S A A4 651 1987 P Sprangle P R L 66 837 1991 王绍民王绍民 应用激光应用激光 14 1 2 3 1994 吕百达吕百达 强激光与粒子束强激光与粒子束 7 481 1995 Diffraction free beams in inhomogeneous media Physics Today on September 15 2010 新的研究报道新的研究报道 Progress in Optics v 54 1 88 2009 Propagation Invariant Optical Fields Jari Turunen and Ari T Friberg 新近的综述文章新近的综述文章 4 Gaussian beams传输的传输的ABCD矩阵矩阵 表示表示 Huygen s integral 和和ABCD Matrix 前面标量衍射理论得到的前面标量衍射理论得到的Kirchhoff 衍射积分衍射积分是讨论光是讨论光 波传输的基础 它其实反映的是惠更斯 菲涅尔原理 波传输的基础 它其实反映的是惠更斯 菲涅尔原理 U P ik U s e r ds ikr S cos 4 1 cos 1 iks Ae U ss n s cos 1 11 rL U P i L U s e ds ikr S 近轴波的传输也可用光线的近轴波的传输也可用光线的ABCD矩阵来表示矩阵来表示 因之因之 2 3 42 此积分式常称此积分式常称 Huygen s integral 近轴时 近轴时 其中作了其中作了 为简单起见 先考虑一维的情况为简单起见 先考虑一维的情况 S 波面积分只波面积分只 对一维对一维 U P i L U y e dy ikr 11 rLyyL yy L 21 2 1 2 21 2 2 U P i L U y e i L yydy ikL exp 121 2 1 M AB CD 设现在不是在设现在不是在自由空间自由空间传输传输 而是通过一个而是通过一个光学系统光学系统 其光线变换矩阵其光线变换矩阵 取近似取近似 则有则有 2 3 43 设点源设点源 发生的光波经过发生的光波经过ABCD系统最后到达系统最后到达 因之因之 O1 O2 y y AB CD y y 2 2 1 1 y yAy B y Dyy B 1 21 2 21 AB CD 1 1 O 2 O L 1 R 2 R 1 y 2 y 可求得可求得 注意注意 2 3 44 因之因之 2 3 45 R y y By yAy R y y By Dyy 1 1 1 1 21 2 2 2 2 21 注意发生的所有光到达应有相同的光程 因之注意发生的所有光到达应有相同的光程 因之 OORLR 1212 OYY ORyr y yRy R y R r y yR y R 1 1 221 2 1 2 1 2 122 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 122 2 2 2 2 1 2 1 2 负号是因为曲率方负号是因为曲率方 向的规定向的规定 得到得到 2 3 46 比较自由空间比较自由空间 2 3 43 式 有理由认为经过一个式 有理由认为经过一个ABCD 系统之后系统之后 2 3 47 对自由空间对自由空间 上式回到前面的结果 上式回到前面的结果 r y yL B Ayy yDy 121 2 122 2 1 2 2 U P i B U y e i B Ayy yDydy ikL exp 11 2 122 2 1 2 1